Theorem zsupssdc 11909

Description: An inhabited decidable bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-suploc 7895.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zsupssdc.a	|- ( ph -> A C_ ZZ )
zsupssdc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
zsupssdc.dc	|- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
zsupssdc.ub	|- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )

Assertion

Ref	Expression
zsupssdc	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z)   B( y, z)

Proof of Theorem zsupssdc

Dummy variables a m n w b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsupssdc.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
2		breq1 3992	. . . . . 6 |- ( y = m -> ( y <_ x <-> m <_ x ) )
3	2	cbvralvw 2700	. . . . 5 |- ( A. y e. A y <_ x <-> A. m e. A m <_ x )
4		breq2 3993	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( m <_ x <-> m <_ n ) )
5	4	ralbidv 2470	. . . . 5 |- ( x = n -> ( A. m e. A m <_ x <-> A. m e. A m <_ n ) )
6	3, 5	syl5bb 191	. . . 4 |- ( x = n -> ( A. y e. A y <_ x <-> A. m e. A m <_ n ) )
7	6	cbvrexvw 2701	. . 3 |- ( E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x <-> E. n e. ZZ A. m e. A m <_ n )
8	1, 7	sylib 121	. 2 |- ( ph -> E. n e. ZZ A. m e. A m <_ n )
9		zsupssdc.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x x e. A )
10		eleq1w 2231	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
11	10	cbvexv 1911	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A <-> E. a a e. A )
12	9, 11	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ph -> E. a a e. A )
13	12	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> E. a a e. A )
14		uzssz 9506	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` -u n ) C_ ZZ
15		rabss2 3230	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= ` -u n ) C_ ZZ -> { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } C_ { w e. ZZ | -u w e. A } )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } C_ { w e. ZZ | -u w e. A }
17		negeq 8112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = w -> -u b = -u w )
18	17	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = w -> ( -u b e. A <-> -u w e. A ) )
19		simp1rl 1057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> n e. ZZ )
20	19	znegcld 9336	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> -u n e. ZZ )
21		simp2 993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> w e. ZZ )
22	21	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> w e. RR )
23	19	zred 9334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> n e. RR )
24		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = -u w -> ( m <_ n <-> -u w <_ n ) )
25		simp1rr 1058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> A. m e. A m <_ n )
26		simp3 994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> -u w e. A )
27	24, 25, 26	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> -u w <_ n )
28	22, 23, 27	lenegcon1d 8446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> -u n <_ w )
29		eluz2 9493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( ZZ>= ` -u n ) <-> ( -u n e. ZZ /\ w e. ZZ /\ -u n <_ w ) )
30	20, 21, 28, 29	syl3anbrc 1176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> w e. ( ZZ>= ` -u n ) )
31	18, 30, 26	elrabd 2888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> w e. { b e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u b e. A } )
32	31	rabssdv 3227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> { w e. ZZ | -u w e. A } C_ { b e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u b e. A } )
33	18	cbvrabv 2729	. . . . . . . . . . 11 |- { b e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u b e. A } = { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A }
34	32, 33	sseqtrdi 3195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> { w e. ZZ | -u w e. A } C_ { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } )
35	16	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } C_ { w e. ZZ | -u w e. A } )
36	34, 35	eqssd 3164	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> { w e. ZZ | -u w e. A } = { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } )
37	36	infeq1d 6989	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) = inf ( { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } , RR , < ) )
38	37	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) = inf ( { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } , RR , < ) )
39		simprl 526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> n e. ZZ )
40	39	znegcld 9336	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> -u n e. ZZ )
41	40	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -u n e. ZZ )
42		eqid 2170	. . . . . . . 8 |- { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } = { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A }
43		negeq 8112	. . . . . . . . . 10 |- ( w = -u a -> -u w = -u -u a )
44	43	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( w = -u a -> ( -u w e. A <-> -u -u a e. A ) )
45		zsupssdc.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ ZZ )
46	45	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> A C_ ZZ )
47		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> a e. A )
48	46, 47	sseldd 3148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> a e. ZZ )
49	48	znegcld 9336	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -u a e. ZZ )
50		breq1 3992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = a -> ( m <_ n <-> a <_ n ) )
51		simplrr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> A. m e. A m <_ n )
52	50, 51, 47	rspcdva 2839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> a <_ n )
53	48	zred 9334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> a e. RR )
54	39	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> n e. ZZ )
55	54	zred 9334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> n e. RR )
56	53, 55	lenegd 8443	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> ( a <_ n <-> -u n <_ -u a ) )
57	52, 56	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -u n <_ -u a )
58		eluz2 9493	. . . . . . . . . 10 |- ( -u a e. ( ZZ>= ` -u n ) <-> ( -u n e. ZZ /\ -u a e. ZZ /\ -u n <_ -u a ) )
59	41, 49, 57, 58	syl3anbrc 1176	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -u a e. ( ZZ>= ` -u n ) )
60	48	zcnd 9335	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> a e. CC )
61	60	negnegd 8221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -u -u a = a )
