Theorem nninfdc 12613

Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfdc	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> om ~<_ A )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A

Proof of Theorem nninfdc

Dummy variables a b f i y z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnenom 10508	. . 3 |- NN ~~ om
2	1	ensymi 6838	. 2 |- om ~~ NN
3		breq1 4033	. . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( m < n <-> 1 < n ) )
4	3	rexbidv 2495	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( E. n e. A m < n <-> E. n e. A 1 < n ) )
5		simp3 1001	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
6		1nn 8995	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> 1 e. NN )
8	4, 5, 7	rspcdva 2870	. . . . 5 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. n e. A 1 < n )
9		breq2 4034	. . . . . 6 |- ( n = j -> ( 1 < n <-> 1 < j ) )
10	9	cbvrexv 2727	. . . . 5 |- ( E. n e. A 1 < n <-> E. j e. A 1 < j )
11	8, 10	sylib 122	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. j e. A 1 < j )
12		simpl1 1002	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> A C_ NN )
13		simpl2 1003	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
14		simpl3 1004	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
15		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> ( j e. A /\ 1 < j ) )
16		fvoveq1 5942	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) )
17	16	ineq2d 3361	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) = ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) )
18	17	infeq1d 7073	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
19		eqidd 2194	. . . . . . . 8 |- ( b = z -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
20	18, 19	cbvmpov 5999	. . . . . . 7 |- ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) = ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
21		seqeq2 10525	. . . . . . 7 |- ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) = ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) -> seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) )
23	12, 13, 14, 15, 22	nninfdclemf1 12612	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) : NN -1-1-> A )
24		seqex 10523	. . . . . 6 |- seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) e. _V
25		f1eq1 5455	. . . . . 6 |- ( f = seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) -> ( f : NN -1-1-> A <-> seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) : NN -1-1-> A ) )
26	24, 25	spcev 2856	. . . . 5 |- ( seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) : NN -1-1-> A -> E. f f : NN -1-1-> A )
27	23, 26	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> E. f f : NN -1-1-> A )
28	11, 27	rexlimddv 2616	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. f f : NN -1-1-> A )
29		nnex 8990	. . . . . 6 |- NN e. _V
30	29	ssex 4167	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> A e. _V )
31	30	3ad2ant1 1020	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A e. _V )
32		brdomg 6804	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( NN ~<_ A <-> E. f f : NN -1-1-> A ) )
33	31, 32	syl 14	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> ( NN ~<_ A <-> E. f f : NN -1-1-> A ) )
34	28, 33	mpbird 167	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> NN ~<_ A )
35		endomtr 6846	. 2 |- ( ( om ~~ NN /\ NN ~<_ A ) -> om ~<_ A )
36	2, 34, 35	sylancr 414	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> om ~<_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   A.wral 2472   E.wrex 2473   _Vcvv 2760   i^i cin 3153   C_ wss 3154   class class class wbr 4030   |-> cmpt 4091   omcom 4623   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921   ~~ cen 6794   ~<_ cdom 6795  infcinf 7044   RRcr 7873   1c1 7875   + caddc 7877   < clt 8056   NNcn 8984   ZZ>=cuz 9595   seqcseq 10521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522

This theorem is referenced by:  unbendc  12614