Theorem nnminle 12038

Description: The infimum of a decidable subset of the natural numbers is less than an element of the set. The infimum is also a minimum as shown at nnmindc 12037. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnminle	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem nnminle

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss5 3342	. . . . . 6 |- ( A C_ NN <-> A = ( NN i^i A ) )
2	1	biimpi 120	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> A = ( NN i^i A ) )
3		nnuz 9565	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4	3	ineq1i 3334	. . . . . 6 |- ( NN i^i A ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A )
5		dfin5 3138	. . . . . 6 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
6	4, 5	eqtri 2198	. . . . 5 |- ( NN i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
7	2, 6	eqtrdi 2226	. . . 4 |- ( A C_ NN -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
8	7	3ad2ant1 1018	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
9	8	infeq1d 7013	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( A , RR , < ) = inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) )
10		1zzd 9282	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> 1 e. ZZ )
11		eqid 2177	. . 3 |- { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
12		simp3 999	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> B e. A )
13	12, 8	eleqtrd 2256	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> B e. { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
14		eleq1w 2238	. . . . 5 |- ( x = n -> ( x e. A <-> n e. A ) )
15	14	dcbid 838	. . . 4 |- ( x = n -> (DECID x e. A <-> DECID n e. A ) )
16		simpl2 1001	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) /\ n e. ( 1 ... B ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
17		elfznn 10056	. . . . 5 |- ( n e. ( 1 ... B ) -> n e. NN )
18	17	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) /\ n e. ( 1 ... B ) ) -> n e. NN )
19	15, 16, 18	rspcdva 2848	. . 3 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) /\ n e. ( 1 ... B ) ) -> DECID n e. A )
20	10, 11, 13, 19	infssuzledc 11953	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) <_ B )
21	9, 20	eqbrtrd 4027	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   {crab 2459   i^i cin 3130   C_ wss 3131   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877  infcinf 6984   RRcr 7812   1c1 7814   < clt 7994   <_ cle 7995   NNcn 8921   ZZ>=cuz 9530   ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-fzo 10145

This theorem is referenced by:  nnwodc  12039