Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lcmval Unicode version

Theorem lcmval 11640
 Description: Value of the lcm operator. lcm is the least common multiple of and . If either or is , the result is defined conventionally as . Contrast with df-gcd 11532 and gcdval 11544. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmval lcm inf
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem lcmval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lcm 11638 . . 3 lcm inf
21a1i 9 . 2 lcm inf
3 eqeq1 2122 . . . . . 6
43orbi1d 763 . . . . 5
5 breq1 3900 . . . . . . . 8
65anbi1d 458 . . . . . . 7
76rabbidv 2647 . . . . . 6
87infeq1d 6865 . . . . 5 inf inf
94, 8ifbieq2d 3464 . . . 4 inf inf
10 eqeq1 2122 . . . . . 6
1110orbi2d 762 . . . . 5
12 breq1 3900 . . . . . . . 8
1312anbi2d 457 . . . . . . 7
1413rabbidv 2647 . . . . . 6
1514infeq1d 6865 . . . . 5 inf inf
1611, 15ifbieq2d 3464 . . . 4 inf inf
179, 16sylan9eq 2168 . . 3 inf inf
1817adantl 273 . 2 inf inf
19 simpl 108 . 2
20 simpr 109 . 2
21 c0ex 7724 . . . 4
2221a1i 9 . . 3
23 1zzd 9032 . . . . 5
24 nnuz 9310 . . . . . 6
25 rabeq 2650 . . . . . 6
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5
27 dvdsmul1 11411 . . . . . . . 8
2827adantr 272 . . . . . . 7
29 simpll 501 . . . . . . . 8
30 simplr 502 . . . . . . . . 9
3129, 30zmulcld 9130 . . . . . . . 8
32 dvdsabsb 11408 . . . . . . . 8
3329, 31, 32syl2anc 406 . . . . . . 7
3428, 33mpbid 146 . . . . . 6
35 dvdsmul2 11412 . . . . . . . 8
3635adantr 272 . . . . . . 7
37 dvdsabsb 11408 . . . . . . . 8
3830, 31, 37syl2anc 406 . . . . . . 7
3936, 38mpbid 146 . . . . . 6
4029zcnd 9125 . . . . . . . . 9
4130zcnd 9125 . . . . . . . . 9
4240, 41absmuld 10906 . . . . . . . 8
43 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13
44 ioran 724 . . . . . . . . . . . . 13
4543, 44sylib 121 . . . . . . . . . . . 12
4645simpld 111 . . . . . . . . . . 11
4746neqned 2290 . . . . . . . . . 10
48 nnabscl 10812 . . . . . . . . . 10
4929, 47, 48syl2anc 406 . . . . . . . . 9
5045simprd 113 . . . . . . . . . . 11
5150neqned 2290 . . . . . . . . . 10
52 nnabscl 10812 . . . . . . . . . 10
5330, 51, 52syl2anc 406 . . . . . . . . 9
5449, 53nnmulcld 8726 . . . . . . . 8
5542, 54eqeltrd 2192 . . . . . . 7
56 breq2 3901 . . . . . . . . 9
57 breq2 3901 . . . . . . . . 9
5856, 57anbi12d 462 . . . . . . . 8
5958elrab3 2812 . . . . . . 7
6055, 59syl 14 . . . . . 6
6134, 39, 60mpbir2and 911 . . . . 5
62 elfzelz 9746 . . . . . . 7
63 zdvdsdc 11410 . . . . . . 7 DECID
6429, 62, 63syl2an 285 . . . . . 6 DECID
65 zdvdsdc 11410 . . . . . . 7 DECID
6630, 62, 65syl2an 285 . . . . . 6 DECID
67 dcan 901 . . . . . 6 DECID DECID DECID
6864, 66, 67sylc 62 . . . . 5 DECID
6923, 26, 61, 68infssuzcldc 11540 . . . 4 inf
7069elexd 2671 . . 3 inf
71 lcmmndc 11639 . . 3 DECID
7222, 70, 71ifcldadc 3469 . 2 inf
732, 18, 19, 20, 72ovmpod 5864 1 lcm inf
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wb 104   wo 680  DECID wdc 802   wceq 1314   wcel 1463   wne 2283  crab 2395  cvv 2658  cif 3442   class class class wbr 3897  cfv 5091  (class class class)co 5740   cmpo 5742  infcinf 6836  cr 7583  cc0 7584  c1 7585   cmul 7589   clt 7764  cn 8677  cz 9005  cuz 9275  cfz 9730  cabs 10709   cdvds 11389   lcm clcm 11637 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-sup 6837  df-inf 6838  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-fl 9983  df-mod 10036  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-dvds 11390  df-lcm 11638 This theorem is referenced by:  lcmcom  11641  lcm0val  11642  lcmn0val  11643  lcmass  11662
 Copyright terms: Public domain W3C validator