trilpolemlt1 - Mathbox for Jim Kingdon

	Mathbox for Jim Kingdon		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > Mathboxes > trilpolemlt1		Unicode version

Theorem trilpolemlt1 16756

Description: Lemma for trilpo 16758. The

case. We can use the distance between

and one (that is,

) to find a position in the sequence

where terms after that point will not add up to as much as

. By finomni 7382 we know the terms up to

either contain a zero or are all one. But if they are all one that contradicts the way we constructed

, so we know that the sequence contains a zero. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
trilpolemgt1.f
trilpolemgt1.a
trilpolemlt1.a

**Assertion**
Ref	Expression
trilpolemlt1

Distinct variable groups:

Proof of Theorem trilpolemlt1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1red 8237	. . . 4
2		trilpolemgt1.f	. . . . 5
3		trilpolemgt1.a	. . . . 5
4	2, 3	trilpolemcl 16752	. . . 4
5	1, 4	resubcld 8602	. . 3
6		trilpolemlt1.a	. . . 4
7	4, 1	posdifd 8754	. . . 4
8	6, 7	mpbid 147	. . 3
9		nnrecl 9442	. . 3 $/\$
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. 2
11		elfznn 10334	. . . . . . 7
12	11	ad2antrl 490	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13		simprl 531	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	13	fvresd 5673	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		simprr 533	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	14, 15	eqtr3d 2266	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	12, 16	jca 306	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18	17	ex 115	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	18	reximdv2 2632	. . 3 $/\$ $/\$
20		2rp 9937	. . . . . . . . . 10
21	20	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
22		simprl 531	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
23	22	nnzd 9645	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
24	21, 23	rpexpcld 11005	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
25	24	rprecred 9987	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
26	22	nnrecred 9232	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
27	5	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
28		2z 9551	. . . . . . . . . 10
29		uzid 9814	. . . . . . . . . 10
30	28, 29	mp1i 10	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
31	22	nnnn0d 9499	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
32		bernneq3 10970	. . . . . . . . 9 $/\$
33	30, 31, 32	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
34	22	nnrpd 9973	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
35	34, 24	ltrecd 9994	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
36	33, 35	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
37		simprr 533	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
38	25, 26, 27, 36, 37	lttrd 8347	. . . . . 6 $/\$ $/\$
39	38	adantr 276	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
40	27	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
41	25	adantr 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
42		1red 8237	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
43	4	ad2antrr 488	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
44		0red 8223	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
45		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11
46	22	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
47	46	peano2nnd 9200	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	nnzd 9645	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
49		eluznn 9878	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
50	47, 49	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . 13
52		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . 15
53	52	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . 14
54		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . . 14
55	53, 54	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . . 13
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	56	nnzd 9645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	57, 58	rpexpcld 11005	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	rprecred 9987	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		0re 8222	. . . . . . . . . . . . . . . 16
62		1re 8221	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63		prssi 3836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
64	61, 62, 63	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . 15
65	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
66	65	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66, 56	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68	64, 67	sselid 3226	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
69	60, 68	remulcld 8252	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	51, 55, 56, 69	fvmptd3 5749	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	50, 70	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	50, 69	syldan 282	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
74	73, 51	trilpolemclim 16751	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
75		nnuz 9836	. . . . . . . . . . . . 13
76	69	recnd 8250	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	70, 76	eqeltrd 2308	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
78	75, 47, 77	iserex 11962	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
79	74, 78	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
80	45, 48, 71, 72, 79	isumrecl 12053	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
81		1zzd 9550	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	81, 23	fzfigd 10739	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
85		elfzelz 10305	. . . . . . . . . . . . . 14
86	85	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87	84, 86	rpexpcld 11005	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
88	87	rprecred 9987	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89	83, 88	fsumrecl 12025	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
90	50, 60	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91	50, 68	syldan 282	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92	59	rpreccld 9986	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
93	50, 92	syldan 282	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94	93	rpge0d 9979	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		0le0 9274	. . . . . . . . . . . . . 14
96		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	95, 96	breqtrrid 4131	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98		0le1 8703	. . . . . . . . . . . . . 14
99		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	98, 99	breqtrrid 4131	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	101, 50	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		elpri 3696	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
104	102, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
105	97, 100, 104	mpjaodan 806	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	90, 91, 94, 105	mulge0d 8843	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107	45, 48, 71, 72, 79, 106	isumge0 12054	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
108	44, 80, 89, 107	leadd2dd 8782	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
109	89	recnd 8250	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
110	109	addridd 8370	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
111	110	eqcomd 2237	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
112	75, 45, 47, 70, 76, 74	isumsplit 12115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
113	3, 112	eqtrid 2276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
114	46	nncnd 9199	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
115		1cnd 8238	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
116	114, 115	pncand 8533	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
117	116	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
118		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	118	fvresd 5673	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120		fveqeq2 5657	. . . . . . . . . . . . . . . 16
121		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	120, 121, 118	rspcdva 2916	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	119, 122	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125	87	rpreccld 9986	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	125	rpcnd 9977	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127	126	mulridd 8239	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	124, 127	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	117, 128	sumeq12rdv 11996	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
130	129	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
131	113, 130	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
132	108, 111, 131	3brtr4d 4125	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
133		geo2sum 12138	. . . . . . . . . 10 $/\$
134	133	breq1d 4103	. . . . . . . . 9 $/\$
135	46, 115, 134	syl2anc 411	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
136	132, 135	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
137	42, 41, 43, 136	subled 8770	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
138	40, 41, 137	lensymd 8343	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
139	39, 138	pm2.21dd 625	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
140	139	ex 115	. . 3 $/\$ $/\$
141		fveq1 5647	. . . . . . 7
142	141	eqeq1d 2240	. . . . . 6
143	142	rexbidv 2534	. . . . 5
144	141	eqeq1d 2240	. . . . . 6
145	144	ralbidv 2533	. . . . 5
146	143, 145	orbi12d 801	. . . 4 $\/$ $\/$
147		finomni 7382	. . . . . 6 Omni
148	82, 147	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ Omni
149		isomninn 16746	. . . . . 6 Omni Omni $\/$
150	148, 149	syl 14	. . . . 5 $/\$ $/\$ Omni $\/$
151	148, 150	mpbid 147	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
152		fz1ssnn 10336	. . . . . . 7
153	152	a1i 9	. . . . . 6 $/\$ $/\$
154	65, 153	fssresd 5521	. . . . 5 $/\$ $/\$
155		0red 8223	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
156		1red 8237	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
157		prexg 4307	. . . . . . 7 $/\$
158	155, 156, 157	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ $/\$
159	158, 82	elmapd 6874	. . . . 5 $/\$ $/\$
160	154, 159	mpbird 167	. . . 4 $/\$ $/\$
161	146, 151, 160	rspcdva 2916	. . 3 $/\$ $/\$ $\/$
162	19, 140, 161	mpjaod 726	. 2 $/\$ $/\$
163	10, 162	rexlimddv 2656	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716

