Theorem nnmindc 12273

Description: An inhabited decidable subset of the natural numbers has a minimum. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmindc	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ E. y y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem nnmindc

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9200	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> 1 e. ZZ )
2		eqid 2157	. . . . . 6 |- { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
3		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
4		dfss5 3313	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ NN <-> A = ( NN i^i A ) )
5	4	biimpi 119	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ NN -> A = ( NN i^i A ) )
6		nnuz 9480	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7	6	ineq1i 3305	. . . . . . . . . 10 |- ( NN i^i A ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A )
8		dfin5 3109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
9	7, 8	eqtri 2178	. . . . . . . . 9 |- ( NN i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
10	5, 9	eqtrdi 2206	. . . . . . . 8 |- ( A C_ NN -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
11	10	ad2antrr 480	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
12	3, 11	eleqtrd 2236	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
13		eleq1w 2218	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( x e. A <-> n e. A ) )
14	13	dcbid 824	. . . . . . 7 |- ( x = n -> (DECID x e. A <-> DECID n e. A ) )
15		simpllr 524	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
16		elfznn 9963	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... y ) -> n e. NN )
17	16	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> n e. NN )
18	14, 15, 17	rspcdva 2821	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> DECID n e. A )
19	1, 2, 12, 18	infssuzcldc 11851	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) e. { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
20	11	infeq1d 6959	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) = inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) )
21	19, 20, 11	3eltr4d 2241	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
22	21	ex 114	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> ( y e. A -> inf ( A , RR , < ) e. A ) )
23	22	exlimdv 1799	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> ( E. y y e. A -> inf ( A , RR , < ) e. A ) )
24	23	3impia 1182	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ E. y y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 820   /\ w3a 963   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   A.wral 2435   {crab 2439   i^i cin 3101   C_ wss 3102   ` cfv 5173  (class class class)co 5827  infcinf 6930   RRcr 7734   1c1 7736   < clt 7915   NNcn 8839   ZZ>=cuz 9445   ...cfz 9919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4085  ax-pow 4138  ax-pr 4172  ax-un 4396  ax-setind 4499  ax-cnex 7826  ax-resscn 7827  ax-1cn 7828  ax-1re 7829  ax-icn 7830  ax-addcl 7831  ax-addrcl 7832  ax-mulcl 7833  ax-addcom 7835  ax-addass 7837  ax-distr 7839  ax-i2m1 7840  ax-0lt1 7841  ax-0id 7843  ax-rnegex 7844  ax-cnre 7846  ax-pre-ltirr 7847  ax-pre-ltwlin 7848  ax-pre-lttrn 7849  ax-pre-apti 7850  ax-pre-ltadd 7851

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4029  df-mpt 4030  df-id 4256  df-po 4259  df-iso 4260  df-xp 4595  df-rel 4596  df-cnv 4597  df-co 4598  df-dm 4599  df-rn 4600  df-res 4601  df-ima 4602  df-iota 5138  df-fun 5175  df-fn 5176  df-f 5177  df-f1 5178  df-fo 5179  df-f1o 5180  df-fv 5181  df-isom 5182  df-riota 5783  df-ov 5830  df-oprab 5831  df-mpo 5832  df-1st 6091  df-2nd 6092  df-sup 6931  df-inf 6932  df-pnf 7917  df-mnf 7918  df-xr 7919  df-ltxr 7920  df-le 7921  df-sub 8053  df-neg 8054  df-inn 8840  df-n0 9097  df-z 9174  df-uz 9446  df-fz 9920  df-fzo 10052

This theorem is referenced by:  nninfdclemcl  12275  nninfdclemp1  12277