Theorem infsnti 7360

Description: The infimum of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infsnti.ti	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
infsnti.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
infsnti	⊢ (𝜑 → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣

Proof of Theorem infsnti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 7315	. 2 ⊢ inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = sup({𝐵}, 𝐴, ◡𝑅)
2		infsnti.ti	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
3	2	cnvti 7349	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢◡𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣◡𝑅𝑢)))
4		infsnti.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
5	3, 4	supsnti 7335	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({𝐵}, 𝐴, ◡𝑅) = 𝐵)
6	1, 5	eqtrid 2283	1 ⊢ (𝜑 → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {csn 3705   class class class wbr 4125  ^◡ccnv 4768  supcsup 7312  infcinf 7313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-cnv 4777  df-iota 5332  df-riota 6028  df-sup 7314  df-inf 7315

This theorem is referenced by: (None)