Theorem nnminle 12596

Description: The infimum of a decidable subset of the natural numbers is less than an element of the set. The infimum is also a minimum as shown at nnmindc 12595. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnminle	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem nnminle

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss5 3410	. . . . . 6 |- ( A C_ NN <-> A = ( NN i^i A ) )
2	1	biimpi 120	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> A = ( NN i^i A ) )
3		nnuz 9782	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4	3	ineq1i 3402	. . . . . 6 |- ( NN i^i A ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A )
5		dfin5 3205	. . . . . 6 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
6	4, 5	eqtri 2250	. . . . 5 |- ( NN i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
7	2, 6	eqtrdi 2278	. . . 4 |- ( A C_ NN -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
8	7	3ad2ant1 1042	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
9	8	infeq1d 7202	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( A , RR , < ) = inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) )
10		1zzd 9496	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> 1 e. ZZ )
11		eqid 2229	. . 3 |- { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
12		simp3 1023	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> B e. A )
13	12, 8	eleqtrd 2308	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> B e. { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
14		eleq1w 2290	. . . . 5 |- ( x = n -> ( x e. A <-> n e. A ) )
15	14	dcbid 843	. . . 4 |- ( x = n -> (DECID x e. A <-> DECID n e. A ) )
16		simpl2 1025	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) /\ n e. ( 1 ... B ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
17		elfznn 10279	. . . . 5 |- ( n e. ( 1 ... B ) -> n e. NN )
18	17	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) /\ n e. ( 1 ... B ) ) -> n e. NN )
19	15, 16, 18	rspcdva 2913	. . 3 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) /\ n e. ( 1 ... B ) ) -> DECID n e. A )
20	10, 11, 13, 19	infssuzledc 10484	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) <_ B )
21	9, 20	eqbrtrd 4108	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   i^i cin 3197   C_ wss 3198   class class class wbr 4086   ` cfv 5324  (class class class)co 6013  infcinf 7173   RRcr 8021   1c1 8023   < clt 8204   <_ cle 8205   NNcn 9133   ZZ>=cuz 9745   ...cfz 10233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-fz 10234  df-fzo 10368

This theorem is referenced by:  nnwodc  12597