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Theorem fun11iun 5237
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of one-to-one functions is a one-to-one function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fun11iun.1  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
fun11iun.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fun11iun  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D -1-1-> S )
Distinct variable groups:    x, A    y, A    y, B    x, C    x, S
Allowed substitution hints:    B( x)    C( y)    D( x, y)    S( y)

Proof of Theorem fun11iun
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2618 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
2 eqeq1 2091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  u  ->  (
z  =  B  <->  u  =  B ) )
32rexbidv 2377 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  u  ->  ( E. x  e.  A  z  =  B  <->  E. x  e.  A  u  =  B ) )
41, 3elab 2751 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  <->  E. x  e.  A  u  =  B )
5 r19.29 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  E. x  e.  A  u  =  B )  ->  E. x  e.  A  ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B ) )
6 nfv 1464 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( Fun  u  /\  Fun  `' u )
7 nfre1 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x E. x  e.  A  z  =  B
87nfab 2229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }
9 nfv 1464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( u  C_  v  \/  v  C_  u )
108, 9nfralxy 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u  C_  v  \/  v  C_  u )
116, 10nfan 1500 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e. 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) )
12 f1eq1 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  B  ->  (
u : D -1-1-> S  <->  B : D -1-1-> S ) )
1312biimparc 293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B : D -1-1-> S  /\  u  =  B
)  ->  u : D -1-1-> S )
14 df-f1 4986 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u : D -1-1-> S  <->  ( u : D --> S  /\  Fun  `' u ) )
15 ffun 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u : D --> S  ->  Fun  u )
1615anim1i 333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u : D --> S  /\  Fun  `' u )  ->  ( Fun  u  /\  Fun  `' u ) )
1714, 16sylbi 119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u : D -1-1-> S  -> 
( Fun  u  /\  Fun  `' u ) )
1813, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B : D -1-1-> S  /\  u  =  B
)  ->  ( Fun  u  /\  Fun  `' u
) )
1918adantlr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
) )  /\  u  =  B )  ->  ( Fun  u  /\  Fun  `' u ) )
20 vex 2618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  v  e. 
_V
21 eqeq1 2091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  v  ->  (
z  =  B  <->  v  =  B ) )
2221rexbidv 2377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  v  ->  ( E. x  e.  A  z  =  B  <->  E. x  e.  A  v  =  B ) )
2320, 22elab 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  <->  E. x  e.  A  v  =  B )
24 fun11iun.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
2524eqeq2d 2096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
v  =  B  <->  v  =  C ) )
2625cbvrexv 2587 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. x  e.  A  v  =  B  <->  E. y  e.  A  v  =  C )
27 r19.29 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B )  /\  E. y  e.  A  v  =  C )  ->  E. y  e.  A  ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B
)  /\  v  =  C ) )
28 sseq12 3038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( u  =  B  /\  v  =  C )  ->  ( u  C_  v  <->  B 
C_  C ) )
2928ancoms 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( v  =  C  /\  u  =  B )  ->  ( u  C_  v  <->  B 
C_  C ) )
30 sseq12 3038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( v  =  C  /\  u  =  B )  ->  ( v  C_  u  <->  C 
C_  B ) )
3129, 30orbi12d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( v  =  C  /\  u  =  B )  ->  ( ( u  C_  v  \/  v  C_  u )  <->  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) ) )
3231biimprcd 158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B )  -> 
( ( v  =  C  /\  u  =  B )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
3332expdimp 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B )  /\  v  =  C )  ->  ( u  =  B  ->  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
3433rexlimivw 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. y  e.  A  ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B )  /\  v  =  C )  ->  ( u  =  B  ->  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
3534imp 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E. y  e.  A  ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B
)  /\  v  =  C )  /\  u  =  B )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
3627, 35sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
)  /\  E. y  e.  A  v  =  C )  /\  u  =  B )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
3736an32s 533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
)  /\  u  =  B )  /\  E. y  e.  A  v  =  C )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
3837adantlll 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B )  /\  E. y  e.  A  v  =  C )  ->  ( u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
3926, 38sylan2b 281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B )  /\  E. x  e.  A  v  =  B )  ->  ( u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
4023, 39sylan2b 281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B )  /\  v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
4140ralrimiva 2442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
) )  /\  u  =  B )  ->  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) )
