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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > xrbdtri | Unicode version |
Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.) |
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xrbdtri |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpr 109 |
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2 | simp1r 974 |
. . . . . . 7
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3 | 2 | ad3antrrr 479 |
. . . . . 6
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4 | simplr 500 |
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5 | simp2r 976 |
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6 | 5 | ad3antrrr 479 |
. . . . . 6
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7 | simpllr 504 |
. . . . . . 7
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8 | simp3r 978 |
. . . . . . . 8
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9 | 8 | ad3antrrr 479 |
. . . . . . 7
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10 | 7, 9 | elrpd 9328 |
. . . . . 6
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11 | bdtri 10850 |
. . . . . 6
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12 | 1, 3, 4, 6, 10, 11 | syl221anc 1195 |
. . . . 5
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13 | 1, 4 | rexaddd 9478 |
. . . . . . . 8
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14 | 13 | preq1d 3553 |
. . . . . . 7
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15 | 14 | infeq1d 6814 |
. . . . . 6
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16 | 1, 4 | readdcld 7667 |
. . . . . . 7
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17 | xrminrecl 10881 |
. . . . . . 7
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18 | 16, 7, 17 | syl2anc 406 |
. . . . . 6
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19 | 15, 18 | eqtrd 2132 |
. . . . 5
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20 | xrminrecl 10881 |
. . . . . . . 8
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21 | 1, 7, 20 | syl2anc 406 |
. . . . . . 7
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22 | xrminrecl 10881 |
. . . . . . . 8
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23 | 4, 7, 22 | syl2anc 406 |
. . . . . . 7
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24 | 21, 23 | oveq12d 5724 |
. . . . . 6
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25 | mincl 10841 |
. . . . . . . 8
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26 | 1, 7, 25 | syl2anc 406 |
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27 | mincl 10841 |
. . . . . . . 8
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28 | 4, 7, 27 | syl2anc 406 |
. . . . . . 7
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29 | 26, 28 | rexaddd 9478 |
. . . . . 6
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30 | 24, 29 | eqtrd 2132 |
. . . . 5
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31 | 12, 19, 30 | 3brtr4d 3905 |
. . . 4
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32 | simp3l 977 |
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33 | 32 | xaddid1d 9488 |
. . . . . . 7
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34 | 32 | xrleidd 9428 |
. . . . . . . 8
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35 | 0xr 7684 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 35 | a1i 9 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 36, 32, 8 | xrltled 9426 |
. . . . . . . . 9
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38 | simp2l 975 |
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40 | 36, 38, 32, 39 | syl3anc 1184 |
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41 | 5, 37, 40 | mpbir2and 896 |
. . . . . . . 8
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42 | xrmincl 10874 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 38, 32, 42 | syl2anc 406 |
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44 | xle2add 9503 |
. . . . . . . . 9
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45 | 32, 36, 32, 43, 44 | syl22anc 1185 |
. . . . . . . 8
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46 | 34, 41, 45 | mp2and 427 |
. . . . . . 7
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47 | 33, 46 | eqbrtrrd 3897 |
. . . . . 6
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48 | 47 | ad3antrrr 479 |
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49 | simp1l 973 |
. . . . . . . 8
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50 | 49, 38 | xaddcld 9508 |
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51 | 50 | ad3antrrr 479 |
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52 | 32 | ad3antrrr 479 |
. . . . . 6
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53 | pnfge 9416 |
. . . . . . . 8
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54 | 52, 53 | syl 14 |
. . . . . . 7
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55 | simpr 109 |
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56 | 55 | oveq1d 5721 |
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57 | simpl2l 1002 |
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58 | 57 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . . 9
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59 | simplr 500 |
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60 | 59 | renemnfd 7689 |
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61 | xaddpnf2 9471 |
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62 | 58, 60, 61 | syl2anc 406 |
. . . . . . . 8
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63 | 56, 62 | eqtrd 2132 |
. . . . . . 7
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64 | 54, 63 | breqtrrd 3901 |
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65 | xrmineqinf 10877 |
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66 | 51, 52, 64, 65 | syl3anc 1184 |
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68 | 54, 55 | breqtrrd 3901 |
. . . . . . 7
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69 | xrmineqinf 10877 |
. . . . . . 7
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71 | 70 | oveq1d 5721 |
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. . . . 5
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78 | elxr 9404 |
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81 | 31, 72, 77, 80 | mpjao3dan 1253 |
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82 | xrlemininf 10879 |
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83 | 36, 49, 32, 82 | syl3anc 1184 |
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84 | 2, 37, 83 | mpbir2and 896 |
