Theorem infsnti 7228

Description: The infimum of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
infsnti.ti	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
infsnti.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
infsnti	⊢ (𝜑 → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣

Proof of Theorem infsnti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 7183	. 2 ⊢ inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = sup({𝐵}, 𝐴, ◡𝑅)
2		infsnti.ti	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
3	2	cnvti 7217	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢◡𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣◡𝑅𝑢)))
4		infsnti.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐴)
5	3, 4	supsnti 7203	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({𝐵}, 𝐴, ◡𝑅) = 𝐵)
6	1, 5	eqtrid 2276	1 ⊢ (𝜑 → inf({𝐵}, 𝐴, 𝑅) = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {csn 3669   class class class wbr 4088  ^◡ccnv 4724  supcsup 7180  infcinf 7181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-cnv 4733  df-iota 5286  df-riota 5970  df-sup 7182  df-inf 7183

This theorem is referenced by: (None)