Theorem fvresd 5673

Description: The value of a restricted function, deduction version of fvres 5672. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvresd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvresd	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Proof of Theorem fvresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvresd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵)
2		fvres 5672	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ↾ 𝐵)‘𝐴) = (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ↾ cres 4733  ‘cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-res 4743  df-iota 5293  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  resfvresima  5901  difinfsn  7342  seqf1oglem2  10828  gsumsplit1r  13544  resmhm  13633  resghm  13910  upxp  15066  uptx  15068  reeflog  15657  relogef  15658  mpodvdsmulf1o  15787  uhgrspansubgrlem  16200  wlkres  16303  trilpolemlt1  16756