Theorem nninfdc 12939

Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nninfdc	|- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> om ~<_ A )

Distinct variable groups:   A, m, n   x, A

Proof of Theorem nninfdc

Dummy variables a b f i y z j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnenom 10616	. . 3 |- NN ~~ om
2	1	ensymi 6897	. 2 |- om ~~ NN
3		breq1 4062	. . . . . . 7 |- ( m = 1 -> ( m < n <-> 1 < n ) )
4	3	rexbidv 2509	. . . . . 6 |- ( m = 1 -> ( E. n e. A m < n <-> E. n e. A 1 < n ) )
5		simp3 1002	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
6		1nn 9082	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
7	6	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> 1 e. NN )
8	4, 5, 7	rspcdva 2889	. . . . 5 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. n e. A 1 < n )
9		breq2 4063	. . . . . 6 |- ( n = j -> ( 1 < n <-> 1 < j ) )
10	9	cbvrexv 2743	. . . . 5 |- ( E. n e. A 1 < n <-> E. j e. A 1 < j )
11	8, 10	sylib 122	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. j e. A 1 < j )
12		simpl1 1003	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> A C_ NN )
13		simpl2 1004	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> A. x e. NN DECID x e. A )
14		simpl3 1005	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> A. m e. NN E. n e. A m < n )
15		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> ( j e. A /\ 1 < j ) )
16		fvoveq1 5990	. . . . . . . . . 10 |- ( a = y -> ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) )
17	16	ineq2d 3382	. . . . . . . . 9 |- ( a = y -> ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) = ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) )
18	17	infeq1d 7140	. . . . . . . 8 |- ( a = y -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
19		eqidd 2208	. . . . . . . 8 |- ( b = z -> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) = inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
20	18, 19	cbvmpov 6048	. . . . . . 7 |- ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) = ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) )
21		seqeq2 10633	. . . . . . 7 |- ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) = ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) -> seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 |- seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) = seq 1 ( ( y e. NN , z e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( y + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) )
23	12, 13, 14, 15, 22	nninfdclemf1 12938	. . . . 5 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) : NN -1-1-> A )
24		seqex 10631	. . . . . 6 |- seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) e. _V
25		f1eq1 5498	. . . . . 6 |- ( f = seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) -> ( f : NN -1-1-> A <-> seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) : NN -1-1-> A ) )
26	24, 25	spcev 2875	. . . . 5 |- ( seq 1 ( ( a e. NN , b e. NN |-> inf ( ( A i^i ( ZZ>= ` ( a + 1 ) ) ) , RR , < ) ) , ( i e. NN |-> j ) ) : NN -1-1-> A -> E. f f : NN -1-1-> A )
27	23, 26	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) /\ ( j e. A /\ 1 < j ) ) -> E. f f : NN -1-1-> A )
28	11, 27	rexlimddv 2630	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> E. f f : NN -1-1-> A )
29		nnex 9077	. . . . . 6 |- NN e. _V
30	29	ssex 4197	. . . . 5 |- ( A C_ NN -> A e. _V )
31	30	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> A e. _V )
32		brdomg 6860	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( NN ~<_ A <-> E. f f : NN -1-1-> A ) )
33	31, 32	syl 14	. . 3 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> ( NN ~<_ A <-> E. f f : NN -1-1-> A ) )
34	28, 33	mpbird 167	. 2 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> NN ~<_ A )
35		endomtr 6905	. 2 |- ( ( om ~~ NN /\ NN ~<_ A ) -> om ~<_ A )
36	2, 34, 35	sylancr 414	1 |- ( ( A C_ NN /\ A. x e. NN DECID x e. A /\ A. m e. NN E. n e. A m < n ) -> om ~<_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   _Vcvv 2776   i^i cin 3173   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   omcom 4656   -1-1->wf1 5287   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   e. cmpo 5969   ~~ cen 6848   ~<_ cdom 6849  infcinf 7111   RRcr 7959   1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   NNcn 9071   ZZ>=cuz 9683   seqcseq 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630

This theorem is referenced by:  unbendc  12940