wceq 1398

wcel 2202

wral 2511

wrex 2512

cvv 2803

wss 3201

cpr 3674 class class class wbr 4093

cmpt 4155

cdm 4731

cres 4733

wf 5329

cfv 5333 (class class class)co 6028

cmap 6860

cfn 6952 Omnicomni 7376

cc 8073

cr 8074

cc0 8075

c1 8076

caddc 8078

cmul 8080

clt 8256

cle 8257

cmin 8392

cdiv 8894

cn 9185

c2 9236

cn0 9444

cz 9523

cuz 9799

crp 9932

cfz 10288

cseq 10755

cexp 10846

cli 11901

csu 11976

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8166 ax-resscn 8167 ax-1cn 8168 ax-1re 8169 ax-icn 8170 ax-addcl 8171 ax-addrcl 8172 ax-mulcl 8173 ax-mulrcl 8174 ax-addcom 8175 ax-mulcom 8176 ax-addass 8177 ax-mulass 8178 ax-distr 8179 ax-i2m1 8180 ax-0lt1 8181 ax-1rid 8182 ax-0id 8183 ax-rnegex 8184 ax-precex 8185 ax-cnre 8186 ax-pre-ltirr 8187 ax-pre-ltwlin 8188 ax-pre-lttrn 8189 ax-pre-apti 8190 ax-pre-ltadd 8191 ax-pre-mulgt0 8192 ax-pre-mulext 8193 ax-arch 8194 ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-isom 5342 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-irdg 6579 df-frec 6600 df-1o 6625 df-2o 6626 df-oadd 6629 df-er 6745 df-map 6862 df-en 6953 df-dom 6954 df-fin 6955 df-omni 7377 df-pnf 8258 df-mnf 8259 df-xr 8260 df-ltxr 8261 df-le 8262 df-sub 8394 df-neg 8395 df-reap 8797 df-ap 8804 df-div 8895 df-inn 9186 df-2 9244 df-3 9245 df-4 9246 df-n0 9445 df-z 9524 df-uz 9800 df-q 9898 df-rp 9933 df-ico 10173 df-fz 10289 df-fzo 10423 df-seqfrec 10756 df-exp 10847 df-ihash 11084 df-cj 11465 df-re 11466 df-im 11467 df-rsqrt 11621 df-abs 11622 df-clim 11902 df-sumdc 11977

This theorem is referenced by: trilpolemres 16757 neapmkvlem 16783

W3C validator