62	61, 47	eqeltrd 2247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -u -u a e. A )
63	44, 59, 62	elrabd 2888	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -u a e. { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } )
64		eleq1 2233	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u w -> ( x e. A <-> -u w e. A ) )
65	64	dcbid 833	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u w -> (DECID x e. A <-> DECID -u w e. A ) )
66		zsupssdc.dc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
67	66	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ( -u n ... -u a ) ) -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
68		elfzelz 9981	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ( -u n ... -u a ) -> w e. ZZ )
69	68	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ( -u n ... -u a ) ) -> w e. ZZ )
70	69	znegcld 9336	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ( -u n ... -u a ) ) -> -u w e. ZZ )
71	65, 67, 70	rspcdva 2839	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ( -u n ... -u a ) ) -> DECID -u w e. A )
72	71	adantlr 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) /\ w e. ( -u n ... -u a ) ) -> DECID -u w e. A )
73	41, 42, 63, 72	infssuzcldc 11906	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } )
74	38, 73	eqeltrd 2247	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } )
75	16, 74	sselid 3145	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ZZ | -u w e. A } )
76	13, 75	exlimddv 1891	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ZZ | -u w e. A } )
77		negeq 8112	. . . . . . 7 |- ( n = inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> -u n = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) )
78	77	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( n = inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( -u n e. A <-> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A ) )
79		negeq 8112	. . . . . . . 8 |- ( w = n -> -u w = -u n )
80	79	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( w = n -> ( -u w e. A <-> -u n e. A ) )
81	80	cbvrabv 2729	. . . . . 6 |- { w e. ZZ | -u w e. A } = { n e. ZZ | -u n e. A }
82	78, 81	elrab2 2889	. . . . 5 |- (inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ZZ | -u w e. A } <-> (inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. ZZ /\ -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A ) )
83	82	simprbi 273	. . . 4 |- (inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ZZ | -u w e. A } -> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A )
84	76, 83	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A )
85		ssrab2 3232	. . . . . . . . 9 |- { w e. ZZ | -u w e. A } C_ ZZ
86	85, 75	sselid 3145	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. ZZ )
87	86	zred 9334	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. RR )
88	87	renegcld 8299	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. RR )
89	41, 42, 63, 72	infssuzledc 11905	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } , RR , < ) <_ -u a )
90	38, 89	eqbrtrd 4011	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) <_ -u a )
91	87, 53, 90	lenegcon2d 8447	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> a <_ -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) )
92	53, 88, 91	lensymd 8041	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < a )
93	92	ralrimiva 2543	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> A. a e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < a )
94		breq2 3993	. . . . . 6 |- ( a = y -> ( -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < a <-> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y ) )
95	94	notbid 662	. . . . 5 |- ( a = y -> ( -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < a <-> -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y ) )
96	95	cbvralv 2696	. . . 4 |- ( A. a e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < a <-> A. y e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y )
97	93, 96	sylib 121	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> A. y e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y )
98		breq2 3993	. . . . . . 7 |- ( z = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( y < z <-> y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) ) )
99	98	rspcev 2834	. . . . . 6 |- ( ( -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A /\ y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) ) -> E. z e. A y < z )
100	99	ex 114	. . . . 5 |- ( -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A -> ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) )
101	84, 100	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) )
102	101	ralrimivw 2544	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> A. y e. B ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) )
103		breq1 3992	. . . . . . 7 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( x < y <-> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y ) )
104	103	notbid 662	. . . . . 6 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( -. x < y <-> -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y ) )
105	104	ralbidv 2470	. . . . 5 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( A. y e. A -. x < y <-> A. y e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y ) )
106		breq2 3993	. . . . . . 7 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( y < x <-> y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) ) )
107	106	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( ( y < x -> E. z e. A y < z ) <-> ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) ) )
108	107	ralbidv 2470	. . . . 5 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) <-> A. y e. B ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) ) )
109	105, 108	anbi12d 470	. . . 4 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y /\ A. y e. B ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) ) ) )
110	109	rspcev 2834	. . 3 |- ( ( -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A /\ ( A. y e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y /\ A. y e. B ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
111	84, 97, 102, 110	syl12anc 1231	. 2 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
112	8, 111	rexlimddv 2592	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853  infcinf 6960   RRcr 7773   < clt 7954   <_ cle 7955   -ucneg 8091   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by:  suprzcl2dc  11910