Theorem fvres 5600

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	|- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Proof of Theorem fvres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2775	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	brres 4965	. . . 4 |- ( A ( F |` B ) x <-> ( A F x /\ A e. B ) )
3	2	rbaib 923	. . 3 |- ( A e. B -> ( A ( F |` B ) x <-> A F x ) )
4	3	iotabidv 5254	. 2 |- ( A e. B -> ( iota x A ( F |` B ) x ) = ( iota x A F x ) )
5		df-fv 5279	. 2 |- ( ( F |` B ) ` A ) = ( iota x A ( F |` B ) x )
6		df-fv 5279	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota x A F x )
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2263	1 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   |` cres 4677   iotacio 5230   ` cfv 5271

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-res 4687  df-iota 5232  df-fv 5279

This theorem is referenced by:  fvresd  5601  funssfv  5602  feqresmpt  5633  fvreseq  5683  respreima  5708  ffvresb  5743  fnressn  5770  fressnfv  5771  fvresi  5777  fvunsng  5778  fvsnun1  5781  fvsnun2  5782  fsnunfv  5785  funfvima  5816  isoresbr  5878  isores3  5884  isoini2  5888  ovres  6086  ofres  6173  offres  6220  fo1stresm  6247  fo2ndresm  6248  fo2ndf  6313  f1o2ndf1  6314  smores  6378  smores2  6380  tfrlem1  6394  rdgival  6468  frec0g  6483  freccllem  6488  frecsuclem  6492  frecrdg  6494  resixp  6820  djulclr  7151  djurclr  7152  djur  7171  updjudhcoinlf  7182  updjudhcoinrg  7183  updjud  7184  finomni  7242  exmidfodomrlemrALT  7311  addpiord  7429  mulpiord  7430  suplocexprlemell  7826  fseq1p1m1  10216  seq3feq2  10621  seqf1oglem2  10665  seq3coll  10987  shftidt  11144  climres  11614  fisumss  11703  isumclim3  11734  fsum2dlemstep  11745  fprodssdc  11901  fprod2dlemstep  11933  reeff1  12011  eucalgcvga  12380  eucalg  12381  strslfv2d  12875  setsslid  12883  setsslnid  12884  resmhm  13319  resghm  13596  rngmgpf  13699  mgpf  13773  znf1o  14413  cnptopresti  14710  cnptoprest  14711  lmres  14720  tx1cn  14741  tx2cn  14742  cnmpt1st  14760  cnmpt2nd  14761  remetdval  15019  rescncf  15053  limcdifap  15134  limcresi  15138  plyreres  15236  reeff1o  15245  reefiso  15249  ioocosf1o  15326  relogcl  15334  relogef  15336  logltb  15346  mpodvdsmulf1o  15462  fsumdvdsmul  15463  djucllem  15736  012of  15930  2o01f  15931