Theorem nnmindc 11989

Description: An inhabited decidable subset of the natural numbers has a minimum. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmindc	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ E. y y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem nnmindc

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9239	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> 1 e. ZZ )
2		eqid 2170	. . . . . 6 |- { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
3		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
4		dfss5 3332	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ NN <-> A = ( NN i^i A ) )
5	4	biimpi 119	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ NN -> A = ( NN i^i A ) )
6		nnuz 9522	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7	6	ineq1i 3324	. . . . . . . . . 10 |- ( NN i^i A ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A )
8		dfin5 3128	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
9	7, 8	eqtri 2191	. . . . . . . . 9 |- ( NN i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
10	5, 9	eqtrdi 2219	. . . . . . . 8 |- ( A C_ NN -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
11	10	ad2antrr 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
12	3, 11	eleqtrd 2249	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
13		eleq1w 2231	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( x e. A <-> n e. A ) )
14	13	dcbid 833	. . . . . . 7 |- ( x = n -> (DECID x e. A <-> DECID n e. A ) )
15		simpllr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
16		elfznn 10010	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... y ) -> n e. NN )
17	16	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> n e. NN )
18	14, 15, 17	rspcdva 2839	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> DECID n e. A )
19	1, 2, 12, 18	infssuzcldc 11906	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) e. { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
20	11	infeq1d 6989	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) = inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) )
21	19, 20, 11	3eltr4d 2254	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
22	21	ex 114	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> ( y e. A -> inf ( A , RR , < ) e. A ) )
23	22	exlimdv 1812	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> ( E. y y e. A -> inf ( A , RR , < ) e. A ) )
24	23	3impia 1195	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ E. y y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   i^i cin 3120   C_ wss 3121   ` cfv 5198  (class class class)co 5853  infcinf 6960   RRcr 7773   1c1 7775   < clt 7954   NNcn 8878   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by:  nnwodc  11991  nninfdclemcl  12403  nninfdclemp1  12405