Theorem nnmindc 12570

Description: An inhabited decidable subset of the natural numbers has a minimum. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmindc	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ E. y y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem nnmindc

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9484	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> 1 e. ZZ )
2		eqid 2229	. . . . . 6 |- { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
4		dfss5 3409	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ NN <-> A = ( NN i^i A ) )
5	4	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ NN -> A = ( NN i^i A ) )
6		nnuz 9770	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7	6	ineq1i 3401	. . . . . . . . . 10 |- ( NN i^i A ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A )
8		dfin5 3204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
9	7, 8	eqtri 2250	. . . . . . . . 9 |- ( NN i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
10	5, 9	eqtrdi 2278	. . . . . . . 8 |- ( A C_ NN -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
12	3, 11	eleqtrd 2308	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
13		eleq1w 2290	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( x e. A <-> n e. A ) )
14	13	dcbid 843	. . . . . . 7 |- ( x = n -> (DECID x e. A <-> DECID n e. A ) )
15		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
16		elfznn 10262	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... y ) -> n e. NN )
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> n e. NN )
18	14, 15, 17	rspcdva 2912	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> DECID n e. A )
19	1, 2, 12, 18	infssuzcldc 10467	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) e. { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
20	11	infeq1d 7190	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) = inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) )
21	19, 20, 11	3eltr4d 2313	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
22	21	ex 115	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> ( y e. A -> inf ( A , RR , < ) e. A ) )
23	22	exlimdv 1865	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> ( E. y y e. A -> inf ( A , RR , < ) e. A ) )
24	23	3impia 1224	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ E. y y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   i^i cin 3196   C_ wss 3197   ` cfv 5318  (class class class)co 6007  infcinf 7161   RRcr 8009   1c1 8011   < clt 8192   NNcn 9121   ZZ>=cuz 9733   ...cfz 10216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-fzo 10351

This theorem is referenced by:  nnwodc  12572  nninfdclemcl  13034  nninfdclemp1  13036