Theorem fun11iun 5463

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of one-to-one functions is a one-to-one function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fun11iun.1	|- ( x = y -> B = C )
fun11iun.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fun11iun	|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D -1-1-> S )

Distinct variable groups:   x, A   y, A   y, B   x, C   x, S

Allowed substitution hints:   B( x)   C( y)   D( x, y)   S( y)

Proof of Theorem fun11iun

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2733	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
2		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = u -> ( z = B <-> u = B ) )
3	2	rexbidv 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> ( E. x e. A z = B <-> E. x e. A u = B ) )
4	1, 3	elab 2874	. . . . . . . . 9 |- ( u e. { z | E. x e. A z = B } <-> E. x e. A u = B )
5		r19.29 2607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ E. x e. A u = B ) -> E. x e. A ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) )
6		nfv 1521	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( Fun u /\ Fun `' u )
7		nfre1 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x E. x e. A z = B
8	7	nfab 2317	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x { z | E. x e. A z = B }
9		nfv 1521	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( u C_ v \/ v C_ u )
10	8, 9	nfralxy 2508	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u )
11	6, 10	nfan 1558	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) )
12		f1eq1 5398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = B -> ( u : D -1-1-> S <-> B : D -1-1-> S ) )
13	12	biimparc 297	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ u = B ) -> u : D -1-1-> S )
14		df-f1 5203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u : D -1-1-> S <-> ( u : D --> S /\ Fun `' u ) )
15		ffun 5350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u : D --> S -> Fun u )
16	15	anim1i 338	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u : D --> S /\ Fun `' u ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
17	14, 16	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u : D -1-1-> S -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
18	13, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ u = B ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
19	18	adantlr 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
20		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- v e. _V
21		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = v -> ( z = B <-> v = B ) )
22	21	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = v -> ( E. x e. A z = B <-> E. x e. A v = B ) )
23	20, 22	elab 2874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. { z | E. x e. A z = B } <-> E. x e. A v = B )
24		fun11iun.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> B = C )
25	24	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( v = B <-> v = C ) )
26	25	cbvrexv 2697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. x e. A v = B <-> E. y e. A v = C )
27		r19.29 2607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ E. y e. A v = C ) -> E. y e. A ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) )
28		sseq12 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( u = B /\ v = C ) -> ( u C_ v <-> B C_ C ) )
29	28	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v = C /\ u = B ) -> ( u C_ v <-> B C_ C ) )
30		sseq12 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v = C /\ u = B ) -> ( v C_ u <-> C C_ B ) )
31	29, 30	orbi12d 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v = C /\ u = B ) -> ( ( u C_ v \/ v C_ u ) <-> ( B C_ C \/ C C_ B ) ) )
32	31	biimprcd 159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B C_ C \/ C C_ B ) -> ( ( v = C /\ u = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
33	32	expdimp 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) -> ( u = B -> ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
34	33	rexlimivw 2583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. y e. A ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) -> ( u = B -> ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
35	34	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( E. y e. A ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) /\ u = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
36	27, 35	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ E. y e. A v = C ) /\ u = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
37	36	an32s 563	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ u = B ) /\ E. y e. A v = C ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
38	37	adantlll 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) /\ E. y e. A v = C ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
39	26, 38	sylan2b 285	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) /\ E. x e. A v = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
40	23, 39	sylan2b 285	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) /\ v e. { z | E. x e. A z = B } ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
41	40	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) )
42	19, 41	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) ) )
