Theorem uptx 12285

Description: Universal property of the binary topological product. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uptx.1	|- T = ( R tX S )
uptx.2	|- X = U. R
uptx.3	|- Y = U. S
uptx.4	|- Z = ( X X. Y )
uptx.5	|- P = ( 1st |` Z )
uptx.6	|- Q = ( 2nd |` Z )

Assertion

Ref	Expression
uptx	|- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )

Distinct variable groups:   h, F   h, G   P, h   Q, h   R, h   T, h   S, h   U, h   h, X   h, Y

Allowed substitution hint:   Z( h)

Proof of Theorem uptx

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2115	. . . . 5 |- U. U = U. U
2		eqid 2115	. . . . 5 |- ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. )
3	1, 2	txcnmpt 12284	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn ( R tX S ) ) )
4		uptx.1	. . . . 5 |- T = ( R tX S )
5	4	oveq2i 5739	. . . 4 |- ( U Cn T ) = ( U Cn ( R tX S ) )
6	3, 5	syl6eleqr 2208	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) )
7		uptx.2	. . . . . 6 |- X = U. R
8	1, 7	cnf 12215	. . . . 5 |- ( F e. ( U Cn R ) -> F : U. U --> X )
9		uptx.3	. . . . . 6 |- Y = U. S
10	1, 9	cnf 12215	. . . . 5 |- ( G e. ( U Cn S ) -> G : U. U --> Y )
11		ffn 5230	. . . . . . . 8 |- ( F : U. U --> X -> F Fn U. U )
12	11	adantr 272	. . . . . . 7 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> F Fn U. U )
13		fo1st 6009	. . . . . . . . . 10 |- 1st : _V -onto-> _V
14		fofn 5305	. . . . . . . . . 10 |- ( 1st : _V -onto-> _V -> 1st Fn _V )
15	13, 14	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- 1st Fn _V
16		ssv 3085	. . . . . . . . 9 |- ( X X. Y ) C_ _V
17		fnssres 5194	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st Fn _V /\ ( X X. Y ) C_ _V ) -> ( 1st |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) )
18	15, 16, 17	mp2an 420	. . . . . . . 8 |- ( 1st |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y )
19		ffvelrn 5507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : U. U --> X /\ x e. U. U ) -> ( F ` x ) e. X )
20		ffvelrn 5507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : U. U --> Y /\ x e. U. U ) -> ( G ` x ) e. Y )
21		opelxpi 4531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) e. X /\ ( G ` x ) e. Y ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( X X. Y ) )
22	19, 20, 21	syl2an 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ x e. U. U ) /\ ( G : U. U --> Y /\ x e. U. U ) ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( X X. Y ) )
23	22	anandirs 565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ x e. U. U ) -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. e. ( X X. Y ) )
24	23	fmpttd 5529	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) )
25	24	ffnd 5231	. . . . . . . 8 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U )
26	24	frnd 5240	. . . . . . . 8 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ran ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) C_ ( X X. Y ) )
27		fnco 5189	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) /\ ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U /\ ran ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) C_ ( X X. Y ) ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U )
28	18, 25, 26, 27	mp3an2i 1303	. . . . . . 7 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U )
29		fvco3 5446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) )
30	24, 29	sylan 279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) )
31		fveq2 5375	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( F ` x ) = ( F ` z ) )
32		fveq2 5375	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
33	31, 32	opeq12d 3679	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. = <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. )
34		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> z e. U. U )
35		simpll 501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> F : U. U --> X )
36	35, 34	ffvelrnd 5510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( F ` z ) e. X )
37		simplr 502	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> G : U. U --> Y )
38	37, 34	ffvelrnd 5510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( G ` z ) e. Y )
39	36, 38	opelxpd 4532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) )
40	2, 33, 34, 39	fvmptd3 5468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) = <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. )
41	40	fveq2d 5379	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
42		ffvelrn 5507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : U. U --> X /\ z e. U. U ) -> ( F ` z ) e. X )
43		ffvelrn 5507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G : U. U --> Y /\ z e. U. U ) -> ( G ` z ) e. Y )
44		opelxpi 4531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` z ) e. X /\ ( G ` z ) e. Y ) -> <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) )
