Theorem nnmindc 12326

Description: An inhabited decidable subset of the natural numbers has a minimum. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmindc	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ E. y y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem nnmindc

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9398	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> 1 e. ZZ )
2		eqid 2204	. . . . . 6 |- { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
4		dfss5 3377	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ NN <-> A = ( NN i^i A ) )
5	4	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ NN -> A = ( NN i^i A ) )
6		nnuz 9683	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7	6	ineq1i 3369	. . . . . . . . . 10 |- ( NN i^i A ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A )
8		dfin5 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
9	7, 8	eqtri 2225	. . . . . . . . 9 |- ( NN i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
10	5, 9	eqtrdi 2253	. . . . . . . 8 |- ( A C_ NN -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
12	3, 11	eleqtrd 2283	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
13		eleq1w 2265	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( x e. A <-> n e. A ) )
14	13	dcbid 839	. . . . . . 7 |- ( x = n -> (DECID x e. A <-> DECID n e. A ) )
15		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
16		elfznn 10175	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... y ) -> n e. NN )
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> n e. NN )
18	14, 15, 17	rspcdva 2881	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> DECID n e. A )
19	1, 2, 12, 18	infssuzcldc 10376	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) e. { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
20	11	infeq1d 7113	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) = inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) )
21	19, 20, 11	3eltr4d 2288	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
22	21	ex 115	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> ( y e. A -> inf ( A , RR , < ) e. A ) )
23	22	exlimdv 1841	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> ( E. y y e. A -> inf ( A , RR , < ) e. A ) )
24	23	3impia 1202	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ E. y y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1372   E.wex 1514   e. wcel 2175   A.wral 2483   {crab 2487   i^i cin 3164   C_ wss 3165   ` cfv 5270  (class class class)co 5943  infcinf 7084   RRcr 7923   1c1 7925   < clt 8106   NNcn 9035   ZZ>=cuz 9647   ...cfz 10129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130  df-fzo 10264

This theorem is referenced by:  nnwodc  12328  nninfdclemcl  12790  nninfdclemp1  12792