ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrbdtri Unicode version
Theorem xrbdtri 11662
Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrbdtri |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
Proof of Theorem xrbdtri
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> A e. RR )
2 simp1r 1025 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ A )
32ad3antrrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> 0 <_ A )
4 simplr 528 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> B e. RR )
5 simp2r 1027 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ B )
65ad3antrrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> 0 <_ B )
7 simpllr 534 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> C e. RR )
8 simp3r 1029 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> 0 < C )
98ad3antrrr 492 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> 0 < C )
107, 9elrpd 9835 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> C e. RR+ )
11 bdtri 11626 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) /\ C e. RR+ ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )
121, 3, 4, 6, 10, 11syl221anc 1261 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )
131, 4rexaddd 9996 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A +e B ) = ( A + B ) )
1413preq1d 3721 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> { ( A +e B ) , C } = { ( A + B ) , C } )
1514infeq1d 7129 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) = inf ( { ( A + B ) , C } , RR* , < ) )
161, 4readdcld 8122 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> ( A + B ) e. RR )
17 xrminrecl 11659 . . . . . . 7 |- ( ( ( A + B ) e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR* , < ) = inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) )
1816, 7, 17syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { ( A + B ) , C } , RR* , < ) = inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) )
1915, 18eqtrd 2239 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) = inf ( { ( A + B ) , C } , RR , < ) )
20 xrminrecl 11659 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { A , C } , RR* , < ) = inf ( { A , C } , RR , < ) )
211, 7, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { A , C } , RR* , < ) = inf ( { A , C } , RR , < ) )
22 xrminrecl 11659 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) = inf ( { B , C } , RR , < ) )
234, 7, 22syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) = inf ( { B , C } , RR , < ) )
2421, 23oveq12d 5975 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) = (inf ( { A , C } , RR , < ) +einf ( { B , C } , RR , < ) ) )
25 mincl 11617 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { A , C } , RR , < ) e. RR )
261, 7, 25syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { A , C } , RR , < ) e. RR )
27 mincl 11617 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) e. RR )
284, 7, 27syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { B , C } , RR , < ) e. RR )
2926, 28rexaddd 9996 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> (inf ( { A , C } , RR , < ) +einf ( { B , C } , RR , < ) ) = (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )
3024, 29eqtrd 2239 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) = (inf ( { A , C } , RR , < ) + inf ( { B , C } , RR , < ) ) )
3112, 19, 303brtr4d 4083 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A e. RR ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
32 simp3l 1028 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> C e. RR* )
3332xaddid1d 10006 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( C +e 0 ) = C )
3432xrleidd 9943 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> C <_ C )
35 0xr 8139 . . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
3635a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> 0 e. RR* )
3736, 32, 8xrltled 9941 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ C )
38 simp2l 1026 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> B e. RR* )
39 xrlemininf 11657 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( 0 <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ B /\ 0 <_ C ) ) )
4036, 38, 32, 39syl3anc 1250 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ B /\ 0 <_ C ) ) )
415, 37, 40mpbir2and 947 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) )
42 xrmincl 11652 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
4338, 32, 42syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
44 xle2add 10021 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. RR* /\ 0 e. RR* ) /\ ( C e. RR* /\ inf ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* ) ) -> ( ( C <_ C /\ 0 <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) ) -> ( C +e 0 ) <_ ( C +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) ) )
4532, 36, 32, 43, 44syl22anc 1251 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( ( C <_ C /\ 0 <_ inf ( { B , C } , RR* , < ) ) -> ( C +e 0 ) <_ ( C +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) ) )
4634, 41, 45mp2and 433 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( C +e 0 ) <_ ( C +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
4733, 46eqbrtrrd 4075 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> C <_ ( C +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
4847ad3antrrr 492 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> C <_ ( C +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
49 simp1l 1024 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> A e. RR* )
5049, 38xaddcld 10026 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
5150ad3antrrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e B ) e. RR* )
5232ad3antrrr 492 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> C e. RR* )
53 pnfge 9931 . . . . . . . 8 |- ( C e. RR* -> C <_ +oo )
5452, 53syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> C <_ +oo )
