ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nninfdc Unicode version

Theorem nninfdc 12446
Description: An unbounded decidable set of positive integers is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
nninfdc  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  om 
~<_  A )
Distinct variable groups:    A, m, n   
x, A

Proof of Theorem nninfdc
Dummy variables  a  b  f  i  y  z  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnenom 10429 . . 3  |-  NN  ~~  om
21ensymi 6779 . 2  |-  om  ~~  NN
3 breq1 4005 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
m  <  n  <->  1  <  n ) )
43rexbidv 2478 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  ( E. n  e.  A  m  <  n  <->  E. n  e.  A  1  <  n ) )
5 simp3 999 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )
6 1nn 8926 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
76a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  -> 
1  e.  NN )
84, 5, 7rspcdva 2846 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  E. n  e.  A 
1  <  n )
9 breq2 4006 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  (
1  <  n  <->  1  <  j ) )
109cbvrexv 2704 . . . . 5  |-  ( E. n  e.  A  1  <  n  <->  E. j  e.  A  1  <  j )
118, 10sylib 122 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  E. j  e.  A 
1  <  j )
12 simpl1 1000 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n
)  /\  ( j  e.  A  /\  1  <  j ) )  ->  A  C_  NN )
13 simpl2 1001 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n
)  /\  ( j  e.  A  /\  1  <  j ) )  ->  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A )
14 simpl3 1002 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n
)  /\  ( j  e.  A  /\  1  <  j ) )  ->  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )
15 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n
)  /\  ( j  e.  A  /\  1  <  j ) )  -> 
( j  e.  A  /\  1  <  j ) )
16 fvoveq1 5895 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  y  ->  ( ZZ>=
`  ( a  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) )
1716ineq2d 3336 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  ( A  i^i  ( ZZ>= `  (
a  +  1 ) ) )  =  ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) ) )
1817infeq1d 7008 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  y  -> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )  = inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) )
19 eqidd 2178 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  z  -> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )  = inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) )
2018, 19cbvmpov 5952 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )
)  =  ( y  e.  NN ,  z  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )
)
21 seqeq2 10444 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  NN , 
b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>=
`  ( a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  NN ,  z  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( y  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )
)  ->  seq 1
( ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  (
a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) )  =  seq 1 ( ( y  e.  NN , 
z  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>=
`  ( y  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) ) )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6  |-  seq 1
( ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  (
a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) )  =  seq 1 ( ( y  e.  NN , 
z  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>=
`  ( y  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) )
2312, 13, 14, 15, 22nninfdclemf1 12445 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n
)  /\  ( j  e.  A  /\  1  <  j ) )  ->  seq 1 ( ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )
) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) ) : NN -1-1-> A
)
24 seqex 10442 . . . . . 6  |-  seq 1
( ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  (
a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) )  e. 
_V
25 f1eq1 5415 . . . . . 6  |-  ( f  =  seq 1 ( ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  ) ) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) )  ->  (
f : NN -1-1-> A  <->  seq 1 ( ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )
) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) ) : NN -1-1-> A
) )
2624, 25spcev 2832 . . . . 5  |-  (  seq 1 ( ( a  e.  NN ,  b  e.  NN  |-> inf ( ( A  i^i  ( ZZ>= `  ( a  +  1 ) ) ) ,  RR ,  <  )
) ,  ( i  e.  NN  |->  j ) ) : NN -1-1-> A  ->  E. f  f : NN -1-1-> A )
2723, 26syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  NN  /\ 
A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n
)  /\  ( j  e.  A  /\  1  <  j ) )  ->  E. f  f : NN
-1-1-> A )
2811, 27rexlimddv 2599 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  E. f  f : NN
-1-1-> A )
29 nnex 8921 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
3029ssex 4139 . . . . 5  |-  ( A 
C_  NN  ->  A  e. 
_V )
31303ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  A  e.  _V )
32 brdomg 6745 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( NN 
~<_  A  <->  E. f  f : NN -1-1-> A ) )
3331, 32syl 14 . . 3  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  -> 
( NN  ~<_  A  <->  E. f 
f : NN -1-1-> A
) )
3428, 33mpbird 167 . 2  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  NN 
~<_  A )
35 endomtr 6787 . 2  |-  ( ( om  ~~  NN  /\  NN 
~<_  A )  ->  om  ~<_  A )
362, 34, 35sylancr 414 1  |-  ( ( A  C_  NN  /\  A. x  e.  NN DECID  x  e.  A  /\  A. m  e.  NN  E. n  e.  A  m  <  n )  ->  om 
~<_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   _Vcvv 2737    i^i cin 3128    C_ wss 3129   class class class wbr 4002    |-> cmpt 4063   omcom 4588   -1-1->wf1 5212   ` cfv 5215  (class class class)co 5872    e. cmpo 5874    ~~ cen 6735    ~<_ cdom 6736  infcinf 6979   RRcr 7807   1c1 7809    + caddc 7811    < clt 7988   NNcn 8915   ZZ>=cuz 9524    seqcseq 10440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-apti 7923  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-isom 5224  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-er 6532  df-en 6738  df-dom 6739  df-sup 6980  df-inf 6981  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-fz 10005  df-fzo 10138  df-seqfrec 10441
This theorem is referenced by:  unbendc  12447
  Copyright terms: Public domain W3C validator