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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > uptx | Unicode version |
Description: Universal property of the binary topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
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uptx.1 |
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uptx.2 |
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uptx.3 |
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uptx.4 |
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uptx.5 |
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uptx.6 |
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uptx |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2177 |
. . . . 5
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2 | eqid 2177 |
. . . . 5
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3 | 1, 2 | txcnmpt 13743 |
. . . 4
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4 | uptx.1 |
. . . . 5
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5 | 4 | oveq2i 5885 |
. . . 4
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6 | 3, 5 | eleqtrrdi 2271 |
. . 3
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7 | uptx.2 |
. . . . . 6
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8 | 1, 7 | cnf 13674 |
. . . . 5
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9 | uptx.3 |
. . . . . 6
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10 | 1, 9 | cnf 13674 |
. . . . 5
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11 | ffn 5365 |
. . . . . . . 8
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12 | 11 | adantr 276 |
. . . . . . 7
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13 | fo1st 6157 |
. . . . . . . . . 10
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14 | fofn 5440 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 13, 14 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . 9
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16 | ssv 3177 |
. . . . . . . . 9
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17 | fnssres 5329 |
. . . . . . . . 9
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18 | 15, 16, 17 | mp2an 426 |
. . . . . . . 8
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19 | ffvelcdm 5649 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | ffvelcdm 5649 |
. . . . . . . . . . . 12
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21 | opelxpi 4658 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 19, 20, 21 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 22 | anandirs 593 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 23 | fmpttd 5671 |
. . . . . . . . 9
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25 | 24 | ffnd 5366 |
. . . . . . . 8
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26 | 24 | frnd 5375 |
. . . . . . . 8
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27 | fnco 5324 |
. . . . . . . 8
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28 | 18, 25, 26, 27 | mp3an2i 1342 |
. . . . . . 7
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29 | fvco3 5587 |
. . . . . . . . 9
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30 | 24, 29 | sylan 283 |
. . . . . . . 8
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31 | fveq2 5515 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | fveq2 5515 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 31, 32 | opeq12d 3786 |
. . . . . . . . . 10
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34 | simpr 110 |
. . . . . . . . . 10
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35 | simpll 527 |
. . . . . . . . . . . 12
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36 | 35, 34 | ffvelcdmd 5652 |
. . . . . . . . . . 11
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37 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 37, 34 | ffvelcdmd 5652 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 36, 38 | opelxpd 4659 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 2, 33, 34, 39 | fvmptd3 5609 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | fveq2d 5519 |
. . . . . . . 8
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42 | ffvelcdm 5649 |
. . . . . . . . . . . 12
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43 | ffvelcdm 5649 |
. . . . . . . . . . . 12
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44 | opelxpi 4658 |
. . . . . . . . . . . 12
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45 | 42, 43, 44 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . . 11
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46 | 45 | anandirs 593 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 46 | fvresd 5540 |
. . . . . . . . 9
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48 | op1stg 6150 |
. . . . . . . . . 10
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49 | 36, 38, 48 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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50 | 47, 49 | eqtrd 2210 |
. . . . . . . 8
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51 | 30, 41, 50 | 3eqtrrd 2215 |
. . . . . . 7
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52 | 12, 28, 51 | eqfnfvd 5616 |
. . . . . 6
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53 | uptx.5 |
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. . . . . . . . 9
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55 | 54 | reseq2i 4904 |
. . . . . . . 8
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56 | 53, 55 | eqtri 2198 |
. . . . . . 7
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57 | 56 | coeq1i 4786 |
. . . . . 6
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58 | 52, 57 | eqtr4di 2228 |
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59 | 8, 10, 58 | syl2an 289 |
. . . 4
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60 | ffn 5365 |
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62 | fo2nd 6158 |
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63 | fofn 5440 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 62, 63 | ax-mp 5 |
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65 | fnssres 5329 |
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66 | 64, 16, 65 | mp2an 426 |
. . . . . . . 8
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67 | fnco 5324 |
. . . . . . . 8
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68 | 66, 25, 26, 67 | mp3an2i 1342 |
. . . . . . 7
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69 | fvco3 5587 |
. . . . . . . . 9
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. . . . . . . 8
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71 | 40 | fveq2d 5519 |
. . . . . . . 8
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72 | 46 | fvresd 5540 |
. . . . . . . . 9
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73 | op2ndg 6151 |
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74 | 36, 38, 73 | syl2anc 411 |
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75 | 72, 74 | eqtrd 2210 |
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76 | 70, 71, 75 | 3eqtrrd 2215 |
. . . . . . 7
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77 | 61, 68, 76 | eqfnfvd 5616 |
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. . . . . . . 8
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79 | 54 | reseq2i 4904 |
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. . . . . . 7
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81 | 80 | coeq1i 4786 |
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82 | 77, 81 | eqtr4di 2228 |
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89 | 88 | eqeq2d 2189 |
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. . . . . . . . 9
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97 | cntop2 13672 |
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98 | 4 | unieqi 3819 |
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99 | 7, 9 | txuni 13733 |
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100 | 98, 99 | eqtr4id 2229 |
. . . . . . . . 9
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101 | 96, 97, 100 | syl2an 289 |
. . . . . . . 8
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102 | 101 | feq3d 5354 |
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103 | 95, 102 | imbitrid 154 |
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104 | 103 | anim1d 336 |
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105 | 3anass 982 |
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106 | 104, 105 | imbitrrdi 162 |
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107 | 106 | alrimiv 1874 |
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108 | cntop1 13671 |
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109 | uniexg 4439 |
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110 | 108, 109 | syl 14 |
. . . . 5
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111 | 56, 80 | upxp 13742 |
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112 | 110, 8, 10, 111 | syl2an3an 1298 |
. . . 4
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113 | eumo 2058 |
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114 | 112, 113 | syl 14 |
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115 | moim 2090 |
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116 | 107, 114, 115 | sylc 62 |
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117 | df-reu 2462 |
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118 | eu5 2073 |
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119 | 117, 118 | bitri 184 |
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120 | 93, 116, 119 | sylanbrc 417 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-id 4293 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-map 6649 df-topgen 12708 df-top 13468 df-topon 13481 df-bases 13513 df-cn 13658 df-tx 13723 |
This theorem is referenced by: txcn 13745 |
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