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85 | xrmincl 10874 |
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86 | 49, 32, 85 | syl2anc 406 |
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87 | xle2add 9503 |
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88 | 36, 32, 86, 32, 87 | syl22anc 1185 |
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89 | 84, 34, 88 | mp2and 427 |
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90 | 89 | ad2antrr 475 |
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91 | 50 | ad2antrr 475 |
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92 | 32 | ad2antrr 475 |
. . . . . 6
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93 | 92, 53 | syl 14 |
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94 | simpr 109 |
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95 | 94 | oveq2d 5722 |
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96 | xaddpnf1 9470 |
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97 | 49, 75, 96 | syl2anc 406 |
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98 | 97 | ad2antrr 475 |
. . . . . . . 8
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99 | 95, 98 | eqtrd 2132 |
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100 | 93, 99 | breqtrrd 3901 |
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101 | 91, 92, 100, 65 | syl3anc 1184 |
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102 | xaddid2 9487 |
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103 | 92, 102 | syl 14 |
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104 | 101, 103 | eqtr4d 2135 |
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106 | 93, 94 | breqtrrd 3901 |
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107 | xrmineqinf 10877 |
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108 | 105, 92, 106, 107 | syl3anc 1184 |
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109 | 108 | oveq2d 5722 |
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110 | 90, 104, 109 | 3brtr4d 3905 |
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111 | simpr 109 |
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112 | 57 | adantr 272 |
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113 | 5 | ad2antrr 475 |
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114 | ge0nemnf 9448 |
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115 | 112, 113, 114 | syl2anc 406 |
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116 | 111, 115 | pm2.21ddne 2350 |
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117 | elxr 9404 |
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118 | 57, 117 | sylib 121 |
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119 | 81, 110, 116, 118 | mpjao3dan 1253 |
. 2
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120 | 50 | adantr 272 |
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121 | 120 | xrleidd 9428 |
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125 | pnfge 9416 |
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128 | 126, 127 | breqtrrd 3901 |
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129 | xrmineqinf 10877 |
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132 | prcom 3546 |
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135 | pnfge 9416 |
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136 | 134, 135 | syl 14 |
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137 | 136, 127 | breqtrrd 3901 |
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138 | xrmineqinf 10877 |
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140 | 133, 139 | syl5eqr 2146 |
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141 | prcom 3546 |
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142 | 141 | infeq1i 6815 |
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144 | pnfge 9416 |
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145 | 143, 144 | syl 14 |
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146 | 145, 127 | breqtrrd 3901 |
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147 | xrmineqinf 10877 |
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148 | 124, 143, 146, 147 | syl3anc 1184 |
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149 | 142, 148 | syl5eqr 2146 |
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150 | 140, 149 | oveq12d 5724 |
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151 | 121, 131, 150 | 3brtr4d 3905 |
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152 | simpl3r 1005 |
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153 | nltmnf 9415 |
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154 | 35, 153 | ax-mp 7 |
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155 | breq2 3879 |
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156 | 154, 155 | mtbiri 641 |
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157 | 156 | adantl 273 |
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158 | 152, 157 | pm2.21dd 590 |
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159 | elxr 9404 |
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160 | 32, 159 | sylib 121 |
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161 | 119, 151, 158, 160 | mpjao3dan 1253 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-coll 3983 ax-sep 3986 ax-nul 3994 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-iinf 4440 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-mulrcl 7594 ax-addcom 7595 ax-mulcom 7596 ax-addass 7597 ax-mulass 7598 ax-distr 7599 ax-i2m1 7600 ax-0lt1 7601 ax-1rid 7602 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-precex 7605 ax-cnre 7606 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-apti 7610 ax-pre-ltadd 7611 ax-pre-mulgt0 7612 ax-pre-mulext 7613 ax-arch 7614 ax-caucvg 7615 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rmo 2383 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-if 3422 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-tr 3967 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-iord 4226 df-on 4228 df-ilim 4229 df-suc 4231 df-iom 4443 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-isom 5068 df-riota 5662 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-recs 6132 df-frec 6218 df-sup 6786 df-inf 6787 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-sub 7806 df-neg 7807 df-reap 8203 df-ap 8210 df-div 8294 df-inn 8579 df-2 8637 df-3 8638 df-4 8639 df-n0 8830 df-z 8907 df-uz 9177 df-rp 9292 df-xneg 9400 df-xadd 9401 df-seqfrec 10060 df-exp 10134 df-cj 10455 df-re 10456 df-im 10457 df-rsqrt 10610 df-abs 10611 |
This theorem is referenced by: bdxmet 12429 |
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