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Theorem uptx 12674
Description: Universal property of the binary topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
uptx.1  |-  T  =  ( R  tX  S
)
uptx.2  |-  X  = 
U. R
uptx.3  |-  Y  = 
U. S
uptx.4  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
uptx.5  |-  P  =  ( 1st  |`  Z )
uptx.6  |-  Q  =  ( 2nd  |`  Z )
Assertion
Ref Expression
uptx  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E! h  e.  ( U  Cn  T ) ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
Distinct variable groups:    h, F    h, G    P, h    Q, h    R, h    T, h    S, h    U, h    h, X   
h, Y
Allowed substitution hint:    Z( h)

Proof of Theorem uptx
Dummy variables  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2157 . . . . 5  |-  U. U  =  U. U
2 eqid 2157 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. U  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  =  ( x  e.  U. U  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)
31, 2txcnmpt 12673 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. )  e.  ( U  Cn  ( R  tX  S ) ) )
4 uptx.1 . . . . 5  |-  T  =  ( R  tX  S
)
54oveq2i 5835 . . . 4  |-  ( U  Cn  T )  =  ( U  Cn  ( R  tX  S ) )
63, 5eleqtrrdi 2251 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. )  e.  ( U  Cn  T ) )
7 uptx.2 . . . . . 6  |-  X  = 
U. R
81, 7cnf 12604 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  F : U. U --> X )
9 uptx.3 . . . . . 6  |-  Y  = 
U. S
101, 9cnf 12604 . . . . 5  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  G : U. U --> Y )
11 ffn 5319 . . . . . . . 8  |-  ( F : U. U --> X  ->  F  Fn  U. U )
1211adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  F  Fn  U. U )
13 fo1st 6105 . . . . . . . . . 10  |-  1st : _V -onto-> _V
14 fofn 5394 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st
: _V -onto-> _V  ->  1st 
Fn  _V )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  1st  Fn  _V
16 ssv 3150 . . . . . . . . 9  |-  ( X  X.  Y )  C_  _V
17 fnssres 5283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st  Fn  _V  /\  ( X  X.  Y
)  C_  _V )  ->  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y ) )
1815, 16, 17mp2an 423 . . . . . . . 8  |-  ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) )  Fn  ( X  X.  Y )
19 ffvelrn 5600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  x  e.  U. U )  ->  ( F `  x )  e.  X )
20 ffvelrn 5600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : U. U --> Y  /\  x  e.  U. U )  ->  ( G `  x )  e.  Y )
21 opelxpi 4618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  X  /\  ( G `  x )  e.  Y )  ->  <. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
2219, 20, 21syl2an 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  x  e. 
U. U )  /\  ( G : U. U --> Y  /\  x  e.  U. U ) )  ->  <. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
2322anandirs 583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  x  e.  U. U )  ->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
2423fmpttd 5622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) : U. U --> ( X  X.  Y
) )
2524ffnd 5320 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  Fn  U. U
)
2624frnd 5329 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  ran  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  C_  ( X  X.  Y ) )
27 fnco 5278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y )  /\  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  Fn  U. U  /\  ran  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  C_  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  Fn  U. U
)
2818, 25, 26, 27mp3an2i 1324 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  (
( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  Fn  U. U
)
29 fvco3 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) : U. U --> ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. U )  ->  (
( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) `  z )  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) ) `  (
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) `  z ) ) )
3024, 29sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) ) `  z
)  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) ) `  ( ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. ) `  z ) ) )
31 fveq2 5468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
32 fveq2 5468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
3331, 32opeq12d 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >.  =  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )
34 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  z  e.  U. U )
35 simpll 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  F : U. U
--> X )
3635, 34ffvelrnd 5603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( F `  z )  e.  X
)
37 simplr 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  G : U. U
--> Y )
3837, 34ffvelrnd 5603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( G `  z )  e.  Y
)
3936, 38opelxpd 4619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
402, 33, 34, 39fvmptd3 5561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( x  e.  U. U  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) `  z )  =  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>. )
4140fveq2d 5472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) ) `  (
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) `  z ) )  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) ) `  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.
) )
42 ffvelrn 5600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  z  e.  U. U )  ->  ( F `  z )  e.  X )
43 ffvelrn 5600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G : U. U --> Y  /\  z  e.  U. U )  ->  ( G `  z )  e.  Y )
44 opelxpi 4618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  X  /\  ( G `  z )  e.  Y )  ->  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
4542, 43, 44syl2an 287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  z  e. 
