trilpolemlt1 - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem trilpolemlt1 16368

Description: Lemma for trilpo 16370. The

case. We can use the distance between

and one (that is,

) to find a position in the sequence

where terms after that point will not add up to as much as

. By finomni 7303 we know the terms up to

either contain a zero or are all one. But if they are all one that contradicts the way we constructed

, so we know that the sequence contains a zero. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
trilpolemgt1.f
trilpolemgt1.a
trilpolemlt1.a

**Assertion**
Ref	Expression
trilpolemlt1

Distinct variable groups:

Proof of Theorem trilpolemlt1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8157	. . . 4
2		trilpolemgt1.f	. . . . 5
3		trilpolemgt1.a	. . . . 5
4	2, 3	trilpolemcl 16364	. . . 4
5	1, 4	resubcld 8523	. . 3
6		trilpolemlt1.a	. . . 4
7	4, 1	posdifd 8675	. . . 4
8	6, 7	mpbid 147	. . 3
9		nnrecl 9363	. . 3 $/\$
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. 2
11		elfznn 10246	. . . . . . 7
12	11	ad2antrl 490	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		simprl 529	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	13	fvresd 5651	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		simprr 531	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	14, 15	eqtr3d 2264	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	12, 16	jca 306	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	17	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	18	reximdv2 2629	. . 3 $/\$ $/\$
20		2rp 9850	. . . . . . . . . 10
21	20	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
22		simprl 529	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
23	22	nnzd 9564	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
24	21, 23	rpexpcld 10914	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
25	24	rprecred 9900	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
26	22	nnrecred 9153	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	5	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
28		2z 9470	. . . . . . . . . 10
29		uzid 9732	. . . . . . . . . 10
30	28, 29	mp1i 10	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
31	22	nnnn0d 9418	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
32		bernneq3 10879	. . . . . . . . 9 $/\$
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
34	22	nnrpd 9886	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
35	34, 24	ltrecd 9907	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
36	33, 35	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
37		simprr 531	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
38	25, 26, 27, 36, 37	lttrd 8268	. . . . . 6 $/\$ $/\$
39	38	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
40	27	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
41	25	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
42		1red 8157	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
43	4	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
44		0red 8143	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
45		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11
46	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
47	46	peano2nnd 9121	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	nnzd 9564	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
49		eluznn 9791	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	47, 49	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . 13
52		oveq2 6008	. . . . . . . . . . . . . . 15
53	52	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . . 14
54		fveq2 5626	. . . . . . . . . . . . . 14
55	53, 54	oveq12d 6018	. . . . . . . . . . . . 13
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	56	nnzd 9564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	57, 58	rpexpcld 10914	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	rprecred 9900	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		0re 8142	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62		1re 8141	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63		prssi 3825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64	61, 62, 63	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . 15
65	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
66	65	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66, 56	ffvelcdmd 5770	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	sselid 3222	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	60, 68	remulcld 8173	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	51, 55, 56, 69	fvmptd3 5727	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	50, 70	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	50, 69	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
74	73, 51	trilpolemclim 16363	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
75		nnuz 9754	. . . . . . . . . . . . 13
76	69	recnd 8171	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	70, 76	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	75, 47, 77	iserex 11845	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
79	74, 78	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
80	45, 48, 71, 72, 79	isumrecl 11935	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
81		1zzd 9469	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	81, 23	fzfigd 10648	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		elfzelz 10217	. . . . . . . . . . . . . 14
86	85	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	84, 86	rpexpcld 10914	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	rprecred 9900	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	83, 88	fsumrecl 11907	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
90	50, 60	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	50, 68	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	59	rpreccld 9899	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	50, 92	syldan 282	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	rpge0d 9892	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		0le0 9195	. . . . . . . . . . . . . 14
96		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	95, 96	breqtrrid 4120	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98		0le1 8624	. . . . . . . . . . . . . 14
99		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	98, 99	breqtrrid 4120	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101, 50	ffvelcdmd 5770	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		elpri 3689	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
104	102, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
105	97, 100, 104	mpjaodan 803	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	90, 91, 94, 105	mulge0d 8764	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	45, 48, 71, 72, 79, 106	isumge0 11936	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
108	44, 80, 89, 107	leadd2dd 8703	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
109	89	recnd 8171	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
110	109	addridd 8291	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2235	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	75, 45, 47, 70, 76, 74	isumsplit 11997	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
113	3, 112	eqtrid 2274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
114	46	nncnd 9120	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
115		1cnd 8158	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
116	114, 115	pncand 8454	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
118		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	fvresd 5651	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120		fveqeq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . . 16
121		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	120, 121, 118	rspcdva 2912	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	119, 122	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	87	rpreccld 9899	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125	rpcnd 9890	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	126	mulridd 8159	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	124, 127	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	117, 128	sumeq12rdv 11879	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
130	129	oveq1d 6015	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
131	113, 130	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
132	108, 111, 131	3brtr4d 4114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
133		geo2sum 12020	. . . . . . . . . 10 $/\$
134	133	breq1d 4092	. . . . . . . . 9 $/\$
135	46, 115, 134	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
136	132, 135	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
137	42, 41, 43, 136	subled 8691	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
138	40, 41, 137	lensymd 8264	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
139	39, 138	pm2.21dd 623	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
140	139	ex 115	. . 3 $/\$ $/\$
141		fveq1 5625	. . . . . . 7
142	141	eqeq1d 2238	. . . . . 6
143	142	rexbidv 2531	. . . . 5
144	141	eqeq1d 2238	. . . . . 6
145	144	ralbidv 2530	. . . . 5
146	143, 145	orbi12d 798	. . . 4 $\/$ $\/$
147		finomni 7303	. . . . . 6 Omni
148	82, 147	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ Omni
149		isomninn 16358	. . . . . 6 Omni Omni $\/$
150	148, 149	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ Omni $\/$
151	148, 150	mpbid 147	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
152		fz1ssnn 10248	. . . . . . 7
153	152	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $/\$
154	65, 153	fssresd 5501	. . . . 5 $/\$ $/\$
155		0red 8143	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
156		1red 8157	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
157		prexg 4294	. . . . . . 7 $/\$
158	155, 156, 157	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ $/\$
159	158, 82	elmapd 6807	. . . . 5 $/\$ $/\$
160	154, 159	mpbird 167	. . . 4 $/\$ $/\$
161	146, 151, 160	rspcdva 2912	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
162	19, 140, 161	mpjaod 723	. 2 $/\$ $/\$
163	10, 162	rexlimddv 2653	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713

