Theorem fvres 5719

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	|- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Proof of Theorem fvres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	brres 5069	. . . 4 |- ( A ( F |` B ) x <-> ( A F x /\ A e. B ) )
3	2	rbaib 933	. . 3 |- ( A e. B -> ( A ( F |` B ) x <-> A F x ) )
4	3	iotabidv 5360	. 2 |- ( A e. B -> ( iota x A ( F |` B ) x ) = ( iota x A F x ) )
5		df-fv 5385	. 2 |- ( ( F |` B ) ` A ) = ( iota x A ( F |` B ) x )
6		df-fv 5385	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota x A F x )
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2296	1 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   |` cres 4776   iotacio 5335   ` cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-res 4786  df-iota 5337  df-fv 5385

This theorem is used by:  fvresd  5720  funssfv  5721  feqresmpt  5757  fvreseq  5812  respreima  5836  ffvresb  5871  fnressn  5901  fressnfv  5902  fvresi  5908  fvunsng  5909  fvsnun1  5912  fvsnun2  5913  fsnunfv  5916  funfvima  5950  isoresbr  6015  isores3  6021  isoini2  6025  ovres  6229  ofres  6317  offres  6368  fo1stresm  6395  fo2ndresm  6396  fo2ndf  6463  f1o2ndf1  6464  smores  6563  smores2  6565  tfrlem1  6579  rdgival  6653  frec0g  6668  freccllem  6673  frecsuclem  6677  frecrdg  6679  resixp  7015  djulclr  7390  djurclr  7391  djur  7410  updjudhcoinlf  7421  updjudhcoinrg  7422  updjud  7423  finomni  7481  exmidfodomrlemrALT  7556  addpiord  7684  mulpiord  7685  suplocexprlemell  8081  fseq1p1m1  10512  seq3feq2  10928  seqf1oglem2  10972  hashf1lem1  11301  seq3coll  11310  pfxccat1  11490  shftidt  11614  climres  12088  fisumss  12178  isumclim3  12209  fsum2dlemstep  12220  fprodssdc  12376  fprod2dlemstep  12408  reeff1  12486  eucalgcvga  12855  eucalg  12856  strslfv2d  13447  setsslid  13455  setsslnid  13456  resmhm  13847  resghm  14116  gsummptfidmadd  14245  gsumsubmclfi  14247  rngmgpf  14327  mgpf  14406  znf1o  15077  cnptopresti  15438  cnptoprest  15439  lmres  15448  tx1cn  15469  tx2cn  15470  cnmpt1st  15488  cnmpt2nd  15489  remetdval  15747  rescncf  15781  limcdifap  15862  limcresi  15866  plyreres  15964  reeff1o  15973  reefiso  15977  ioocosf1o  16056  relogcl  16065  relogef  16067  logltb  16078  mpodvdsmulf1o  16258  fsumdvdsmul  16259  djucllem  17007  012of  17202  2o01f  17203