45	42, 43, 44	syl2an 285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ z e. U. U ) /\ ( G : U. U --> Y /\ z e. U. U ) ) -> <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) )
46	45	anandirs 565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. e. ( X X. Y ) )
47	46	fvresd 5400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( 1st ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
48		op1stg 6002	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` z ) e. X /\ ( G ` z ) e. Y ) -> ( 1st ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( F ` z ) )
49	36, 38, 48	syl2anc 406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( 1st ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( F ` z ) )
50	47, 49	eqtrd 2147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( F ` z ) )
51	30, 41, 50	3eqtrrd 2152	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( F ` z ) = ( ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) )
52	12, 28, 51	eqfnfvd 5475	. . . . . 6 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> F = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
53		uptx.5	. . . . . . . 8 |- P = ( 1st |` Z )
54		uptx.4	. . . . . . . . 9 |- Z = ( X X. Y )
55	54	reseq2i 4774	. . . . . . . 8 |- ( 1st |` Z ) = ( 1st |` ( X X. Y ) )
56	53, 55	eqtri 2135	. . . . . . 7 |- P = ( 1st |` ( X X. Y ) )
57	56	coeq1i 4658	. . . . . 6 |- ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) = ( ( 1st |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) )
58	52, 57	syl6eqr 2165	. . . . 5 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
59	8, 10, 58	syl2an 285	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
60		ffn 5230	. . . . . . . 8 |- ( G : U. U --> Y -> G Fn U. U )
61	60	adantl 273	. . . . . . 7 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> G Fn U. U )
62		fo2nd 6010	. . . . . . . . . 10 |- 2nd : _V -onto-> _V
63		fofn 5305	. . . . . . . . . 10 |- ( 2nd : _V -onto-> _V -> 2nd Fn _V )
64	62, 63	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- 2nd Fn _V
65		fnssres 5194	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2nd Fn _V /\ ( X X. Y ) C_ _V ) -> ( 2nd |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) )
66	64, 16, 65	mp2an 420	. . . . . . . 8 |- ( 2nd |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y )
67		fnco 5189	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) /\ ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) Fn U. U /\ ran ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) C_ ( X X. Y ) ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U )
68	66, 25, 26, 67	mp3an2i 1303	. . . . . . 7 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) Fn U. U )
69		fvco3 5446	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) : U. U --> ( X X. Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) )
70	24, 69	sylan 279	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) )
71	40	fveq2d 5379	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ` z ) ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
72	46	fvresd 5400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( 2nd ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) )
73		op2ndg 6003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` z ) e. X /\ ( G ` z ) e. Y ) -> ( 2nd ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( G ` z ) )
74	36, 38, 73	syl2anc 406	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( 2nd ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( G ` z ) )
75	72, 74	eqtrd 2147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) ` <. ( F ` z ) , ( G ` z ) >. ) = ( G ` z ) )
76	70, 71, 75	3eqtrrd 2152	. . . . . . 7 |- ( ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) /\ z e. U. U ) -> ( G ` z ) = ( ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ` z ) )
77	61, 68, 76	eqfnfvd 5475	. . . . . 6 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> G = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
78		uptx.6	. . . . . . . 8 |- Q = ( 2nd |` Z )
79	54	reseq2i 4774	. . . . . . . 8 |- ( 2nd |` Z ) = ( 2nd |` ( X X. Y ) )
80	78, 79	eqtri 2135	. . . . . . 7 |- Q = ( 2nd |` ( X X. Y ) )
81	80	coeq1i 4658	. . . . . 6 |- ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) = ( ( 2nd |` ( X X. Y ) ) o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) )
82	77, 81	syl6eqr 2165	. . . . 5 |- ( ( F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
83	8, 10, 82	syl2an 285	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
84	6, 59, 83	jca32 306	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) )
85		eleq1 2177	. . . . 5 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( h e. ( U Cn T ) <-> ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) ) )
86		coeq2 4657	. . . . . . 7 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( P o. h ) = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
