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Theorem zsupssdc 11896
Description: An inhabited decidable bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-suploc 7882.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
zsupssdc.a  |-  ( ph  ->  A  C_  ZZ )
zsupssdc.m  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
zsupssdc.dc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ZZ DECID  x  e.  A )
zsupssdc.ub  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )
Assertion
Ref Expression
zsupssdc  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z)    B( y, z)

Proof of Theorem zsupssdc
Dummy variables  a  m  n  w  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsupssdc.ub . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )
2 breq1 3990 . . . . . 6  |-  ( y  =  m  ->  (
y  <_  x  <->  m  <_  x ) )
32cbvralvw 2700 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  x )
4 breq2 3991 . . . . . 6  |-  ( x  =  n  ->  (
m  <_  x  <->  m  <_  n ) )
54ralbidv 2470 . . . . 5  |-  ( x  =  n  ->  ( A. m  e.  A  m  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  n ) )
63, 5syl5bb 191 . . . 4  |-  ( x  =  n  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. m  e.  A  m  <_  n ) )
76cbvrexvw 2701 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  <->  E. n  e.  ZZ  A. m  e.  A  m  <_  n )
81, 7sylib 121 . 2  |-  ( ph  ->  E. n  e.  ZZ  A. m  e.  A  m  <_  n )
9 zsupssdc.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
10 eleq1w 2231 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  A  <->  a  e.  A ) )
1110cbvexv 1911 . . . . . . 7  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. a  a  e.  A
)
129, 11sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. a  a  e.  A )
1312adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  E. a 
a  e.  A )
14 uzssz 9493 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  -u n )  C_  ZZ
15 rabss2 3230 . . . . . . 7  |-  ( (
ZZ>= `  -u n )  C_  ZZ  ->  { w  e.  ( ZZ>= `  -u n )  |  -u w  e.  A }  C_  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { w  e.  ( ZZ>= `  -u n )  |  -u w  e.  A }  C_  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }
17 negeq 8099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  w  ->  -u b  =  -u w )
1817eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  w  ->  ( -u b  e.  A  <->  -u w  e.  A ) )
19 simp1rl 1057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  n  e.  ZZ )
2019znegcld 9323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u n  e.  ZZ )
21 simp2 993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  ZZ )
2221zred 9321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  RR )
2319zred 9321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  n  e.  RR )
24 breq1 3990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  -u w  ->  (
m  <_  n  <->  -u w  <_  n ) )
25 simp1rr 1058 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  A. m  e.  A  m  <_  n )
26 simp3 994 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u w  e.  A )
2724, 25, 26rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u w  <_  n )
2822, 23, 27lenegcon1d 8433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  -u n  <_  w )
29 eluz2 9480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  ( ZZ>= `  -u n
)  <->  ( -u n  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ  /\  -u n  <_  w ) )
3020, 21, 28, 29syl3anbrc 1176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  ( ZZ>= `  -u n ) )
3118, 30, 26elrabd 2888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
)  ->  w  e.  { b  e.  ( ZZ>= `  -u n )  |  -u b  e.  A }
)
3231rabssdv 3227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  { b  e.  ( ZZ>= `  -u n
)  |  -u b  e.  A } )
3318cbvrabv 2729 . . . . . . . . . . 11  |-  { b  e.  ( ZZ>= `  -u n
)  |  -u b  e.  A }  =  {
w  e.  ( ZZ>= `  -u n )  |  -u w  e.  A }
3432, 33sseqtrdi 3195 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  { w  e.  ( ZZ>= `  -u n )  |  -u w  e.  A } )
3516a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  { w  e.  ( ZZ>= `  -u n )  |  -u w  e.  A }  C_  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
3634, 35eqssd 3164 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =  {
w  e.  ( ZZ>= `  -u n )  |  -u w  e.  A }
)
3736infeq1d 6985 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  -> inf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  = inf ( { w  e.  ( ZZ>= `  -u n )  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  ) )
3837adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  -> inf ( {
w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  = inf ( { w  e.  ( ZZ>= `  -u n )  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  ) )
39 simprl 526 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  n  e.  ZZ )
4039znegcld 9323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  -u n  e.  ZZ )
4140adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  -u n  e.  ZZ )
42 eqid 2170 . . . . . . . 8  |-  { w  e.  ( ZZ>= `  -u n )  |  -u w  e.  A }  =  { w  e.  ( ZZ>= `  -u n )  |  -u w  e.  A }
