Theorem infeq1d 7352

Description: Equality deduction for infimum. (Contributed by AV, 2-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
infeq1d.1	|- ( ph -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
infeq1d	|- ( ph -> inf ( B , A , R ) = inf ( C , A , R ) )

Proof of Theorem infeq1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infeq1d.1	. 2 |- ( ph -> B = C )
2		infeq1 7351	. 2 |- ( B = C -> inf ( B , A , R ) = inf ( C , A , R ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> inf ( B , A , R ) = inf ( C , A , R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402  infcinf 7323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-uni 3936  df-sup 7324  df-inf 7325

This theorem is used by:  infssfzcldc  10679  infssfzledc  10680  zsupssdc  10683  xrbdtri  12058  nnmindc  12827  nnminle  12828  lcmval  12857  lcmass  12879  odzval  13040  ballotfilemi  13292  ballotfi  13331  nninfdclemcl  13388  nninfdclemp1  13390  nninfdc  13393  bdmetval  15650  bdxmet  15651  qtopbasss  15671  hovera  15797  hoverb  15798  hoverlt1  15799  hovergt0  15800  ivthdich  15803  repiecele0  17173  repiecege0  17174  repiecef  17175