U. U )  /\  ( G : U. U --> Y  /\  z  e.  U. U ) )  ->  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.  e.  ( X  X.  Y
) )
4645anandirs 583 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z )
>.  e.  ( X  X.  Y ) )
4746fvresd 5493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) ) `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( 1st `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )
)
48 op1stg 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  X  /\  ( G `  z )  e.  Y )  -> 
( 1st `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( F `  z ) )
4936, 38, 48syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( 1st `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( F `  z ) )
5047, 49eqtrd 2190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) ) `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( F `  z ) )
5130, 41, 503eqtrrd 2195 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( F `  z )  =  ( ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) `  z )
)
5212, 28, 51eqfnfvd 5568 . . . . . 6  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  F  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y
) )  o.  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) )
53 uptx.5 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( 1st  |`  Z )
54 uptx.4 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( X  X.  Y
)
5554reseq2i 4863 . . . . . . . 8  |-  ( 1st  |`  Z )  =  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )
5653, 55eqtri 2178 . . . . . . 7  |-  P  =  ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )
5756coeq1i 4745 . . . . . 6  |-  ( P  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  =  ( ( 1st  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) )
5852, 57eqtr4di 2208 . . . . 5  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) )
598, 10, 58syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) ) )
60 ffn 5319 . . . . . . . 8  |-  ( G : U. U --> Y  ->  G  Fn  U. U )
6160adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  G  Fn  U. U )
62 fo2nd 6106 . . . . . . . . . 10  |-  2nd : _V -onto-> _V
63 fofn 5394 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2nd
: _V -onto-> _V  ->  2nd 
Fn  _V )
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  2nd  Fn  _V
65 fnssres 5283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd  Fn  _V  /\  ( X  X.  Y
)  C_  _V )  ->  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y ) )
6664, 16, 65mp2an 423 . . . . . . . 8  |-  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) )  Fn  ( X  X.  Y )
67 fnco 5278 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  Fn  ( X  X.  Y )  /\  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  Fn  U. U  /\  ran  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  C_  ( X  X.  Y
) )  ->  (
( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  Fn  U. U
)
6866, 25, 26, 67mp3an2i 1324 . . . . . . 7  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  (
( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  Fn  U. U
)
69 fvco3 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) : U. U --> ( X  X.  Y
)  /\  z  e.  U. U )  ->  (
( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) `  z )  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) ) `  (
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) `  z ) ) )
7024, 69sylan 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) ) `  z
)  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) ) `  ( ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. ) `  z ) ) )
7140fveq2d 5472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) ) `  (
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) `  z ) )  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) ) `  <. ( F `  z
) ,  ( G `
 z ) >.
) )
7246fvresd 5493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) ) `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( 2nd `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )
)
73 op2ndg 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  z
)  e.  X  /\  ( G `  z )  e.  Y )  -> 
( 2nd `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( G `  z ) )
7436, 38, 73syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( 2nd `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( G `  z ) )
7572, 74eqtrd 2190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) ) `  <. ( F `  z ) ,  ( G `  z ) >. )  =  ( G `  z ) )
7670, 71, 753eqtrrd 2195 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : U. U
--> X  /\  G : U. U --> Y )  /\  z  e.  U. U )  ->  ( G `  z )  =  ( ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) `  z )
)
7761, 68, 76eqfnfvd 5568 . . . . . 6  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  G  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y
) )  o.  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) )
78 uptx.6 . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( 2nd  |`  Z )
7954reseq2i 4863 . . . . . . . 8  |-  ( 2nd  |`  Z )  =  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )
8078, 79eqtri 2178 . . . . . . 7  |-  Q  =  ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )
8180coeq1i 4745 . . . . . 6  |-  ( Q  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  =  ( ( 2nd  |`  ( X  X.  Y ) )  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) )
8277, 81eqtr4di 2208 . . . . 5  |-  ( ( F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) )
838, 10, 82syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. ) ) )
846, 59, 83jca32 308 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) )  /\  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) ) ) )
85 eleq1 2220 . . . . 5  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( h  e.  ( U  Cn  T )  <-> 
( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x )
>. )  e.  ( U  Cn  T ) ) )
86 coeq2 4744 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( P  o.  h
)  =  ( P  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) )
8786eqeq2d 2169 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( F  =  ( P  o.  h )  <-> 
F  =  ( P  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) ) )
88 coeq2 4744 . . . . . . 7  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( Q  o.  h
)  =  ( Q  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) )
8988eqeq2d 2169 . . . . . 6  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( G  =  ( Q  o.  h )  <-> 
G  =  ( Q  o.  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
) ) )
9087, 89anbi12d 465 . . . . 5  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( ( F  =  ( P  o.  h
)  /\  G  =  ( Q  o.  h
) )  <->  ( F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) )  /\  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) ) ) )
9185, 90anbi12d 465 . . . 4  |-  ( h  =  ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  ->  ( ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  <-> 
( ( x  e. 
