ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrbdtri Unicode version
Theorem xrbdtri 12020
Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrbdtri |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
Proof of Theorem xrbdtri
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
2 simp1r 1053 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ A )
32ad3antrrr 496 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> 0 <_ A )
4 simplr 533 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> B e. RR )
5 simp2r 1055 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ B )
65ad3antrrr 496 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> 0 <_ B )
7 simpllr 540 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> C e. RR )
8 simp3r 1057 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> 0 < C )
98ad3antrrr 496 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> 0 < C )
107, 9elrpd 10073 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> C e. RR+ )
11 bdtri 11984 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )
121, 3, 4, 6, 10, 11syl221anc 1289 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )
131, 4rexaddd 10235 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A +e B ) = ( A + B ) )
1413preq1d 3790 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> { ( A +e B ) , C } = { ( A + B ) , C } )
1514infeq1d 7342 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) = inf ( { ( A + B ) , C } , RR* , < ) )
161, 4readdcld 8345 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
17 xrminrecl 12017 . . . . . . 7 |- ( ( ( A + B ) e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR* , < ) = inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) )
1816, 7, 17syl2anc 415 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR* , < ) = inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) )
1915, 18eqtrd 2271 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) = inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) )
20 xrminrecl 12017 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { A , C } , RR* , < ) = inf ( { A , C } , RR , < ) )
211, 7, 20syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { A , C } , RR* , < ) = inf ( { A , C } , RR , < ) )
22 xrminrecl 12017 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) = inf ( { B , C } , RR , < ) )
234, 7, 22syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) = inf ( { B , C } , RR , < ) )
2421, 23oveq12d 6093 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) = (inf ( { A , C } , RR , < ) +einf ( { B , C } , RR , < ) ) )
25 mincl 11975 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { A , C } , RR , < ) e. RR )
261, 7, 25syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { A , C } , RR , < ) e. RR )
27 mincl 11975 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) e. RR )
284, 7, 27syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) e. RR )
2926, 28rexaddd 10235 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> (inf ( { A , C } , RR , < ) +einf ( { B , C } , RR , < ) ) = (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )
3024, 29eqtrd 2271 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) = (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )
3112, 19, 303brtr4d 4157 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
32 simp3l 1056 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> C e. RR* )
3332xaddid1d 10245 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( C +e 0 ) = C )
3432xrleidd 10182 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> C <_ C )
35 0xr 8362 . . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
3635a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> 0 e. RR* )
3736, 32, 8xrltled 10180 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ C )
38 simp2l 1054 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> B e. RR* )
39 xrlemininf 12015 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( 0 <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ B /\ 0 <_ C ) ) )
4036, 38, 32, 39syl3anc 1278 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ B /\ 0 <_ C ) ) )
415, 37, 40mpbir2and 957 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) )
42 xrmincl 12010 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
4338, 32, 42syl2anc 415 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
44 xle2add 10260 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. RR* /\ 0 e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ inf ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* ) ) -> ( ( C <_ C /\ 0 <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) ) -> ( C +e 0 ) <_ ( C +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) ) )
4532, 36, 32, 43, 44syl22anc 1279 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( ( C <_ C /\ 0 <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) ) -> ( C +e 0 ) <_ ( C +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) ) )
4634, 41, 45mp2and 437 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( C +e 0 ) <_ ( C +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
4733, 46eqbrtrrd 4149 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> C <_ ( C +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
4847ad3antrrr 496 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> C <_ ( C +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
49 simp1l 1052 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> A e. RR* )