43 negeq 8099 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  -u a  ->  -u w  =  -u -u a )
4443eleq1d 2239 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  -u a  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u -u a  e.  A ) )
45 zsupssdc.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  ZZ )
4645ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  A  C_  ZZ )
47 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  a  e.  A )
4846, 47sseldd 3148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  a  e.  ZZ )
4948znegcld 9323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  -u a  e.  ZZ )
50 breq1 3990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  a  ->  (
m  <_  n  <->  a  <_  n ) )
51 simplrr 531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  A. m  e.  A  m  <_  n )
5250, 51, 47rspcdva 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  a  <_  n )
5348zred 9321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  a  e.  RR )
5439adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  n  e.  ZZ )
5554zred 9321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  n  e.  RR )
5653, 55lenegd 8430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  ( a  <_  n  <->  -u n  <_  -u a
) )
5752, 56mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  -u n  <_  -u a )
58 eluz2 9480 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u a  e.  ( ZZ>= `  -u n )  <->  ( -u n  e.  ZZ  /\  -u a  e.  ZZ  /\  -u n  <_ 
-u a ) )
5941, 49, 57, 58syl3anbrc 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  -u a  e.  ( ZZ>= `  -u n ) )
6048zcnd 9322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  a  e.  CC )
6160negnegd 8208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  -u -u a  =  a )
6261, 47eqeltrd 2247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  -u -u a  e.  A )
6344, 59, 62elrabd 2888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  -u a  e. 
{ w  e.  (
ZZ>= `  -u n )  | 
-u w  e.  A } )
64 eleq1 2233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u w  ->  (
x  e.  A  <->  -u w  e.  A ) )
6564dcbid 833 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u w  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  -u w  e.  A ) )
66 zsupssdc.dc . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ZZ DECID  x  e.  A )
6766ad2antrr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  (
-u n ... -u a
) )  ->  A. x  e.  ZZ DECID  x  e.  A )
68 elfzelz 9968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  ( -u n ... -u a )  ->  w  e.  ZZ )
6968adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  (
-u n ... -u a
) )  ->  w  e.  ZZ )
7069znegcld 9323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  (
-u n ... -u a
) )  ->  -u w  e.  ZZ )
7165, 67, 70rspcdva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  w  e.  (
-u n ... -u a
) )  -> DECID  -u w  e.  A
)
7271adantlr 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\ 
A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  /\  w  e.  ( -u n ... -u a
) )  -> DECID  -u w  e.  A
)
7341, 42, 63, 72infssuzcldc 11893 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  -> inf ( {
w  e.  ( ZZ>= `  -u n )  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  { w  e.  (
ZZ>= `  -u n )  | 
-u w  e.  A } )
7438, 73eqeltrd 2247 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  -> inf ( {
w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  { w  e.  (
ZZ>= `  -u n )  | 
-u w  e.  A } )
7516, 74sselid 3145 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  -> inf ( {
w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
7613, 75exlimddv 1891 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  -> inf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } )
77 negeq 8099 . . . . . . 7  |-  ( n  = inf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  -u n  =  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  ) )
7877eleq1d 2239 . . . . . 6  |-  ( n  = inf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  ( -u n  e.  A  <->  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  A ) )
79 negeq 8099 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  n  ->  -u w  =  -u n )
8079eleq1d 2239 . . . . . . 7  |-  ( w  =  n  ->  ( -u w  e.  A  <->  -u n  e.  A ) )
8180cbvrabv 2729 . . . . . 6  |-  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  =  {
n  e.  ZZ  |  -u n  e.  A }
8278, 81elrab2 2889 . . . . 5  |-  (inf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  <->  (inf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  ZZ  /\  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  A
) )
8382simprbi 273 . . . 4  |-  (inf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  ->  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  A )
8476, 83syl 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  A )
85 ssrab2 3232 . . . . . . . . 9  |-  { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A }  C_  ZZ
8685, 75sselid 3145 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  -> inf ( {
w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  ZZ )
8786zred 9321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  -> inf ( {
