Theorem nnminle 12624

Description: The infimum of a decidable subset of the natural numbers is less than an element of the set. The infimum is also a minimum as shown at nnmindc 12623. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnminle	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem nnminle

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss5 3412	. . . . . 6 |- ( A C_ NN <-> A = ( NN i^i A ) )
2	1	biimpi 120	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> A = ( NN i^i A ) )
3		nnuz 9792	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4	3	ineq1i 3404	. . . . . 6 |- ( NN i^i A ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A )
5		dfin5 3207	. . . . . 6 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
6	4, 5	eqtri 2252	. . . . 5 |- ( NN i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
7	2, 6	eqtrdi 2280	. . . 4 |- ( A C_ NN -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
8	7	3ad2ant1 1044	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
9	8	infeq1d 7211	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( A , RR , < ) = inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) )
10		1zzd 9506	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> 1 e. ZZ )
11		eqid 2231	. . 3 |- { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
12		simp3 1025	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> B e. A )
13	12, 8	eleqtrd 2310	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> B e. { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
14		eleq1w 2292	. . . . 5 |- ( x = n -> ( x e. A <-> n e. A ) )
15	14	dcbid 845	. . . 4 |- ( x = n -> (DECID x e. A <-> DECID n e. A ) )
16		simpl2 1027	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) /\ n e. ( 1 ... B ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
17		elfznn 10289	. . . . 5 |- ( n e. ( 1 ... B ) -> n e. NN )
18	17	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) /\ n e. ( 1 ... B ) ) -> n e. NN )
19	15, 16, 18	rspcdva 2915	. . 3 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) /\ n e. ( 1 ... B ) ) -> DECID n e. A )
20	10, 11, 13, 19	infssuzledc 10495	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) <_ B )
21	9, 20	eqbrtrd 4110	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   {crab 2514   i^i cin 3199   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   ` cfv 5326  (class class class)co 6018  infcinf 7182   RRcr 8031   1c1 8033   < clt 8214   <_ cle 8215   NNcn 9143   ZZ>=cuz 9755   ...cfz 10243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378

This theorem is referenced by:  nnwodc  12625