5049, 38xaddcld 10265 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
5150ad3antrrr 496 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e B ) e. RR* )
5232ad3antrrr 496 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> C e. RR* )
53 pnfge 10170 . . . . . . . 8 |- ( C e. RR* -> C <_ +oo )
5452, 53syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> C <_ +oo )
55 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> A = +oo )
5655oveq1d 6090 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e B ) = ( +oo +e B ) )
57 simpl2l 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) -> B e. RR* )
5857ad2antrr 492 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> B e. RR* )
59 simplr 533 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> B e. RR )
6059renemnfd 8367 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> B =/= -oo )
61 xaddpnf2 10228 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) -> ( +oo +e B ) = +oo )
6258, 60, 61syl2anc 415 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( +oo +e B ) = +oo )
6356, 62eqtrd 2271 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e B ) = +oo )
6454, 63breqtrrd 4153 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> C <_ ( A +e B ) )
65 xrmineqinf 12013 . . . . . 6 |- ( ( ( A +e B ) e. RR* /\ C e. RR* /\ C <_ ( A +e B ) ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) = C )
6651, 52, 64, 65syl3anc 1278 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) = C )
6749ad3antrrr 496 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> A e. RR* )
6854, 55breqtrrd 4153 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> C <_ A )
69 xrmineqinf 12013 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ C <_ A ) -> inf ( { A , C } , RR* , < ) = C )
7067, 52, 68, 69syl3anc 1278 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> inf ( { A , C } , RR* , < ) = C )
7170oveq1d 6090 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) = ( C +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
7248, 66, 713brtr4d 4157 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
73 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A = -oo )
74 ge0nemnf 10205 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A =/= -oo )
7549, 2, 74syl2anc 415 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> A =/= -oo )
7675ad3antrrr 496 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A =/= -oo )
7773, 76pm2.21ddne 2503 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
78 elxr 10157 . . . . . 6 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
7949, 78sylib 122 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
8079ad2antrr 492 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
8131, 72, 77, 80mpjao3dan 1348 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
82 xrlemininf 12015 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( 0 <_ inf ( { A , C } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) ) )
8336, 49, 32, 82syl3anc 1278 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ inf ( { A , C } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) ) )
842, 37, 83mpbir2and 957 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ inf ( { A , C } , RR* , < ) )
85 xrmincl 12010 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> inf ( { A , C } , RR* , < ) e. RR* )
8649, 32, 85syl2anc 415 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> inf ( { A , C } , RR* , < ) e. RR* )
87 xle2add 10260 . . . . . . 7 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ C e. RR* ) /\ (inf ( { A , C } , RR* , < ) e. RR* /\ C e. RR* ) ) -> ( ( 0 <_ inf ( { A , C } , RR* , < ) /\ C <_ C ) -> ( 0 +e C ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +e C ) ) )
8836, 32, 86, 32, 87syl22anc 1279 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( ( 0 <_ inf ( { A , C } , RR* , < ) /\ C <_ C ) -> ( 0 +e C ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +e C ) ) )
8984, 34, 88mp2and 437 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( 0 +e C ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +e C ) )
9089ad2antrr 492 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> ( 0 +e C ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +e C ) )
9150ad2antrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> ( A +e B ) e. RR* )
9232ad2antrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> C e. RR* )
9392, 53syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> C <_ +oo )
94 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> B = +oo )
9594oveq2d 6091 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> ( A +e B ) = ( A +e +oo ) )
96 xaddpnf1 10227 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) -> ( A +e +oo ) = +oo )
9749, 75, 96syl2anc 415 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( A +e +oo ) = +oo )
9897ad2antrr 492 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> ( A +e +oo ) = +oo )
9995, 98eqtrd 2271 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> ( A +e B ) = +oo )
10093, 99breqtrrd 4153 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> C <_ ( A +e B ) )
10191, 92, 100, 65syl3anc 1278 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) = C )
102 xaddid2 10244 . . . . . 6 |- ( C e. RR* -> ( 0 +e C ) = C )
10392, 102syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> ( 0 +e C ) = C )
104101, 103eqtr4d 2274 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) = ( 0 +e C ) )
10557adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> B e. RR* )
