ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bdmetval Unicode version

Theorem bdmetval 12658
Description: Value of the standard bounded metric. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 9-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
stdbdmet.1  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |-> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  ) )
Assertion
Ref Expression
bdmetval  |-  ( ( ( C : ( X  X.  X ) -->
RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  = inf ( { ( A C B ) ,  R } ,  RR* ,  <  )
)
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, C, y    x, B, y    x, R, y   
x, X, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)

Proof of Theorem bdmetval
StepHypRef Expression
1 simprl 520 . 2  |-  ( ( ( C : ( X  X.  X ) -->
RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
2 simprr 521 . 2  |-  ( ( ( C : ( X  X.  X ) -->
RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  B  e.  X )
3 simpll 518 . . . 4  |-  ( ( ( C : ( X  X.  X ) -->
RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  C : ( X  X.  X ) --> RR* )
43, 1, 2fovrnd 5908 . . 3  |-  ( ( ( C : ( X  X.  X ) -->
RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A C B )  e.  RR* )
5 simplr 519 . . 3  |-  ( ( ( C : ( X  X.  X ) -->
RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  ->  R  e.  RR* )
6 xrmincl 11028 . . 3  |-  ( ( ( A C B )  e.  RR*  /\  R  e.  RR* )  -> inf ( { ( A C B ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
74, 5, 6syl2anc 408 . 2  |-  ( ( ( C : ( X  X.  X ) -->
RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> inf ( { ( A C B ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
8 oveq12 5776 . . . . 5  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x C y )  =  ( A C B ) )
98preq1d 3601 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  { ( x C y ) ,  R }  =  { ( A C B ) ,  R } )
109infeq1d 6892 . . 3  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  -> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  = inf ( { ( A C B ) ,  R } ,  RR* ,  <  ) )
11 stdbdmet.1 . . 3  |-  D  =  ( x  e.  X ,  y  e.  X  |-> inf ( { ( x C y ) ,  R } ,  RR* ,  <  ) )
1210, 11ovmpoga 5893 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\ inf ( { ( A C B ) ,  R } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( A D B )  = inf ( { ( A C B ) ,  R } ,  RR* ,  <  ) )
131, 2, 7, 12syl3anc 1216 1  |-  ( ( ( C : ( X  X.  X ) -->
RR*  /\  R  e.  RR* )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A D B )  = inf ( { ( A C B ) ,  R } ,  RR* ,  <  )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   {cpr 3523    X. cxp 4532   -->wf 5114  (class class class)co 5767    e. cmpo 5769  infcinf 6863   RR*cxr 7792    < clt 7793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-sup 6864  df-inf 6865  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-xneg 9552  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764
This theorem is referenced by:  bdbl  12661
  Copyright terms: Public domain W3C validator