ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrbdtri Unicode version

Theorem xrbdtri 10884
Description: Triangle inequality for bounded values. (Contributed by Jim Kingdon, 15-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrbdtri  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  -> inf ( {
( A +e
B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )

Proof of Theorem xrbdtri
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2 simp1r 974 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  0  <_  A )
32ad3antrrr 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  A
)
4 simplr 500 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
5 simp2r 976 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  0  <_  B )
65ad3antrrr 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  0  <_  B
)
7 simpllr 504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
8 simp3r 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  0  <  C )
98ad3antrrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  0  <  C
)
107, 9elrpd 9328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  C  e.  RR+ )
11 bdtri 10850 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
) )
121, 3, 4, 6, 10, 11syl221anc 1195 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  )  <_ 
(inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
) )
131, 4rexaddd 9478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A +e B )  =  ( A  +  B
) )
1413preq1d 3553 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  { ( A +e B ) ,  C }  =  { ( A  +  B ) ,  C } )
1514infeq1d 6814 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  = inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR* ,  <  ) )
161, 4readdcld 7667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
17 xrminrecl 10881 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  = inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  ) )
1816, 7, 17syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  -> inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  = inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  ) )
1915, 18eqtrd 2132 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  = inf ( { ( A  +  B ) ,  C } ,  RR ,  <  ) )
20 xrminrecl 10881 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  )  = inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  ) )
211, 7, 20syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  )  = inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )
)
22 xrminrecl 10881 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  = inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  ) )
234, 7, 22syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  = inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
)
2421, 23oveq12d 5724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )  =  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  ) ) )
25 mincl 10841 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
261, 7, 25syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
27 mincl 10841 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
284, 7, 27syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2926, 28rexaddd 9478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  ) )  =  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
) )
3024, 29eqtrd 2132 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )  =  (inf ( { A ,  C } ,  RR ,  <  )  + inf ( { B ,  C } ,  RR ,  <  )
) )
3112, 19, 303brtr4d 3905 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
32 simp3l 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  C  e.  RR* )
3332xaddid1d 9488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  ( C +e 0 )  =  C )
3432xrleidd 9428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  C  <_  C )
35 0xr 7684 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
3635a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  0  e.  RR* )
3736, 32, 8xrltled 9426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  0  <_  C )
38 simp2l 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  B  e.  RR* )
39 xrlemininf 10879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
0  <_ inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  <->  ( 0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )
4036, 38, 32, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  ( 0  <_ inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  <->  ( 0  <_  B  /\  0  <_  C ) ) )
415, 37, 40mpbir2and 896 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  0  <_ inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )
42 xrmincl 10874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4338, 32, 42syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
44 xle2add 9503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\ inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* ) )  -> 
( ( C  <_  C  /\  0  <_ inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( C +e 0 )  <_  ( C +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4532, 36, 32, 43, 44syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  ( ( C  <_  C  /\  0  <_ inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )  ->  ( C +e 0 )  <_  ( C +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )
4634, 41, 45mp2and 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  ( C +e 0 )  <_  ( C +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
4733, 46eqbrtrrd 3897 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  C  <_  ( C +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
4847ad3antrrr 479 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  C  <_  ( C +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
) )
49 simp1l 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  A  e.  RR* )
5049, 38xaddcld 9508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  ( A +e B )  e.  RR* )
5150ad3antrrr 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e B )  e. 
