Theorem nnmindc 12355

Description: An inhabited decidable subset of the natural numbers has a minimum. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnmindc	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ E. y y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem nnmindc

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 9399	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> 1 e. ZZ )
2		eqid 2205	. . . . . 6 |- { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. A )
4		dfss5 3378	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ NN <-> A = ( NN i^i A ) )
5	4	biimpi 120	. . . . . . . . 9 |- ( A C_ NN -> A = ( NN i^i A ) )
6		nnuz 9684	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
7	6	ineq1i 3370	. . . . . . . . . 10 |- ( NN i^i A ) = ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A )
8		dfin5 3173	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ZZ>= ` 1 ) i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
9	7, 8	eqtri 2226	. . . . . . . . 9 |- ( NN i^i A ) = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A }
10	5, 9	eqtrdi 2254	. . . . . . . 8 |- ( A C_ NN -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> A = { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
12	3, 11	eleqtrd 2284	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> y e. { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
13		eleq1w 2266	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( x e. A <-> n e. A ) )
14	13	dcbid 840	. . . . . . 7 |- ( x = n -> (DECID x e. A <-> DECID n e. A ) )
15		simpllr 534	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
16		elfznn 10176	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( 1 ... y ) -> n e. NN )
17	16	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> n e. NN )
18	14, 15, 17	rspcdva 2882	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) /\ n e. ( 1 ... y ) ) -> DECID n e. A )
19	1, 2, 12, 18	infssuzcldc 10378	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) e. { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } )
20	11	infeq1d 7114	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) = inf ( { n e. ( ZZ>= ` 1 ) | n e. A } , RR , < ) )
21	19, 20, 11	3eltr4d 2289	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) /\ y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )
22	21	ex 115	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> ( y e. A -> inf ( A , RR , < ) e. A ) )
23	22	exlimdv 1842	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A ) -> ( E. y y e. A -> inf ( A , RR , < ) e. A ) )
24	23	3impia 1203	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ E. y y e. A ) -> inf ( A , RR , < ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   A.wral 2484   {crab 2488   i^i cin 3165   C_ wss 3166   ` cfv 5271  (class class class)co 5944  infcinf 7085   RRcr 7924   1c1 7926   < clt 8107   NNcn 9036   ZZ>=cuz 9648   ...cfz 10130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-fz 10131  df-fzo 10265

This theorem is referenced by:  nnwodc  12357  nninfdclemcl  12819  nninfdclemp1  12821