ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nninfdc Unicode version

Theorem nninfdc 12340
Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
nninfdc  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  om 
~<_  A )
Distinct variable groups:    A, m, n   
x, A

Proof of Theorem nninfdc
Dummy variables  a  b  f  i  y  z  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnenom 10360 . . 3  |-  NN  ~~  om
21ensymi 6740 . 2  |-  om  ~~  NN
3 breq1 3980 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
m  <  n  <->  1  <  n ) )
43rexbidv 2465 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  ( E. n  e.  A  m  <  n  <->  E. n  e.  A  1  <  n ) )
5 simp3 988 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )
6 1nn 8860 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
76a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  -> 
1  e.  NN )
84, 5, 7rspcdva 2831 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  E. n  e.  A 
1  <  n )
9 breq2 3981 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
1  <  n  <->  1  <  j ) )
109cbvrexv 2691 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  A  1  <  n  <->  E. j  e.  A  1  <  j )
118, 10sylib 121 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  E. j  e.  A 
1  <  j )
12 simpl1 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n
)  /\  ( j  e.  A  /\  1  <  j ) )  ->  A  C_  NN )
13 simpl2 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n
)  /\  ( j  e.  A  /\  1  <  j ) )  ->  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A )
14 simpl3 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n
)  /\  ( j  e.  A  /\  1  <  j ) )  ->  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )
15 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n
)  /\  ( j  e.  A  /\  1  <  j ) )  -> 
( j  e.  A  /\  1  <  j ) )
16 fvoveq1 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  y  ->  ( ZZ>=
`  ( a  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) )
1716ineq2d 3319 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  ( A  i^i  ( ZZ>= `  (
a  +  1 ) ) )  =  ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) ) )
1817infeq1d 6969 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  y  -> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )  = inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) )
19 eqidd 2165 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  z  -> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )  = inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) )
2018, 19cbvmpov 5914 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )
)  =  ( y  e.  NN ,  z  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )
)
21 seqeq2 10375 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  NN , 
b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>=
`  ( a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  NN ,  z  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )
)  ->  seq 1
( ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  (
a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) )  =  seq 1 ( ( y  e.  NN , 
z  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>=
`  ( y  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) ) )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6  |-  seq 1
( ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  (
a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) )  =  seq 1 ( ( y  e.  NN , 
z  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>=
`  ( y  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) )
2312, 13, 14, 15, 22nninfdclemf1 12339 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n
)  /\  ( j  e.  A  /\  1  <  j ) )  ->  seq 1 ( ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )
) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) ) : NN -1-1-> A
)
24 seqex 10373 . . . . . 6  |-  seq 1
( ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  (
a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) )  e. 
_V
25 f1eq1 5383 . . . . . 6  |-  ( f  =  seq 1 ( ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) )  ->  (
f : NN -1-1-> A  <->  seq 1 ( ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )
) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) ) : NN -1-1-> A
) )
2624, 25spcev 2817 . . . . 5  |-  (  seq 1 ( ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )
) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) ) : NN -1-1-> A  ->  E. f  f : NN -1-1-> A )
2723, 26syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n
)  /\  ( j  e.  A  /\  1  <  j ) )  ->  E. f  f : NN
-1-1-> A )
2811, 27rexlimddv 2586 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  E. f  f : NN
-1-1-> A )
29 nnex 8855 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
3029ssex 4114 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  A  e. 
_V )
31303ad2ant1 1007 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A  e.  _V )
32 brdomg 6706 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( NN 
~<_  A  <->  E. f  f : NN -1-1-> A ) )
3331, 32syl 14 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  -> 
( NN  ~<_  A  <->  E. f 
f : NN -1-1-> A
) )
3428, 33mpbird 166 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  NN 
~<_  A )
35 endomtr 6748 . 2  |-  ( ( om  ~~  NN  /\  NN 
~<_  A )  ->  om  ~<_  A )
362, 34, 35sylancr 411 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  om 
~<_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 824    /\ w3a 967    = wceq 1342   E.wex 1479    e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   _Vcvv 2722    i^i cin 3111    C_ wss 3112   class class class wbr 3977    |-> cmpt 4038   omcom 4562   -1-1->wf1 5180   ` cfv 5183  (class class class)co 5837    e. cmpo 5839    ~~ cen 6696    ~<_ cdom 6697  infcinf 6940   RRcr 7744   1c1 7746    + caddc 7748    < clt 7925   NNcn 8849   ZZ>=cuz 9458    seqcseq 10371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-addcom 7845  ax-addass 7847  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0lt1 7851  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-cnre 7856  ax-pre-ltirr 7857  ax-pre-ltwlin 7858  ax-pre-lttrn 7859  ax-pre-apti 7860  ax-pre-ltadd 7861
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-id 4266  df-po 4269  df-iso 4270  df-iord 4339  df-on 4341  df-ilim 4342  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-isom 5192  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-recs 6265  df-frec 6351  df-er 6493  df-en 6699  df-dom 6700  df-sup 6941  df-inf 6942  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-sub 8063  df-neg 8064  df-inn 8850  df-n0 9107  df-z 9184  df-uz 9459  df-fz 9937  df-fzo 10069  df-seqfrec 10372
This theorem is referenced by:  unbendc  12341
  Copyright terms: Public domain W3C validator