Theorem zsupssdc 11957

Description: An inhabited decidable bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-suploc 7934.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
zsupssdc.a	|- ( ph -> A C_ ZZ )
zsupssdc.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
zsupssdc.dc	|- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
zsupssdc.ub	|- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )

Assertion

Ref	Expression
zsupssdc	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x, z)   B( y, z)

Proof of Theorem zsupssdc

Dummy variables a m n w b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsupssdc.ub	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x )
2		breq1 4008	. . . . . 6 |- ( y = m -> ( y <_ x <-> m <_ x ) )
3	2	cbvralvw 2709	. . . . 5 |- ( A. y e. A y <_ x <-> A. m e. A m <_ x )
4		breq2 4009	. . . . . 6 |- ( x = n -> ( m <_ x <-> m <_ n ) )
5	4	ralbidv 2477	. . . . 5 |- ( x = n -> ( A. m e. A m <_ x <-> A. m e. A m <_ n ) )
6	3, 5	bitrid 192	. . . 4 |- ( x = n -> ( A. y e. A y <_ x <-> A. m e. A m <_ n ) )
7	6	cbvrexvw 2710	. . 3 |- ( E. x e. ZZ A. y e. A y <_ x <-> E. n e. ZZ A. m e. A m <_ n )
8	1, 7	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. n e. ZZ A. m e. A m <_ n )
9		zsupssdc.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> E. x x e. A )
10		eleq1w 2238	. . . . . . . 8 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
11	10	cbvexv 1918	. . . . . . 7 |- ( E. x x e. A <-> E. a a e. A )
12	9, 11	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> E. a a e. A )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> E. a a e. A )
14		uzssz 9549	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` -u n ) C_ ZZ
15		rabss2 3240	. . . . . . 7 |- ( ( ZZ>= ` -u n ) C_ ZZ -> { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } C_ { w e. ZZ | -u w e. A } )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } C_ { w e. ZZ | -u w e. A }
17		negeq 8152	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = w -> -u b = -u w )
18	17	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = w -> ( -u b e. A <-> -u w e. A ) )
19		simp1rl 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> n e. ZZ )
20	19	znegcld 9379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> -u n e. ZZ )
21		simp2 998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> w e. ZZ )
22	21	zred 9377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> w e. RR )
23	19	zred 9377	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> n e. RR )
24		breq1 4008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = -u w -> ( m <_ n <-> -u w <_ n ) )
25		simp1rr 1063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> A. m e. A m <_ n )
26		simp3 999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> -u w e. A )
27	24, 25, 26	rspcdva 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> -u w <_ n )
28	22, 23, 27	lenegcon1d 8486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> -u n <_ w )
29		eluz2 9536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. ( ZZ>= ` -u n ) <-> ( -u n e. ZZ /\ w e. ZZ /\ -u n <_ w ) )
30	20, 21, 28, 29	syl3anbrc 1181	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> w e. ( ZZ>= ` -u n ) )
31	18, 30, 26	elrabd 2897	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> w e. { b e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u b e. A } )
32	31	rabssdv 3237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> { w e. ZZ | -u w e. A } C_ { b e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u b e. A } )
33	18	cbvrabv 2738	. . . . . . . . . . 11 |- { b e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u b e. A } = { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A }
34	32, 33	sseqtrdi 3205	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> { w e. ZZ | -u w e. A } C_ { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } )
35	16	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } C_ { w e. ZZ | -u w e. A } )
36	34, 35	eqssd 3174	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> { w e. ZZ | -u w e. A } = { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } )
37	36	infeq1d 7013	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) = inf ( { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } , RR , < ) )
38	37	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) = inf ( { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } , RR , < ) )
39		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> n e. ZZ )
40	39	znegcld 9379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> -u n e. ZZ )
41	40	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -u n e. ZZ )
42		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } = { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A }
43		negeq 8152	. . . . . . . . . 10 |- ( w = -u a -> -u w = -u -u a )
44	43	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( w = -u a -> ( -u w e. A <-> -u -u a e. A ) )
45		zsupssdc.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ ZZ )
46	45	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> A C_ ZZ )
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> a e. A )
48	46, 47	sseldd 3158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> a e. ZZ )
49	48	znegcld 9379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -u a e. ZZ )
50		breq1 4008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = a -> ( m <_ n <-> a <_ n ) )
51		simplrr 536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> A. m e. A m <_ n )
52	50, 51, 47	rspcdva 2848	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> a <_ n )
53	48	zred 9377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> a e. RR )
54	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> n e. ZZ )
55	54	zred 9377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> n e. RR )
56	53, 55	lenegd 8483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> ( a <_ n <-> -u n <_ -u a ) )
57	52, 56	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -u n <_ -u a )
58		eluz2 9536	. . . . . . . . . 10 |- ( -u a e. ( ZZ>= ` -u n ) <-> ( -u n e. ZZ /\ -u a e. ZZ /\ -u n <_ -u a ) )
59	41, 49, 57, 58	syl3anbrc 1181	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -u a e. ( ZZ>= ` -u n ) )
60	48	zcnd 9378	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> a e. CC )
61	60	negnegd 8261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -u -u a = a )
62	61, 47	eqeltrd 2254	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -u -u a e. A )
63	44, 59, 62	elrabd 2897	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -u a e. { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } )
64		eleq1 2240	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u w -> ( x e. A <-> -u w e. A ) )
