Theorem nninfdc 12695

Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfdc	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> om ~<_ A )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A

Proof of Theorem nninfdc

Dummy variables a b f i y z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnenom 10543	. . 3 |- NN ~~ om
2	1	ensymi 6850	. 2 |- om ~~ NN
3		breq1 4037	. . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( m < n <-> 1 < n ) )
4	3	rexbidv 2498	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( E. n e. A m < n <-> E. n e. A 1 < n ) )
5		simp3 1001	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
6		1nn 9018	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> 1 e. NN )
8	4, 5, 7	rspcdva 2873	. . . . 5 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. n e. A 1 < n )
9		breq2 4038	. . . . . 6 |- ( n = j -> ( 1 < n <-> 1 < j ) )
10	9	cbvrexv 2730	. . . . 5 |- ( E. n e. A 1 < n <-> E. j e. A 1 < j )
11	8, 10	sylib 122	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. j e. A 1 < j )
12		simpl1 1002	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> A C_ NN )
13		simpl2 1003	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
14		simpl3 1004	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
15		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> ( j e. A /\ 1 < j ) )
16		fvoveq1 5948	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) )
17	16	ineq2d 3365	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) = ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) )
18	17	infeq1d 7087	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
19		eqidd 2197	. . . . . . . 8 |- ( b = z -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
20	18, 19	cbvmpov 6006	. . . . . . 7 |- ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) = ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
21		seqeq2 10560	. . . . . . 7 |- ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) = ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) -> seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) )
23	12, 13, 14, 15, 22	nninfdclemf1 12694	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) : NN -1-1-> A )
24		seqex 10558	. . . . . 6 |- seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) e. _V
25		f1eq1 5461	. . . . . 6 |- ( f = seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) -> ( f : NN -1-1-> A <-> seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) : NN -1-1-> A ) )
26	24, 25	spcev 2859	. . . . 5 |- ( seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) : NN -1-1-> A -> E. f f : NN -1-1-> A )
27	23, 26	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> E. f f : NN -1-1-> A )
28	11, 27	rexlimddv 2619	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. f f : NN -1-1-> A )
29		nnex 9013	. . . . . 6 |- NN e. _V
30	29	ssex 4171	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> A e. _V )
31	30	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A e. _V )
32		brdomg 6816	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( NN ~<_ A <-> E. f f : NN -1-1-> A ) )
33	31, 32	syl 14	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> ( NN ~<_ A <-> E. f f : NN -1-1-> A ) )
34	28, 33	mpbird 167	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> NN ~<_ A )
35		endomtr 6858	. 2 |- ( ( om ~~ NN /\ NN ~<_ A ) -> om ~<_ A )
36	2, 34, 35	sylancr 414	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> om ~<_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   i^i cin 3156   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   omcom 4627   -1-1->wf1 5256   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927   ~~ cen 6806   ~<_ cdom 6807  infcinf 7058   RRcr 7895   1c1 7897   + caddc 7899   < clt 8078   NNcn 9007   ZZ>=cuz 9618   seqcseq 10556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557

This theorem is referenced by:  unbendc  12696