Theorem infeq1d 7358

Description: Equality deduction for infimum. (Contributed by AV, 2-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
infeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
infeq1d	|- ( ph -> inf ( B , A , R ) = inf ( C , A , R ) )

Proof of Theorem infeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		infeq1 7357	. 2 |- ( B = C -> inf ( B , A , R ) = inf ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> inf ( B , A , R ) = inf ( C , A , R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402  infcinf 7329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-uni 3936  df-sup 7330  df-inf 7331

This theorem is used by:  infssfzcldc  10685  infssfzledc  10686  zsupssdc  10689  xrbdtri  12066  nnmindc  12835  nnminle  12836  lcmval  12865  lcmass  12887  odzval  13048  ballotfilemi  13300  ballotfi  13339  nninfdclemcl  13396  nninfdclemp1  13398  nninfdc  13401  bdmetval  15743  bdxmet  15744  qtopbasss  15764  hovera  15890  hoverb  15891  hoverlt1  15892  hovergt0  15893  ivthdich  15896  repiecele0  17298  repiecege0  17299  repiecef  17300