65	64	dcbid 838	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u w -> (DECID x e. A <-> DECID -u w e. A ) )
66		zsupssdc.dc	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
67	66	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ( -u n ... -u a ) ) -> A. x e. ZZ DECID x e. A )
68		elfzelz 10027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ( -u n ... -u a ) -> w e. ZZ )
69	68	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ( -u n ... -u a ) ) -> w e. ZZ )
70	69	znegcld 9379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ( -u n ... -u a ) ) -> -u w e. ZZ )
71	65, 67, 70	rspcdva 2848	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ w e. ( -u n ... -u a ) ) -> DECID -u w e. A )
72	71	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) /\ w e. ( -u n ... -u a ) ) -> DECID -u w e. A )
73	41, 42, 63, 72	infssuzcldc 11954	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } )
74	38, 73	eqeltrd 2254	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } )
75	16, 74	sselid 3155	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ZZ | -u w e. A } )
76	13, 75	exlimddv 1898	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ZZ | -u w e. A } )
77		negeq 8152	. . . . . . 7 |- ( n = inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> -u n = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) )
78	77	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( n = inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( -u n e. A <-> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A ) )
79		negeq 8152	. . . . . . . 8 |- ( w = n -> -u w = -u n )
80	79	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( w = n -> ( -u w e. A <-> -u n e. A ) )
81	80	cbvrabv 2738	. . . . . 6 |- { w e. ZZ | -u w e. A } = { n e. ZZ | -u n e. A }
82	78, 81	elrab2 2898	. . . . 5 |- (inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ZZ | -u w e. A } <-> (inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. ZZ /\ -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A ) )
83	82	simprbi 275	. . . 4 |- (inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. { w e. ZZ | -u w e. A } -> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A )
84	76, 83	syl 14	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A )
85		ssrab2 3242	. . . . . . . . 9 |- { w e. ZZ | -u w e. A } C_ ZZ
86	85, 75	sselid 3155	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. ZZ )
87	86	zred 9377	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. RR )
88	87	renegcld 8339	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. RR )
89	41, 42, 63, 72	infssuzledc 11953	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ( ZZ>= ` -u n ) | -u w e. A } , RR , < ) <_ -u a )
90	38, 89	eqbrtrd 4027	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> inf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) <_ -u a )
91	87, 53, 90	lenegcon2d 8487	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> a <_ -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) )
92	53, 88, 91	lensymd 8081	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) /\ a e. A ) -> -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < a )
93	92	ralrimiva 2550	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> A. a e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < a )
94		breq2 4009	. . . . . 6 |- ( a = y -> ( -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < a <-> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y ) )
95	94	notbid 667	. . . . 5 |- ( a = y -> ( -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < a <-> -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y ) )
96	95	cbvralv 2705	. . . 4 |- ( A. a e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < a <-> A. y e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y )
97	93, 96	sylib 122	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> A. y e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y )
98		breq2 4009	. . . . . . 7 |- ( z = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( y < z <-> y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) ) )
99	98	rspcev 2843	. . . . . 6 |- ( ( -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A /\ y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) ) -> E. z e. A y < z )
100	99	ex 115	. . . . 5 |- ( -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A -> ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) )
101	84, 100	syl 14	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) )
102	101	ralrimivw 2551	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> A. y e. B ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) )
103		breq1 4008	. . . . . . 7 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( x < y <-> -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y ) )
104	103	notbid 667	. . . . . 6 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( -. x < y <-> -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y ) )
105	104	ralbidv 2477	. . . . 5 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( A. y e. A -. x < y <-> A. y e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y ) )
106		breq2 4009	. . . . . . 7 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( y < x <-> y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) ) )
107	106	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( ( y < x -> E. z e. A y < z ) <-> ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) ) )
108	107	ralbidv 2477	. . . . 5 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) <-> A. y e. B ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) ) )
109	105, 108	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> ( ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) <-> ( A. y e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y /\ A. y e. B ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) ) ) )
110	109	rspcev 2843	. . 3 |- ( ( -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) e. A /\ ( A. y e. A -. -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) < y /\ A. y e. B ( y < -uinf ( { w e. ZZ | -u w e. A } , RR , < ) -> E. z e. A y < z ) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
111	84, 97, 102, 110	syl12anc 1236	. 2 |- ( ( ph /\ ( n e. ZZ /\ A. m e. A m <_ n ) ) -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
112	8, 111	rexlimddv 2599	1 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. B ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 834   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   C_ wss 3131   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877  infcinf 6984   RRcr 7812   < clt 7994   <_ cle 7995   -ucneg 8131   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   ...cfz 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-fzo 10145

This theorem is referenced by:  suprzcl2dc  11958