44	11, 43	rexlimi 2580	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. A ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
45	5, 44	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ E. x e. A u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
46	4, 45	sylan2b 285	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u e. { z | E. x e. A z = B } ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
47	46	ralrimiva 2543	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> A. u e. { z | E. x e. A z = B } ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
48		fun11uni 5268	. . . . . . 7 |- ( A. u e. { z | E. x e. A z = B } ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) -> ( Fun U. { z | E. x e. A z = B } /\ Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } ) )
49	47, 48	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( Fun U. { z | E. x e. A z = B } /\ Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } ) )
50	49	simpld 111	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun U. { z | E. x e. A z = B } )
51		fun11iun.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
52	51	dfiun2 3907	. . . . . 6 |- U_ x e. A B = U. { z | E. x e. A z = B }
53	52	funeqi 5219	. . . . 5 |- ( Fun U_ x e. A B <-> Fun U. { z | E. x e. A z = B } )
54	50, 53	sylibr 133	. . . 4 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun U_ x e. A B )
55		nfra1 2501	. . . . . . 7 |- F/ x A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) )
56		rsp 2517	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( x e. A -> ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) ) )
57	1	eldm2 4809	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. dom B <-> E. v <. u , v >. e. B )
58		f1dm 5408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B : D -1-1-> S -> dom B = D )
59	58	eleq2d 2240	. . . . . . . . . . 11 |- ( B : D -1-1-> S -> ( u e. dom B <-> u e. D ) )
60	57, 59	bitr3id 193	. . . . . . . . . 10 |- ( B : D -1-1-> S -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
61	60	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
62	56, 61	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( x e. A -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) ) )
63	62	imp 123	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
64	55, 63	rexbida 2465	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( E. x e. A E. v <. u , v >. e. B <-> E. x e. A u e. D ) )
65		eliun 3877	. . . . . . . 8 |- ( <. u , v >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. u , v >. e. B )
66	65	exbii 1598	. . . . . . 7 |- ( E. v <. u , v >. e. U_ x e. A B <-> E. v E. x e. A <. u , v >. e. B )
67	1	eldm2 4809	. . . . . . 7 |- ( u e. dom U_ x e. A B <-> E. v <. u , v >. e. U_ x e. A B )
68		rexcom4 2753	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A E. v <. u , v >. e. B <-> E. v E. x e. A <. u , v >. e. B )
69	66, 67, 68	3bitr4i 211	. . . . . 6 |- ( u e. dom U_ x e. A B <-> E. x e. A E. v <. u , v >. e. B )
70		eliun 3877	. . . . . 6 |- ( u e. U_ x e. A D <-> E. x e. A u e. D )
71	64, 69, 70	3bitr4g 222	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( u e. dom U_ x e. A B <-> u e. U_ x e. A D ) )
72	71	eqrdv 2168	. . . 4 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> dom U_ x e. A B = U_ x e. A D )
73		df-fn 5201	. . . 4 |- ( U_ x e. A B Fn U_ x e. A D <-> ( Fun U_ x e. A B /\ dom U_ x e. A B = U_ x e. A D ) )
74	54, 72, 73	sylanbrc 415	. . 3 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B Fn U_ x e. A D )
75		rniun 5021	. . . 4 |- ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B
76		f1rn 5404	. . . . . . 7 |- ( B : D -1-1-> S -> ran B C_ S )
77	76	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ran B C_ S )
78	77	ralimi 2533	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> A. x e. A ran B C_ S )
79		iunss 3914	. . . . 5 |- ( U_ x e. A ran B C_ S <-> A. x e. A ran B C_ S )
80	78, 79	sylibr 133	. . . 4 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A ran B C_ S )
81	75, 80	eqsstrid 3193	. . 3 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ran U_ x e. A B C_ S )
82		df-f 5202	. . 3 |- ( U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S <-> ( U_ x e. A B Fn U_ x e. A D /\ ran U_ x e. A B C_ S ) )
83	74, 81, 82	sylanbrc 415	. 2 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S )
84	49	simprd 113	. . 3 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } )
85	52	cnveqi 4786	. . . 4 |- `' U_ x e. A B = `' U. { z | E. x e. A z = B }
86	85	funeqi 5219	. . 3 |- ( Fun `' U_ x e. A B <-> Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } )
87	84, 86	sylibr 133	. 2 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun `' U_ x e. A B )
88		df-f1 5203	. 2 |- ( U_ x e. A B : U_ x e. A D -1-1-> S <-> ( U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S /\ Fun `' U_ x e. A B ) )
89	83, 87, 88	sylanbrc 415	1 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D -1-1-> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   <.cop 3586   U.cuni 3796   U_ciun 3873   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   ran crn 4612   Fun wfun 5192   Fn wfn 5193   -->wf 5194   -1-1->wf1 5195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203

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