RR* )
5232ad3antrrr 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  C  e.  RR* )
53 pnfge 9416 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  RR*  ->  C  <_ +oo )
5452, 53syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  C  <_ +oo )
55 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  A  = +oo )
5655oveq1d 5721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e B )  =  ( +oo +e
B ) )
57 simpl2l 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
5857ad2antrr 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  B  e.  RR* )
59 simplr 500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  B  e.  RR )
6059renemnfd 7689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  B  =/= -oo )
61 xaddpnf2 9471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  B  =/= -oo )  ->  ( +oo +e B )  = +oo )
6258, 60, 61syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( +oo +e B )  = +oo )
6356, 62eqtrd 2132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  ( A +e B )  = +oo )
6454, 63breqtrrd 3901 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  C  <_  ( A +e B ) )
65 xrmineqinf 10877 . . . . . 6  |-  ( ( ( A +e
B )  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  C  <_  ( A +e
B ) )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  =  C )
6651, 52, 64, 65syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  =  C )
6749ad3antrrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  A  e.  RR* )
6854, 55breqtrrd 3901 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  C  <_  A
)
69 xrmineqinf 10877 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  C  <_  A )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  )  =  C )
7067, 52, 68, 69syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  )  =  C )
7170oveq1d 5721 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  ->  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )  =  ( C +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
7248, 66, 713brtr4d 3905 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = +oo )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
73 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  A  = -oo )
74 ge0nemnf 9448 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  ->  A  =/= -oo )
7549, 2, 74syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  A  =/= -oo )
7675ad3antrrr 479 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  ->  A  =/= -oo )
7773, 76pm2.21ddne 2350 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  /\  A  = -oo )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
78 elxr 9404 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR*  <->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
7949, 78sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
8079ad2antrr 475 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR  \/  A  = +oo  \/  A  = -oo ) )
8131, 72, 77, 80mpjao3dan 1253 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  e.  RR )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
82 xrlemininf 10879 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
0  <_ inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  )  <->  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C ) ) )
8336, 49, 32, 82syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  ( 0  <_ inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  )  <->  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C ) ) )
842, 37, 83mpbir2and 896 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  0  <_ inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) )
85 xrmincl 10874 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
8649, 32, 85syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
87 xle2add 9503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )
)  ->  ( (
0  <_ inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  )  /\  C  <_  C )  ->  ( 0 +e C )  <_ 
(inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +e
C ) ) )
8836, 32, 86, 32, 87syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  ( (
0  <_ inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  )  /\  C  <_  C )  ->  ( 0 +e C )  <_ 
(inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +e
C ) ) )
8984, 34, 88mp2and 427 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  ( 0 +e C )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +e C ) )
9089ad2antrr 475 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  ( 0 +e C )  <_ 
(inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +e
C ) )
9150ad2antrr 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e B )  e. 
RR* )
9232ad2antrr 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  C  e.  RR* )
9392, 53syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  C  <_ +oo )
94 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  B  = +oo )
9594oveq2d 5722 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e B )  =  ( A +e +oo ) )
96 xaddpnf1 9470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  =/= -oo )  ->  ( A +e +oo )  = +oo )
9749, 75, 96syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  ( A +e +oo )  = +oo )
9897ad2antrr 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e +oo )  = +oo )
9995, 98eqtrd 2132 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  ( A +e B )  = +oo )
10093, 99breqtrrd 3901 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  C  <_  ( A +e B ) )
10191, 92, 100, 65syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  =  C )
102 xaddid2 9487 . . . . . 6  |-  ( C  e.  RR*  ->  ( 0 +e C )  =  C )
10392, 102syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  ( 0 +e C )  =  C )
104101, 103eqtr4d 2135 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  =  ( 0 +e C ) )
10557adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  B  e.  RR* )
10693, 94breqtrrd 3901 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  C  <_  B
)
107 xrmineqinf 10877 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  C  <_  B )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  =  C )
108105, 92, 106, 107syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  =  C )
109108oveq2d 5722 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  ->  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )  =  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +e
C ) )
