trilpolemlt1 - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem trilpolemlt1 16581

Description: Lemma for trilpo 16583. The

case. We can use the distance between

and one (that is,

) to find a position in the sequence

where terms after that point will not add up to as much as

. By finomni 7330 we know the terms up to

either contain a zero or are all one. But if they are all one that contradicts the way we constructed

, so we know that the sequence contains a zero. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
trilpolemgt1.f
trilpolemgt1.a
trilpolemlt1.a

**Assertion**
Ref	Expression
trilpolemlt1

Distinct variable groups:

Proof of Theorem trilpolemlt1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8184	. . . 4
2		trilpolemgt1.f	. . . . 5
3		trilpolemgt1.a	. . . . 5
4	2, 3	trilpolemcl 16577	. . . 4
5	1, 4	resubcld 8550	. . 3
6		trilpolemlt1.a	. . . 4
7	4, 1	posdifd 8702	. . . 4
8	6, 7	mpbid 147	. . 3
9		nnrecl 9390	. . 3 $/\$
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. 2
11		elfznn 10279	. . . . . . 7
12	11	ad2antrl 490	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		simprl 529	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	13	fvresd 5660	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		simprr 531	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	14, 15	eqtr3d 2264	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	12, 16	jca 306	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	17	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	18	reximdv2 2629	. . 3 $/\$ $/\$
20		2rp 9883	. . . . . . . . . 10
21	20	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
22		simprl 529	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
23	22	nnzd 9591	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
24	21, 23	rpexpcld 10949	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
25	24	rprecred 9933	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
26	22	nnrecred 9180	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	5	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
28		2z 9497	. . . . . . . . . 10
29		uzid 9760	. . . . . . . . . 10
30	28, 29	mp1i 10	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
31	22	nnnn0d 9445	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
32		bernneq3 10914	. . . . . . . . 9 $/\$
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
34	22	nnrpd 9919	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
35	34, 24	ltrecd 9940	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
36	33, 35	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
37		simprr 531	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
38	25, 26, 27, 36, 37	lttrd 8295	. . . . . 6 $/\$ $/\$
39	38	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
40	27	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
41	25	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
42		1red 8184	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
43	4	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
44		0red 8170	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
45		eqid 2229	. . . . . . . . . . 11
46	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
47	46	peano2nnd 9148	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	nnzd 9591	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
49		eluznn 9824	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	47, 49	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . 13
52		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . . . 15
53	52	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . 14
54		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . 14
55	53, 54	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . 13
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	56	nnzd 9591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	57, 58	rpexpcld 10949	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	rprecred 9933	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		0re 8169	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62		1re 8168	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63		prssi 3829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64	61, 62, 63	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . 15
65	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
66	65	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66, 56	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	sselid 3223	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	60, 68	remulcld 8200	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	51, 55, 56, 69	fvmptd3 5736	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	50, 70	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	50, 69	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
74	73, 51	trilpolemclim 16576	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
75		nnuz 9782	. . . . . . . . . . . . 13
76	69	recnd 8198	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	70, 76	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	75, 47, 77	iserex 11890	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
79	74, 78	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
80	45, 48, 71, 72, 79	isumrecl 11980	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
81		1zzd 9496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	81, 23	fzfigd 10683	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		elfzelz 10250	. . . . . . . . . . . . . 14
86	85	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	84, 86	rpexpcld 10949	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	rprecred 9933	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	83, 88	fsumrecl 11952	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
90	50, 60	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	50, 68	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	59	rpreccld 9932	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	50, 92	syldan 282	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	rpge0d 9925	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		0le0 9222	. . . . . . . . . . . . . 14
96		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	95, 96	breqtrrid 4124	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98		0le1 8651	. . . . . . . . . . . . . 14
99		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	98, 99	breqtrrid 4124	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101, 50	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		elpri 3690	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
104	102, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
105	97, 100, 104	mpjaodan 803	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	90, 91, 94, 105	mulge0d 8791	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	45, 48, 71, 72, 79, 106	isumge0 11981	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
108	44, 80, 89, 107	leadd2dd 8730	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
109	89	recnd 8198	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
110	109	addridd 8318	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2235	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	75, 45, 47, 70, 76, 74	isumsplit 12042	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
113	3, 112	eqtrid 2274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
114	46	nncnd 9147	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
115		1cnd 8185	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
116	114, 115	pncand 8481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
118		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	fvresd 5660	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120		fveqeq2 5644	. . . . . . . . . . . . . . . 16
121		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	120, 121, 118	rspcdva 2913	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	119, 122	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	87	rpreccld 9932	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125	rpcnd 9923	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	126	mulridd 8186	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	124, 127	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	117, 128	sumeq12rdv 11924	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
130	129	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
131	113, 130	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
132	108, 111, 131	3brtr4d 4118	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
133		geo2sum 12065	. . . . . . . . . 10 $/\$
134	133	breq1d 4096	. . . . . . . . 9 $/\$
135	46, 115, 134	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
136	132, 135	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
137	42, 41, 43, 136	subled 8718	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
138	40, 41, 137	lensymd 8291	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
139	39, 138	pm2.21dd 623	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
140	139	ex 115	. . 3 $/\$ $/\$
141		fveq1 5634	. . . . . . 7
142	141	eqeq1d 2238	. . . . . 6
143	142	rexbidv 2531	. . . . 5
144	141	eqeq1d 2238	. . . . . 6
145	144	ralbidv 2530	. . . . 5
146	143, 145	orbi12d 798	. . . 4 $\/$ $\/$
147		finomni 7330	. . . . . 6 Omni
148	82, 147	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ Omni
149		isomninn 16571	. . . . . 6 Omni Omni $\/$
150	148, 149	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ Omni $\/$
151	148, 150	mpbid 147	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
152		fz1ssnn 10281	. . . . . . 7
153	152	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $/\$
154	65, 153	fssresd 5510	. . . . 5 $/\$ $/\$
155		0red 8170	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
156		1red 8184	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
157		prexg 4299	. . . . . . 7 $/\$
158	155, 156, 157	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ $/\$
159	158, 82	elmapd 6826	. . . . 5 $/\$ $/\$
160	154, 159	mpbird 167	. . . 4 $/\$ $/\$
161	146, 151, 160	rspcdva 2913	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
162	19, 140, 161	mpjaod 723	. 2 $/\$ $/\$
163	10, 162	rexlimddv 2653	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 713

