Theorem fvres 5722

Description: The value of a restricted function. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
fvres	|- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Proof of Theorem fvres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	brres 5071	. . . 4 |- ( A ( F |` B ) x <-> ( A F x /\ A e. B ) )
3	2	rbaib 933	. . 3 |- ( A e. B -> ( A ( F |` B ) x <-> A F x ) )
4	3	iotabidv 5363	. 2 |- ( A e. B -> ( iota x A ( F |` B ) x ) = ( iota x A F x ) )
5		df-fv 5388	. 2 |- ( ( F |` B ) ` A ) = ( iota x A ( F |` B ) x )
6		df-fv 5388	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota x A F x )
7	4, 5, 6	3eqtr4g 2296	1 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   |` cres 4778   iotacio 5338   ` cfv 5380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-res 4788  df-iota 5340  df-fv 5388

This theorem is used by:  fvresd  5723  funssfv  5724  feqresmpt  5760  fvreseq  5815  respreima  5839  ffvresb  5874  fnressn  5904  fressnfv  5905  fvresi  5911  fvunsng  5912  fvsnun1  5915  fvsnun2  5916  fsnunfv  5919  funfvima  5953  isoresbr  6018  isores3  6024  isoini2  6028  ovres  6232  ofres  6321  offres  6372  fo1stresm  6399  fo2ndresm  6400  fo2ndf  6467  f1o2ndf1  6468  smores  6568  smores2  6570  tfrlem1  6584  rdgival  6658  frec0g  6673  freccllem  6678  frecsuclem  6682  frecrdg  6684  resixp  7021  djulclr  7395  djurclr  7396  djur  7415  updjudhcoinlf  7426  updjudhcoinrg  7427  updjud  7428  finomni  7486  exmidfodomrlemrALT  7561  addpiord  7689  mulpiord  7690  suplocexprlemell  8086  fseq1p1m1  10517  seq3feq2  10933  seqf1oglem2  10977  hashf1lem1  11306  seq3coll  11315  pfxccat1  11495  shftidt  11619  climres  12093  fisumss  12183  isumclim3  12214  fsum2dlemstep  12225  fprodssdc  12381  fprod2dlemstep  12413  reeff1  12491  eucalgcvga  12860  eucalg  12861  strslfv2d  13452  setsslid  13460  setsslnid  13461  resmhm  13852  resghm  14121  gsummptfidmadd  14250  gsumsubmclfi  14252  rngmgpf  14342  mgpf  14421  znf1o  15094  cnptopresti  15481  cnptoprest  15482  lmres  15491  tx1cn  15512  tx2cn  15513  cnmpt1st  15531  cnmpt2nd  15532  remetdval  15790  rescncf  15824  limcdifap  15905  limcresi  15909  plyreres  16007  reeff1o  16016  reefiso  16020  ioocosf1o  16099  relogcl  16108  relogef  16110  logltb  16121  mpodvdsmulf1o  16301  fsumdvdsmul  16302  djucllem  17050  012of  17245  2o01f  17246