55 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> A = +oo )
5655oveq1d 5972 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e B ) = ( +oo +e B ) )
57 simpl2l 1053 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) -> B e. RR* )
5857ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> B e. RR* )
59 simplr 528 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> B e. RR )
6059renemnfd 8144 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> B =/= -oo )
61 xaddpnf2 9989 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR* /\ B =/= -oo ) -> ( +oo +e B ) = +oo )
6258, 60, 61syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( +oo +e B ) = +oo )
6356, 62eqtrd 2239 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> ( A +e B ) = +oo )
6454, 63breqtrrd 4079 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> C <_ ( A +e B ) )
65 xrmineqinf 11655 . . . . . 6 |- ( ( ( A +e B ) e. RR* /\ C e. RR* /\ C <_ ( A +e B ) ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) = C )
6651, 52, 64, 65syl3anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) = C )
6749ad3antrrr 492 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> A e. RR* )
6854, 55breqtrrd 4079 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> C <_ A )
69 xrmineqinf 11655 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* /\ C <_ A ) -> inf ( { A , C } , RR* , < ) = C )
7067, 52, 68, 69syl3anc 1250 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> inf ( { A , C } , RR* , < ) = C )
7170oveq1d 5972 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) = ( C +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
7248, 66, 713brtr4d 4083 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = +oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
73 simpr 110 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A = -oo )
74 ge0nemnf 9966 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) -> A =/= -oo )
7549, 2, 74syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> A =/= -oo )
7675ad3antrrr 492 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> A =/= -oo )
7773, 76pm2.21ddne 2460 . . . 4 |- ( ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) /\ A = -oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
78 elxr 9918 . . . . . 6 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
7949, 78sylib 122 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
8079ad2antrr 488 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) -> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
8131, 72, 77, 80mpjao3dan 1320 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B e. RR ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
82 xrlemininf 11657 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ A e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( 0 <_ inf ( { A , C } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) ) )
8336, 49, 32, 82syl3anc 1250 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( 0 <_ inf ( { A , C } , RR* , < ) <-> ( 0 <_ A /\ 0 <_ C ) ) )
842, 37, 83mpbir2and 947 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> 0 <_ inf ( { A , C } , RR* , < ) )
85 xrmincl 11652 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ C e. RR* ) -> inf ( { A , C } , RR* , < ) e. RR* )
8649, 32, 85syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> inf ( { A , C } , RR* , < ) e. RR* )
87 xle2add 10021 . . . . . . 7 |- ( ( ( 0 e. RR* /\ C e. RR* ) /\ (inf ( { A , C } , RR* , < ) e. RR* /\ C e. RR* ) ) -> ( ( 0 <_ inf ( { A , C } , RR* , < ) /\ C <_ C ) -> ( 0 +e C ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +e C ) ) )
8836, 32, 86, 32, 87syl22anc 1251 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( ( 0 <_ inf ( { A , C } , RR* , < ) /\ C <_ C ) -> ( 0 +e C ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +e C ) ) )
8984, 34, 88mp2and 433 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( 0 +e C ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +e C ) )
9089ad2antrr 488 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> ( 0 +e C ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +e C ) )
9150ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> ( A +e B ) e. RR* )
9232ad2antrr 488 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> C e. RR* )
9392, 53syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> C <_ +oo )
94 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> B = +oo )
9594oveq2d 5973 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> ( A +e B ) = ( A +e +oo ) )
96 xaddpnf1 9988 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ A =/= -oo ) -> ( A +e +oo ) = +oo )
9749, 75, 96syl2anc 411 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( A +e +oo ) = +oo )
9897ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> ( A +e +oo ) = +oo )
9995, 98eqtrd 2239 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> ( A +e B ) = +oo )
10093, 99breqtrrd 4079 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> C <_ ( A +e B ) )
10191, 92, 100, 65syl3anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) = C )
102 xaddid2 10005 . . . . . 6 |- ( C e. RR* -> ( 0 +e C ) = C )
10392, 102syl 14 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> ( 0 +e C ) = C )
104101, 103eqtr4d 2242 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) = ( 0 +e C ) )
10557adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> B e. RR* )
10693, 94breqtrrd 4079 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> C <_ B )
107 xrmineqinf 11655 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ C <_ B ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) = C )
108105, 92, 106, 107syl3anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) = C )
109108oveq2d 5973 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) = (inf ( { A , C } , RR* , < ) +e C ) )
