Theorem funssfv 5455

Description: The value of a member of the domain of a subclass of a function. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funssfv	|- ( ( Fun F /\ G C_ F /\ A e. dom G ) -> ( F ` A ) = ( G ` A ) )

Proof of Theorem funssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5453	. . . 4 |- ( A e. dom G -> ( ( F |` dom G ) ` A ) = ( F ` A ) )
2	1	eqcomd 2146	. . 3 |- ( A e. dom G -> ( F ` A ) = ( ( F |` dom G ) ` A ) )
3		funssres 5173	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( F |` dom G ) = G )
4	3	fveq1d 5431	. . 3 |- ( ( Fun F /\ G C_ F ) -> ( ( F |` dom G ) ` A ) = ( G ` A ) )
5	2, 4	sylan9eqr 2195	. 2 |- ( ( ( Fun F /\ G C_ F ) /\ A e. dom G ) -> ( F ` A ) = ( G ` A ) )
6	5	3impa 1177	1 |- ( ( Fun F /\ G C_ F /\ A e. dom G ) -> ( F ` A ) = ( G ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   C_ wss 3076   dom cdm 4547   |` cres 4549   Fun wfun 5125   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  tfrlem9  6224  tfrlemiubacc  6235  tfr1onlemubacc  6251  tfrcllemubacc  6264  ac6sfi  6800  ennnfonelemex  11963