10693, 94breqtrrd 4153 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> C <_ B )
107 xrmineqinf 12013 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ C <_ B ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) = C )
108105, 92, 106, 107syl3anc 1278 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) = C )
109108oveq2d 6091 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) = (inf ( { A , C } , RR* , < ) +e C ) )
11090, 104, 1093brtr4d 4157 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
111 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = -oo ) -> B = -oo )
11257adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = -oo ) -> B e. RR* )
1135ad2antrr 492 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = -oo ) -> 0 <_ B )
114 ge0nemnf 10205 . . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) -> B =/= -oo )
115112, 113, 114syl2anc 415 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = -oo ) -> B =/= -oo )
116111, 115pm2.21ddne 2503 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = -oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
117 elxr 10157 . . . 4 |- ( B e. RR* <-> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
11857, 117sylib 122 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
11981, 110, 116, 118mpjao3dan 1348 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
12050adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> ( A +e B ) e. RR* )
121120xrleidd 10182 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e B ) )
122 prcom 3783 . . . . 5 |- { C , ( A +e B ) } = { ( A +e B ) , C }
123122infeq1i 7343 . . . 4 |- inf ( { C , ( A +e B ) } , RR* , < ) = inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < )
12432adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> C e. RR* )
125 pnfge 10170 . . . . . . 7 |- ( ( A +e B ) e. RR* -> ( A +e B ) <_ +oo )
126120, 125syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> ( A +e B ) <_ +oo )
127 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> C = +oo )
128126, 127breqtrrd 4153 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> ( A +e B ) <_ C )
129 xrmineqinf 12013 . . . . 5 |- ( ( C e. RR* /\ ( A +e B ) e. RR* /\ ( A +e B ) <_ C ) -> inf ( { C , ( A +e B ) } , RR* , < ) = ( A +e B ) )
130124, 120, 128, 129syl3anc 1278 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> inf ( { C , ( A +e B ) } , RR* , < ) = ( A +e B ) )
131123, 130eqtr3id 2285 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) = ( A +e B ) )
132 prcom 3783 . . . . . 6 |- { C , A } = { A , C }
133132infeq1i 7343 . . . . 5 |- inf ( { C , A } , RR* , < ) = inf ( { A , C } , RR* , < )
13449adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> A e. RR* )
135 pnfge 10170 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
136134, 135syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> A <_ +oo )
137136, 127breqtrrd 4153 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> A <_ C )
138 xrmineqinf 12013 . . . . . 6 |- ( ( C e. RR* /\ A e. RR* /\ A <_ C ) -> inf ( { C , A } , RR* , < ) = A )
139124, 134, 137, 138syl3anc 1278 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> inf ( { C , A } , RR* , < ) = A )
140133, 139eqtr3id 2285 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> inf ( { A , C } , RR* , < ) = A )
141 prcom 3783 . . . . . 6 |- { C , B } = { B , C }
142141infeq1i 7343 . . . . 5 |- inf ( { C , B } , RR* , < ) = inf ( { B , C } , RR* , < )
14338adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> B e. RR* )
144 pnfge 10170 . . . . . . . 8 |- ( B e. RR* -> B <_ +oo )
145143, 144syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> B <_ +oo )
146145, 127breqtrrd 4153 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> B <_ C )
147 xrmineqinf 12013 . . . . . 6 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ C ) -> inf ( { C , B } , RR* , < ) = B )
148124, 143, 146, 147syl3anc 1278 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> inf ( { C , B } , RR* , < ) = B )
149142, 148eqtr3id 2285 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) = B )
150140, 149oveq12d 6093 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) = ( A +e B ) )
151121, 131, 1503brtr4d 4157 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
152 simpl3r 1084 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = -oo ) -> 0 < C )
153 nltmnf 10169 . . . . . 6 |- ( 0 e. RR* -> -. 0 < -oo )
15435, 153ax-mp 5 . . . . 5 |- -. 0 < -oo
155 breq2 4129 . . . . 5 |- ( C = -oo -> ( 0 < C <-> 0 < -oo ) )
156154, 155mtbiri 686 . . . 4 |- ( C = -oo -> -. 0 < C )
157156adantl 277 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = -oo ) -> -. 0 < C )
158152, 157pm2.21dd 629 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = -oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
159 elxr 10157 . . 3 |- ( C e. RR* <-> ( C e. RR \/ C = +oo \/ C = -oo ) )
16032, 159sylib 122 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( C e. RR \/ C = +oo \/ C = -oo ) )
161119, 151, 158, 160mpjao3dan 1348 1 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1008   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {cpr 3706   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  infcinf 7313   RRcr 8168   0cc0 8169   + caddc 8172   +oocpnf 8347   -oocmnf 8348   RR*cxr 8349   < clt 8350   <_ cle 8351   RR+crp 10033   +ecxad 10151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743
This theorem is referenced by:  bdxmet  15525
  Copyright terms: Public domain W3C validator