Theorem fvres 5651

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	|- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Proof of Theorem fvres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2802	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	brres 5011	. . . 4 |- ( A ( F |` B ) x <-> ( A F x /\ A e. B ) )
3	2	rbaib 926	. . 3 |- ( A e. B -> ( A ( F |` B ) x <-> A F x ) )
4	3	iotabidv 5301	. 2 |- ( A e. B -> ( iota x A ( F |` B ) x ) = ( iota x A F x ) )
5		df-fv 5326	. 2 |- ( ( F |` B ) ` A ) = ( iota x A ( F |` B ) x )
6		df-fv 5326	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota x A F x )
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2287	1 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   |` cres 4721   iotacio 5276   ` cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-res 4731  df-iota 5278  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  fvresd  5652  funssfv  5653  feqresmpt  5688  fvreseq  5738  respreima  5763  ffvresb  5798  fnressn  5825  fressnfv  5826  fvresi  5832  fvunsng  5833  fvsnun1  5836  fvsnun2  5837  fsnunfv  5840  funfvima  5871  isoresbr  5933  isores3  5939  isoini2  5943  ovres  6145  ofres  6233  offres  6280  fo1stresm  6307  fo2ndresm  6308  fo2ndf  6373  f1o2ndf1  6374  smores  6438  smores2  6440  tfrlem1  6454  rdgival  6528  frec0g  6543  freccllem  6548  frecsuclem  6552  frecrdg  6554  resixp  6880  djulclr  7216  djurclr  7217  djur  7236  updjudhcoinlf  7247  updjudhcoinrg  7248  updjud  7249  finomni  7307  exmidfodomrlemrALT  7381  addpiord  7503  mulpiord  7504  suplocexprlemell  7900  fseq1p1m1  10290  seq3feq2  10698  seqf1oglem2  10742  seq3coll  11064  pfxccat1  11234  shftidt  11344  climres  11814  fisumss  11903  isumclim3  11934  fsum2dlemstep  11945  fprodssdc  12101  fprod2dlemstep  12133  reeff1  12211  eucalgcvga  12580  eucalg  12581  strslfv2d  13075  setsslid  13083  setsslnid  13084  resmhm  13520  resghm  13797  rngmgpf  13900  mgpf  13974  znf1o  14615  cnptopresti  14912  cnptoprest  14913  lmres  14922  tx1cn  14943  tx2cn  14944  cnmpt1st  14962  cnmpt2nd  14963  remetdval  15221  rescncf  15255  limcdifap  15336  limcresi  15340  plyreres  15438  reeff1o  15447  reefiso  15451  ioocosf1o  15528  relogcl  15536  relogef  15538  logltb  15548  mpodvdsmulf1o  15664  fsumdvdsmul  15665  djucllem  16164  012of  16357  2o01f  16358