w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
8887renegcld 8286 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
8941, 42, 63, 72infssuzledc 11892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  -> inf ( {
w  e.  ( ZZ>= `  -u n )  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <_ 
-u a )
9038, 89eqbrtrd 4009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  -> inf ( {
w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <_ 
-u a )
9187, 53, 90lenegcon2d 8434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  a  <_  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  ) )
9253, 88, 91lensymd 8028 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  /\  a  e.  A
)  ->  -.  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <  a )
9392ralrimiva 2543 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A. a  e.  A  -.  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <  a )
94 breq2 3991 . . . . . 6  |-  ( a  =  y  ->  ( -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <  a  <->  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <  y
) )
9594notbid 662 . . . . 5  |-  ( a  =  y  ->  ( -.  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <  a  <->  -.  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <  y
) )
9695cbvralv 2696 . . . 4  |-  ( A. a  e.  A  -.  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <  a  <->  A. y  e.  A  -.  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <  y
)
9793, 96sylib 121 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A. y  e.  A  -.  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <  y )
98 breq2 3991 . . . . . . 7  |-  ( z  =  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  (
y  <  z  <->  y  <  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) )
9998rspcev 2834 . . . . . 6  |-  ( (
-uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  A  /\  y  <  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )
)  ->  E. z  e.  A  y  <  z )
10099ex 114 . . . . 5  |-  ( -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  A  -> 
( y  <  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
10184, 100syl 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  (
y  <  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
102101ralrimivw 2544 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  A. y  e.  B  ( y  <  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )
103 breq1 3990 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  (
x  <  y  <->  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <  y ) )
104103notbid 662 . . . . . 6  |-  ( x  =  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  ( -.  x  <  y  <->  -.  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <  y ) )
105104ralbidv 2470 . . . . 5  |-  ( x  =  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  <->  A. y  e.  A  -.  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <  y ) )
106 breq2 3991 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  (
y  <  x  <->  y  <  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  ) ) )
107106imbi1d 230 . . . . . 6  |-  ( x  =  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  (
( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  ( y  <  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
108107ralbidv 2470 . . . . 5  |-  ( x  =  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  ( A. y  e.  B  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z )  <->  A. y  e.  B  ( y  <  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
109105, 108anbi12d 470 . . . 4  |-  ( x  =  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  < 
y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <  y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) ) )
110109rspcev 2834 . . 3  |-  ( (
-uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  e.  A  /\  ( A. y  e.  A  -.  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  <  y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  -uinf ( { w  e.  ZZ  |  -u w  e.  A } ,  RR ,  <  )  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
11184, 97, 102, 110syl12anc 1231 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ZZ  /\  A. m  e.  A  m  <_  n ) )  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  (
y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
1128, 111rexlimddv 2592 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  A  ( A. y  e.  A  -.  x  <  y  /\  A. y  e.  B  ( y  <  x  ->  E. z  e.  A  y  <  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 829    /\ w3a 973    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452    C_ wss 3121   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5850  infcinf 6956   RRcr 7760    < clt 7941    <_ cle 7942   -ucneg 8078   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474   ...cfz 9952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-sup 6957  df-inf 6958  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-fz 9953  df-fzo 10086
This theorem is referenced by:  suprzcl2dc  11897
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