wceq 1395

wcel 2200

wral 2508

wrex 2509

cvv 2800

wss 3198

cpr 3668 class class class wbr 4086

cmpt 4148

cdm 4723

cres 4725

wf 5320

cfv 5324 (class class class)co 6013

cmap 6812

cfn 6904 Omnicomni 7324

cc 8020

cr 8021

cc0 8022

c1 8023

caddc 8025

cmul 8027

clt 8204

cle 8205

cmin 8340

cdiv 8842

cn 9133

c2 9184

cn0 9392

cz 9469

cuz 9745

crp 9878

cfz 10233

cseq 10699

cexp 10790

cli 11829

csu 11904

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140 ax-arch 8141 ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-isom 5333 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-irdg 6531 df-frec 6552 df-1o 6577 df-2o 6578 df-oadd 6581 df-er 6697 df-map 6814 df-en 6905 df-dom 6906 df-fin 6907 df-omni 7325 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-inn 9134 df-2 9192 df-3 9193 df-4 9194 df-n0 9393 df-z 9470 df-uz 9746 df-q 9844 df-rp 9879 df-ico 10119 df-fz 10234 df-fzo 10368 df-seqfrec 10700 df-exp 10791 df-ihash 11028 df-cj 11393 df-re 11394 df-im 11395 df-rsqrt 11549 df-abs 11550 df-clim 11830 df-sumdc 11905

This theorem is referenced by: trilpolemres 16582 neapmkvlem 16607

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