Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdxmet Unicode version

Theorem bdxmet 12707
 Description: The standard bounded metric is an extended metric given an extended metric and a positive extended real cutoff. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1 inf
Assertion
Ref Expression
bdxmet
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem bdxmet
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 982 . . . . 5
2 xmetcl 12558 . . . . . . 7
3 xmetge0 12571 . . . . . . 7
4 elxrge0 9790 . . . . . . 7
52, 3, 4sylanbrc 414 . . . . . 6
653expb 1183 . . . . 5
71, 6sylan 281 . . . 4
8 xmetf 12556 . . . . . . 7
983ad2ant1 1003 . . . . . 6
109ffnd 5280 . . . . 5
11 fnovim 5886 . . . . 5
1210, 11syl 14 . . . 4
13 eqidd 2141 . . . 4 inf inf
14 preq1 3607 . . . . 5
1514infeq1d 6906 . . . 4 inf inf
167, 12, 13, 15fmpoco 6120 . . 3 inf inf
17 stdbdmet.1 . . 3 inf
1816, 17eqtr4di 2191 . 2 inf
19 elxrge0 9790 . . . . . 6
2019simplbi 272 . . . . 5
21 simp2 983 . . . . 5
22 xrmincl 11066 . . . . 5 inf
2320, 21, 22syl2anr 288 . . . 4 inf
2423fmpttd 5582 . . 3 inf
25 eqid 2140 . . . . . 6 inf inf
26 preq1 3607 . . . . . . 7
2726infeq1d 6906 . . . . . 6 inf inf
28 simpr 109 . . . . . 6
29 elxrge0 9790 . . . . . . . 8
3029simplbi 272 . . . . . . 7
31 xrmincl 11066 . . . . . . 7 inf
3230, 21, 31syl2anr 288 . . . . . 6 inf
3325, 27, 28, 32fvmptd3 5521 . . . . 5 inf inf
3433eqeq1d 2149 . . . 4 inf inf
35 0xr 7835 . . . . . . . . 9
3635a1i 9 . . . . . . . 8
3730adantl 275 . . . . . . . 8
3821adantr 274 . . . . . . . 8
39 xrltmininf 11070 . . . . . . . 8 inf
4036, 37, 38, 39syl3anc 1217 . . . . . . 7 inf
41 simp3 984 . . . . . . . . 9
4241adantr 274 . . . . . . . 8
4342biantrud 302 . . . . . . 7
4440, 43bitr4d 190 . . . . . 6 inf
4544notbid 657 . . . . 5 inf
4628, 29sylib 121 . . . . . . . . . 10
4746simprd 113 . . . . . . . . 9
48 xrltle 9613 . . . . . . . . . . . 12
4935, 21, 48sylancr 411 . . . . . . . . . . 11
5041, 49mpd 13 . . . . . . . . . 10
5150adantr 274 . . . . . . . . 9
52 xrlemininf 11071 . . . . . . . . . 10 inf
5336, 37, 38, 52syl3anc 1217 . . . . . . . . 9 inf
5447, 51, 53mpbir2and 929 . . . . . . . 8 inf
55 xrlenlt 7852 . . . . . . . . 9 inf inf inf
5635, 32, 55sylancr 411 . . . . . . . 8 inf inf
5754, 56mpbid 146 . . . . . . 7 inf
5857biantrurd 303 . . . . . 6 inf inf inf
59 xrlttri3 9612 . . . . . . 7 inf inf inf inf
6032, 36, 59syl2anc 409 . . . . . 6 inf inf inf
6158, 60bitr4d 190 . . . . 5 inf inf
62 xrlenlt 7852 . . . . . . . . 9
6335, 37, 62sylancr 411 . . . . . . . 8
6447, 63mpbid 146 . . . . . . 7
6564biantrurd 303 . . . . . 6
66 xrlttri3 9612 . . . . . . 7
6737, 36, 66syl2anc 409 . . . . . 6
6865, 67bitr4d 190 . . . . 5
6945, 61, 683bitr3d 217 . . . 4 inf
7034, 69bitrd 187 . . 3 inf
7130ad2antrl 482 . . . . . . . 8
7221adantr 274 . . . . . . . 8
73 xrmin1inf 11067 . . . . . . . 8 inf
7471, 72, 73syl2anc 409 . . . . . . 7 inf
7571, 72, 31syl2anc 409 . . . . . . . 8 inf
76 elxrge0 9790 . . . . . . . . . 10
7776simplbi 272 . . . . . . . . 9
7877ad2antll 483 . . . . . . . 8
79 xrletr 9620 . . . . . . . 8 inf inf inf
8075, 71, 78, 79syl3anc 1217 . . . . . . 7 inf inf
8174, 80mpand 426 . . . . . 6 inf
82 xrmin2inf 11068 . . . . . . 7 inf
8371, 72, 82syl2anc 409 . . . . . 6 inf
8481, 83jctird 315 . . . . 5 inf inf
85 xrlemininf 11071 . . . . . 6 inf inf inf inf inf
8675, 78, 72, 85syl3anc 1217 . . . . 5 inf inf inf inf
8784, 86sylibrd 168 . . . 4 inf inf
8833adantrr 471 . . . . 5 inf inf
89 preq1 3607 . . . . . . 7
9089infeq1d 6906 . . . . . 6 inf inf
91 simpr 109 . . . . . . 7
9291adantl 275 . . . . . 6
93 xrmincl 11066 . . . . . . 7 inf
9478, 72, 93syl2anc 409 . . . . . 6 inf
9525, 90, 92, 94fvmptd3 5521 . . . . 5 inf inf
9688, 95breq12d 3949 . . . 4 inf inf inf inf
9787, 96sylibrd 168 . . 3 inf inf
9829simprbi 273 . . . . . 6
9998ad2antrl 482 . . . . 5
10076simprbi 273 . . . . . 6
101100ad2antll 483 . . . . 5
10241adantr 274 . . . . 5
103 xrbdtri 11076 . . . . 5 inf inf inf
10471, 99, 78, 101, 72, 102, 103syl222anc 1233 . . . 4 inf inf inf
105 preq1 3607 . . . . . 6
106105infeq1d 6906 . . . . 5 inf inf
107 ge0xaddcl 9795 . . . . . 6
108107adantl 275 . . . . 5
10971, 78xaddcld 9696 . . . . . 6
110 xrmincl 11066 . . . . . 6 inf
111109, 72, 110syl2anc 409 . . . . 5 inf
11225, 106, 108, 111fvmptd3 5521 . . . 4 inf inf
11388, 95oveq12d 5799 . . . 4 inf inf inf inf
114104, 112, 1133brtr4d 3967 . . 3 inf inf inf
1151, 24, 70, 97, 114comet 12705 . 2 inf
11618, 115eqeltrrd 2218 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 963   wceq 1332   wcel 1481  cpr 3532   class class class wbr 3936   cmpt 3996   cxp 4544   ccom 4550   wfn 5125  wf 5126  cfv 5130  (class class class)co 5781   cmpo 5783  infcinf 6877  cc0 7643   cpnf 7820  cxr 7822   clt 7823   cle 7824  cxad 9586  cicc 9703  cxmet 12186 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-map 6551  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-rp 9470  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-icc 9707  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-xmet 12194 This theorem is referenced by:  bdmet  12708  bdbl  12709  bdmopn  12710
 Copyright terms: Public domain W3C validator