11090, 104, 1093brtr4d 3905 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = +oo )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
111 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = -oo )  ->  B  = -oo )
11257adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = -oo )  ->  B  e.  RR* )
1135ad2antrr 475 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = -oo )  ->  0  <_  B
)
114 ge0nemnf 9448 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  ->  B  =/= -oo )
115112, 113, 114syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = -oo )  ->  B  =/= -oo )
116111, 115pm2.21ddne 2350 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  /\  B  = -oo )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
117 elxr 9404 . . . 4  |-  ( B  e.  RR*  <->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
11857, 117sylib 121 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  e.  RR  \/  B  = +oo  \/  B  = -oo ) )
11981, 110, 116, 118mpjao3dan 1253 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  e.  RR )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  <_ 
(inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
12050adantr 272 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  ->  ( A +e
B )  e.  RR* )
121120xrleidd 9428 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  ->  ( A +e
B )  <_  ( A +e B ) )
122 prcom 3546 . . . . 5  |-  { C ,  ( A +e B ) }  =  { ( A +e B ) ,  C }
123122infeq1i 6815 . . . 4  |- inf ( { C ,  ( A +e B ) } ,  RR* ,  <  )  = inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )
12432adantr 272 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  ->  C  e.  RR* )
125 pnfge 9416 . . . . . . 7  |-  ( ( A +e B )  e.  RR*  ->  ( A +e B )  <_ +oo )
126120, 125syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  ->  ( A +e
B )  <_ +oo )
127 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  ->  C  = +oo )
128126, 127breqtrrd 3901 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  ->  ( A +e
B )  <_  C
)
129 xrmineqinf 10877 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  ( A +e B )  e.  RR*  /\  ( A +e B )  <_  C )  -> inf ( { C ,  ( A +e B ) } ,  RR* ,  <  )  =  ( A +e B ) )
130124, 120, 128, 129syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  -> inf ( { C , 
( A +e
B ) } ,  RR* ,  <  )  =  ( A +e
B ) )
131123, 130syl5eqr 2146 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  =  ( A +e
B ) )
132 prcom 3546 . . . . . 6  |-  { C ,  A }  =  { A ,  C }
133132infeq1i 6815 . . . . 5  |- inf ( { C ,  A } ,  RR* ,  <  )  = inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  )
13449adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  ->  A  e.  RR* )
135 pnfge 9416 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR*  ->  A  <_ +oo )
136134, 135syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  ->  A  <_ +oo )
137136, 127breqtrrd 3901 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  ->  A  <_  C )
138 xrmineqinf 10877 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  A  e.  RR*  /\  A  <_  C )  -> inf ( { C ,  A } ,  RR* ,  <  )  =  A )
139124, 134, 137, 138syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  -> inf ( { C ,  A } ,  RR* ,  <  )  =  A )
140133, 139syl5eqr 2146 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  -> inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  )  =  A )
141 prcom 3546 . . . . . 6  |-  { C ,  B }  =  { B ,  C }
142141infeq1i 6815 . . . . 5  |- inf ( { C ,  B } ,  RR* ,  <  )  = inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
14338adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  ->  B  e.  RR* )
144 pnfge 9416 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR*  ->  B  <_ +oo )
145143, 144syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  ->  B  <_ +oo )
146145, 127breqtrrd 3901 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  ->  B  <_  C )
147 xrmineqinf 10877 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  B  <_  C )  -> inf ( { C ,  B } ,  RR* ,  <  )  =  B )
148124, 143, 146, 147syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  -> inf ( { C ,  B } ,  RR* ,  <  )  =  B )
149142, 148syl5eqr 2146 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  -> inf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  =  B )
150140, 149oveq12d 5724 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  ->  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )  =  ( A +e B ) )
151121, 131, 1503brtr4d 3905 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = +oo )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  <_ 
(inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
152 simpl3r 1005 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = -oo )  ->  0  <  C )
153 nltmnf 9415 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR*  ->  -.  0  < -oo )
15435, 153ax-mp 7 . . . . 5  |-  -.  0  < -oo
155 breq2 3879 . . . . 5  |-  ( C  = -oo  ->  (
0  <  C  <->  0  < -oo ) )
156154, 155mtbiri 641 . . . 4  |-  ( C  = -oo  ->  -.  0  <  C )
157156adantl 273 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = -oo )  ->  -.  0  <  C
)
158152, 157pm2.21dd 590 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  /\  C  = -oo )  -> inf ( { ( A +e B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  <_ 
(inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
159 elxr 9404 . . 3  |-  ( C  e.  RR*  <->  ( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo ) )
16032, 159sylib 121 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  ->  ( C  e.  RR  \/  C  = +oo  \/  C  = -oo ) )
161119, 151, 158, 160mpjao3dan 1253 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR*  /\  0  <_  B )  /\  ( C  e.  RR*  /\  0  <  C ) )  -> inf ( {
( A +e
B ) ,  C } ,  RR* ,  <  )  <_  (inf ( { A ,  C } ,  RR* ,  <  ) +einf ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ w3o 929    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448    =/= wne 2267   {cpr 3475   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  infcinf 6785   RRcr 7499   0cc0 7500    + caddc 7503   +oocpnf 7669   -oocmnf 7670   RR*cxr 7671    < clt 7672    <_ cle 7673   RR+crp 9291   +ecxad 9398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-xneg 9400  df-xadd 9401  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611
This theorem is referenced by:  bdxmet  12429
  Copyright terms: Public domain W3C validator