87	86	eqeq2d 2126	. . . . . 6 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( F = ( P o. h ) <-> F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) )
88		coeq2 4657	. . . . . . 7 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( Q o. h ) = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) )
89	88	eqeq2d 2126	. . . . . 6 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( G = ( Q o. h ) <-> G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) )
90	87, 89	anbi12d 462	. . . . 5 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) )
91	85, 90	anbi12d 462	. . . 4 |- ( h = ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) -> ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) <-> ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) ) )
92	91	spcegv 2745	. . 3 |- ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) -> ( ( ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) /\ G = ( Q o. ( x e. U. U |-> <. ( F ` x ) , ( G ` x ) >. ) ) ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
93	6, 84, 92	sylc 62	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
94		eqid 2115	. . . . . . . 8 |- U. T = U. T
95	1, 94	cnf 12215	. . . . . . 7 |- ( h e. ( U Cn T ) -> h : U. U --> U. T )
96		cntop2 12213	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( U Cn R ) -> R e. Top )
97		cntop2 12213	. . . . . . . . 9 |- ( G e. ( U Cn S ) -> S e. Top )
98	7, 9	txuni 12274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> ( X X. Y ) = U. ( R tX S ) )
99	4	unieqi 3712	. . . . . . . . . 10 |- U. T = U. ( R tX S )
100	98, 99	syl6reqr 2166	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Top /\ S e. Top ) -> U. T = ( X X. Y ) )
101	96, 97, 100	syl2an 285	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> U. T = ( X X. Y ) )
102	101	feq3d 5219	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( h : U. U --> U. T <-> h : U. U --> ( X X. Y ) ) )
103	95, 102	syl5ib 153	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( h e. ( U Cn T ) -> h : U. U --> ( X X. Y ) ) )
104	103	anim1d 332	. . . . 5 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
105		3anass 949	. . . . 5 |- ( ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
106	104, 105	syl6ibr 161	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
107	106	alrimiv 1828	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> A. h ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
108		cntop1 12212	. . . . . 6 |- ( F e. ( U Cn R ) -> U e. Top )
109		uniexg 4321	. . . . . 6 |- ( U e. Top -> U. U e. _V )
110	108, 109	syl 14	. . . . 5 |- ( F e. ( U Cn R ) -> U. U e. _V )
111	56, 80	upxp 12283	. . . . 5 |- ( ( U. U e. _V /\ F : U. U --> X /\ G : U. U --> Y ) -> E! h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )
112	110, 8, 10, 111	syl2an3an 1259	. . . 4 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E! h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )
113		eumo 2007	. . . 4 |- ( E! h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) -> E* h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )
114	112, 113	syl 14	. . 3 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E* h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )
115		moim 2039	. . 3 |- ( A. h ( ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) -> ( E* h ( h : U. U --> ( X X. Y ) /\ F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) -> E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
116	107, 114, 115	sylc 62	. 2 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
117		df-reu 2397	. . 3 |- ( E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> E! h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) )
118		eu5 2022	. . 3 |- ( E! h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) <-> ( E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) /\ E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
119	117, 118	bitri 183	. 2 |- ( E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) <-> ( E. h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) /\ E* h ( h e. ( U Cn T ) /\ ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) ) ) )
120	93, 116, 119	sylanbrc 411	1 |- ( ( F e. ( U Cn R ) /\ G e. ( U Cn S ) ) -> E! h e. ( U Cn T ) ( F = ( P o. h ) /\ G = ( Q o. h ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 945   A.wal 1312   = wceq 1314   E.wex 1451   e. wcel 1463   E!weu 1975   E*wmo 1976   E!wreu 2392   _Vcvv 2657   C_ wss 3037   <.cop 3496   U.cuni 3702   |-> cmpt 3949   X. cxp 4497   ran crn 4500   |` cres 4501   o. ccom 4503   Fn wfn 5076   -->wf 5077   -onto->wfo 5079   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   1stc1st 5990   2ndc2nd 5991   Topctop 12007   Cn ccn 12197   tX ctx 12263

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-map 6498  df-topgen 11984  df-top 12008  df-topon 12021  df-bases 12053  df-cn 12200  df-tx 12264

This theorem is referenced by:  txcn  12286