11090, 104, 1093brtr4d 4083 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = +oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
111 simpr 110 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = -oo ) -> B = -oo )
11257adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = -oo ) -> B e. RR* )
1135ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = -oo ) -> 0 <_ B )
114 ge0nemnf 9966 . . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) -> B =/= -oo )
115112, 113, 114syl2anc 411 . . . 4 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = -oo ) -> B =/= -oo )
116111, 115pm2.21ddne 2460 . . 3 |- ( ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) /\ B = -oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
117 elxr 9918 . . . 4 |- ( B e. RR* <-> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
11857, 117sylib 122 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) -> ( B e. RR \/ B = +oo \/ B = -oo ) )
11981, 110, 116, 118mpjao3dan 1320 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C e. RR ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
12050adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> ( A +e B ) e. RR* )
121120xrleidd 9943 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e B ) )
122 prcom 3714 . . . . 5 |- { C , ( A +e B ) } = { ( A +e B ) , C }
123122infeq1i 7130 . . . 4 |- inf ( { C , ( A +e B ) } , RR* , < ) = inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < )
12432adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> C e. RR* )
125 pnfge 9931 . . . . . . 7 |- ( ( A +e B ) e. RR* -> ( A +e B ) <_ +oo )
126120, 125syl 14 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> ( A +e B ) <_ +oo )
127 simpr 110 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> C = +oo )
128126, 127breqtrrd 4079 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> ( A +e B ) <_ C )
129 xrmineqinf 11655 . . . . 5 |- ( ( C e. RR* /\ ( A +e B ) e. RR* /\ ( A +e B ) <_ C ) -> inf ( { C , ( A +e B ) } , RR* , < ) = ( A +e B ) )
130124, 120, 128, 129syl3anc 1250 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> inf ( { C , ( A +e B ) } , RR* , < ) = ( A +e B ) )
131123, 130eqtr3id 2253 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) = ( A +e B ) )
132 prcom 3714 . . . . . 6 |- { C , A } = { A , C }
133132infeq1i 7130 . . . . 5 |- inf ( { C , A } , RR* , < ) = inf ( { A , C } , RR* , < )
13449adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> A e. RR* )
135 pnfge 9931 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR* -> A <_ +oo )
136134, 135syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> A <_ +oo )
137136, 127breqtrrd 4079 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> A <_ C )
138 xrmineqinf 11655 . . . . . 6 |- ( ( C e. RR* /\ A e. RR* /\ A <_ C ) -> inf ( { C , A } , RR* , < ) = A )
139124, 134, 137, 138syl3anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> inf ( { C , A } , RR* , < ) = A )
140133, 139eqtr3id 2253 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> inf ( { A , C } , RR* , < ) = A )
141 prcom 3714 . . . . . 6 |- { C , B } = { B , C }
142141infeq1i 7130 . . . . 5 |- inf ( { C , B } , RR* , < ) = inf ( { B , C } , RR* , < )
14338adantr 276 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> B e. RR* )
144 pnfge 9931 . . . . . . . 8 |- ( B e. RR* -> B <_ +oo )
145143, 144syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> B <_ +oo )
146145, 127breqtrrd 4079 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> B <_ C )
147 xrmineqinf 11655 . . . . . 6 |- ( ( C e. RR* /\ B e. RR* /\ B <_ C ) -> inf ( { C , B } , RR* , < ) = B )
148124, 143, 146, 147syl3anc 1250 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> inf ( { C , B } , RR* , < ) = B )
149142, 148eqtr3id 2253 . . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> inf ( { B , C } , RR* , < ) = B )
150140, 149oveq12d 5975 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) = ( A +e B ) )
151121, 131, 1503brtr4d 4083 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = +oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
152 simpl3r 1056 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = -oo ) -> 0 < C )
153 nltmnf 9930 . . . . . 6 |- ( 0 e. RR* -> -. 0 < -oo )
15435, 153ax-mp 5 . . . . 5 |- -. 0 < -oo
155 breq2 4055 . . . . 5 |- ( C = -oo -> ( 0 < C <-> 0 < -oo ) )
156154, 155mtbiri 677 . . . 4 |- ( C = -oo -> -. 0 < C )
157156adantl 277 . . 3 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = -oo ) -> -. 0 < C )
158152, 157pm2.21dd 621 . 2 |- ( ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) /\ C = -oo ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
159 elxr 9918 . . 3 |- ( C e. RR* <-> ( C e. RR \/ C = +oo \/ C = -oo ) )
16032, 159sylib 122 . 2 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> ( C e. RR \/ C = +oo \/ C = -oo ) )
161119, 151, 158, 160mpjao3dan 1320 1 |- ( ( ( A e. RR* /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR* /\ 0 <_ B ) /\ ( C e. RR* /\ 0 < C ) ) -> inf ( { ( A +e B ) , C } , RR* , < ) <_ (inf ( { A , C } , RR* , < ) +einf ( { B , C } , RR* , < ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 980   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   {cpr 3639   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957  infcinf 7100   RRcr 7944   0cc0 7945   + caddc 7948   +oocpnf 8124   -oocmnf 8125   RR*cxr 8126   < clt 8127   <_ cle 8128   RR+crp 9795   +ecxad 9912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064  ax-caucvg 8065
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-isom 5289  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-sup 7101  df-inf 7102  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-rp 9796  df-xneg 9914  df-xadd 9915  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-cj 11228  df-re 11229  df-im 11230  df-rsqrt 11384  df-abs 11385
This theorem is referenced by:  bdxmet  15048
  Copyright terms: Public domain W3C validator