wceq 1395

wcel 2200

wral 2508

wrex 2509

cvv 2799

wss 3197

cpr 3667 class class class wbr 4082

cmpt 4144

cdm 4718

cres 4720

wf 5313

cfv 5317 (class class class)co 6000

cmap 6793

cfn 6885 Omnicomni 7297

cc 7993

cr 7994

cc0 7995

c1 7996

caddc 7998

cmul 8000

clt 8177

cle 8178

cmin 8313

cdiv 8815

cn 9106

c2 9157

cn0 9365

cz 9442

cuz 9718

crp 9845

cfz 10200

cseq 10664

cexp 10755

cli 11784

csu 11859

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4198 ax-sep 4201 ax-nul 4209 ax-pow 4257 ax-pr 4292 ax-un 4523 ax-setind 4628 ax-iinf 4679 ax-cnex 8086 ax-resscn 8087 ax-1cn 8088 ax-1re 8089 ax-icn 8090 ax-addcl 8091 ax-addrcl 8092 ax-mulcl 8093 ax-mulrcl 8094 ax-addcom 8095 ax-mulcom 8096 ax-addass 8097 ax-mulass 8098 ax-distr 8099 ax-i2m1 8100 ax-0lt1 8101 ax-1rid 8102 ax-0id 8103 ax-rnegex 8104 ax-precex 8105 ax-cnre 8106 ax-pre-ltirr 8107 ax-pre-ltwlin 8108 ax-pre-lttrn 8109 ax-pre-apti 8110 ax-pre-ltadd 8111 ax-pre-mulgt0 8112 ax-pre-mulext 8113 ax-arch 8114 ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3888 df-int 3923 df-iun 3966 df-br 4083 df-opab 4145 df-mpt 4146 df-tr 4182 df-id 4383 df-po 4386 df-iso 4387 df-iord 4456 df-on 4458 df-ilim 4459 df-suc 4461 df-iom 4682 df-xp 4724 df-rel 4725 df-cnv 4726 df-co 4727 df-dm 4728 df-rn 4729 df-res 4730 df-ima 4731 df-iota 5277 df-fun 5319 df-fn 5320 df-f 5321 df-f1 5322 df-fo 5323 df-f1o 5324 df-fv 5325 df-isom 5326 df-riota 5953 df-ov 6003 df-oprab 6004 df-mpo 6005 df-1st 6284 df-2nd 6285 df-recs 6449 df-irdg 6514 df-frec 6535 df-1o 6560 df-2o 6561 df-oadd 6564 df-er 6678 df-map 6795 df-en 6886 df-dom 6887 df-fin 6888 df-omni 7298 df-pnf 8179 df-mnf 8180 df-xr 8181 df-ltxr 8182 df-le 8183 df-sub 8315 df-neg 8316 df-reap 8718 df-ap 8725 df-div 8816 df-inn 9107 df-2 9165 df-3 9166 df-4 9167 df-n0 9366 df-z 9443 df-uz 9719 df-q 9811 df-rp 9846 df-ico 10086 df-fz 10201 df-fzo 10335 df-seqfrec 10665 df-exp 10756 df-ihash 10993 df-cj 11348 df-re 11349 df-im 11350 df-rsqrt 11504 df-abs 11505 df-clim 11785 df-sumdc 11860

This theorem is referenced by: trilpolemres 16369 neapmkvlem 16394

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