U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) )  /\  G  =  ( Q  o.  ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) ) ) ) )
9291spcegv 2800 . . 3  |-  ( ( x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  e.  ( U  Cn  T )  -> 
( ( ( x  e.  U. U  |->  <.
( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
)  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  ( x  e.  U. U  |->  <. ( F `  x ) ,  ( G `  x ) >. )
)  /\  G  =  ( Q  o.  (
x  e.  U. U  |-> 
<. ( F `  x
) ,  ( G `
 x ) >.
) ) ) )  ->  E. h ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
936, 84, 92sylc 62 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E. h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
94 eqid 2157 . . . . . . . 8  |-  U. T  =  U. T
951, 94cnf 12604 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( U  Cn  T )  ->  h : U. U --> U. T
)
96 cntop2 12602 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  R  e.  Top )
97 cntop2 12602 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( U  Cn  S )  ->  S  e.  Top )
984unieqi 3782 . . . . . . . . . 10  |-  U. T  =  U. ( R  tX  S )
997, 9txuni 12663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( R  tX  S ) )
10098, 99eqtr4id 2209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Top  /\  S  e.  Top )  ->  U. T  =  ( X  X.  Y ) )
10196, 97, 100syl2an 287 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  U. T  =  ( X  X.  Y ) )
102101feq3d 5308 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( h : U. U
--> U. T  <->  h : U. U --> ( X  X.  Y ) ) )
10395, 102syl5ib 153 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( h  e.  ( U  Cn  T )  ->  h : U. U
--> ( X  X.  Y
) ) )
104103anim1d 334 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h )
) ) ) )
105 3anass 967 . . . . 5  |-  ( ( h : U. U --> ( X  X.  Y
)  /\  F  =  ( P  o.  h
)  /\  G  =  ( Q  o.  h
) )  <->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h )
) ) )
106104, 105syl6ibr 161 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  -> 
( ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
107106alrimiv 1854 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  A. h ( ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
108 cntop1 12601 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  U  e.  Top )
109 uniexg 4399 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Top  ->  U. U  e.  _V )
110108, 109syl 14 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( U  Cn  R )  ->  U. U  e.  _V )
11156, 80upxp 12672 . . . . 5  |-  ( ( U. U  e.  _V  /\  F : U. U --> X  /\  G : U. U
--> Y )  ->  E! h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
112110, 8, 10, 111syl2an3an 1280 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E! h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
113 eumo 2038 . . . 4  |-  ( E! h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) )  ->  E* h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
114112, 113syl 14 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E* h ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
115 moim 2070 . . 3  |-  ( A. h ( ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( h : U. U --> ( X  X.  Y )  /\  F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  ->  ( E* h
( h : U. U
--> ( X  X.  Y
)  /\  F  =  ( P  o.  h
)  /\  G  =  ( Q  o.  h
) )  ->  E* h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
116107, 114, 115sylc 62 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E* h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) )
117 df-reu 2442 . . 3  |-  ( E! h  e.  ( U  Cn  T ) ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) )  <->  E! h
( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h
)  /\  G  =  ( Q  o.  h
) ) ) )
118 eu5 2053 . . 3  |-  ( E! h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  <-> 
( E. h ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h )
) )  /\  E* h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) ) ) )
119117, 118bitri 183 . 2  |-  ( E! h  e.  ( U  Cn  T ) ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) )  <->  ( E. h ( h  e.  ( U  Cn  T
)  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )  /\  E* h ( h  e.  ( U  Cn  T )  /\  ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h )
) ) ) )
12093, 116, 119sylanbrc 414 1  |-  ( ( F  e.  ( U  Cn  R )  /\  G  e.  ( U  Cn  S ) )  ->  E! h  e.  ( U  Cn  T ) ( F  =  ( P  o.  h )  /\  G  =  ( Q  o.  h ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 963   A.wal 1333    = wceq 1335   E.wex 1472   E!weu 2006   E*wmo 2007    e. wcel 2128   E!wreu 2437   _Vcvv 2712    C_ wss 3102   <.cop 3563   U.cuni 3772    |-> cmpt 4025    X. cxp 4584   ran crn 4587    |` cres 4588    o. ccom 4590    Fn wfn 5165   -->wf 5166   -onto->wfo 5168   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   1stc1st 6086   2ndc2nd 6087   Topctop 12395    Cn ccn 12585    tX ctx 12652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-map 6595  df-topgen 12372  df-top 12396  df-topon 12409  df-bases 12441  df-cn 12588  df-tx 12653
This theorem is referenced by:  txcn  12675
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