Theorem nnminle 12227

Description: The infimum of a decidable subset of the natural numbers is less than an element of the set. The infimum is also a minimum as shown at nnmindc 12226. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnminle	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem nnminle

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss5 3369	. . . . . 6 |- ( A C_ NN <-> A = ( NN i^i A ) )
2	1	biimpi 120	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> A = ( NN i^i A ) )
3		nnuz 9654	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4	3	ineq1i 3361	. . . . . 6 |- ( NN i^i A ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A )
5		dfin5 3164	. . . . . 6 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
6	4, 5	eqtri 2217	. . . . 5 |- ( NN i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
7	2, 6	eqtrdi 2245	. . . 4 |- ( A C_ NN -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
8	7	3ad2ant1 1020	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
9	8	infeq1d 7087	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( A , RR , < ) = inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) )
10		1zzd 9370	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> 1 e. ZZ )
11		eqid 2196	. . 3 |- { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
12		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> B e. A )
13	12, 8	eleqtrd 2275	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> B e. { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
14		eleq1w 2257	. . . . 5 |- ( x = n -> ( x e. A <-> n e. A ) )
15	14	dcbid 839	. . . 4 |- ( x = n -> (DECID x e. A <-> DECID n e. A ) )
16		simpl2 1003	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) /\ n e. ( 1 ... B ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
17		elfznn 10146	. . . . 5 |- ( n e. ( 1 ... B ) -> n e. NN )
18	17	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) /\ n e. ( 1 ... B ) ) -> n e. NN )
19	15, 16, 18	rspcdva 2873	. . 3 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) /\ n e. ( 1 ... B ) ) -> DECID n e. A )
20	10, 11, 13, 19	infssuzledc 10341	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) <_ B )
21	9, 20	eqbrtrd 4056	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ B e. A ) -> inf ( A , RR , < ) <_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   i^i cin 3156   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925  infcinf 7058   RRcr 7895   1c1 7897   < clt 8078   <_ cle 8079   NNcn 9007   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-fzo 10235

This theorem is referenced by:  nnwodc  12228