4219, 41jca 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
) )  /\  u  =  B )  ->  (
( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
4342a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B )  ->  ( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e. 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) ) ) )
4411, 43rexlimi 2478 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
) )  /\  u  =  B )  ->  (
( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
455, 44syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  E. x  e.  A  u  =  B )  ->  ( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
464, 45sylan2b 281 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  e.  {
z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )  ->  (
( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
4746ralrimiva 2442 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  A. u  e.  {
z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
48 fun11uni 5049 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e. 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) )  -> 
( Fun  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  /\  Fun  `' U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ) )
4947, 48syl 14 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( Fun  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  /\  Fun  `'
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }
) )
5049simpld 110 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  Fun  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
51 fun11iun.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
5251dfiun2 3747 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  B  =  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }
5352funeqi 5001 . . . . 5  |-  ( Fun  U_ x  e.  A  B 
<->  Fun  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
5450, 53sylibr 132 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  Fun  U_ x  e.  A  B )
55 nfra1 2405 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )
56 rsp 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) ) ) )
571eldm2 4602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  dom  B  <->  E. v <. u ,  v >.  e.  B )
58 f1dm 5184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B : D -1-1-> S  ->  dom  B  =  D )
5958eleq2d 2154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B : D -1-1-> S  -> 
( u  e.  dom  B  <-> 
u  e.  D ) )
6057, 59syl5bbr 192 . . . . . . . . . 10  |-  ( B : D -1-1-> S  -> 
( E. v <.
u ,  v >.  e.  B  <->  u  e.  D
) )
6160adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( E. v <. u ,  v >.  e.  B  <->  u  e.  D
) )
6256, 61syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( E. v <. u ,  v
>.  e.  B  <->  u  e.  D ) ) )
6362imp 122 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( E. v <. u ,  v
>.  e.  B  <->  u  e.  D ) )
6455, 63rexbida 2371 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( E. x  e.  A  E. v <. u ,  v >.  e.  B  <->  E. x  e.  A  u  e.  D )
)
65 eliun 3717 . . . . . . . 8  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  U_ x  e.  A  B 
<->  E. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  B )
6665exbii 1539 . . . . . . 7  |-  ( E. v <. u ,  v
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. v E. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  B )
671eldm2 4602 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  dom  U_ x  e.  A  B  <->  E. v <. u ,  v >.  e.  U_ x  e.  A  B )
68 rexcom4 2636 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. v <. u ,  v
>.  e.  B  <->  E. v E. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  B )
6966, 67, 683bitr4i 210 . . . . . 6  |-  ( u  e.  dom  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  E. v <. u ,  v >.  e.  B )
70 eliun 3717 . . . . . 6  |-  ( u  e.  U_ x  e.  A  D  <->  E. x  e.  A  u  e.  D )
7164, 69, 703bitr4g 221 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( u  e. 
dom  U_ x  e.  A  B 
<->  u  e.  U_ x  e.  A  D )
)
7271eqrdv 2083 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  dom  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  D
)
73 df-fn 4984 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  B  Fn  U_ x  e.  A  D 
<->  ( Fun  U_ x  e.  A  B  /\  dom  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  D ) )
7454, 72, 73sylanbrc 408 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B  Fn  U_ x  e.  A  D )
75 rniun 4808 . . . 4  |-  ran  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  ran  B
76 f1rn 5180 . . . . . . 7  |-  ( B : D -1-1-> S  ->  ran  B  C_  S )
7776adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ran  B  C_  S
)
7877ralimi 2434 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  A. x  e.  A  ran  B  C_  S )
79 iunss 3754 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  ran  B 
C_  S  <->  A. x  e.  A  ran  B  C_  S )
8078, 79sylibr 132 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  ran  B  C_  S )
8175, 80syl5eqss 3059 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ran  U_ x  e.  A  B  C_  S
)
82 df-f 4985 . . 3  |-  ( U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D
--> S  <->  ( U_ x  e.  A  B  Fn  U_ x  e.  A  D  /\  ran  U_ x  e.  A  B  C_  S ) )
8374, 81, 82sylanbrc 408 . 2  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D --> S )
8449simprd 112 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  Fun  `' U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
8552cnveqi 4579 . . . 4  |-  `' U_ x  e.  A  B  =  `' U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }
8685funeqi 5001 . . 3  |-  ( Fun  `' U_ x  e.  A  B 
<->  Fun  `' U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
8784, 86sylibr 132 . 2  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  Fun  `' U_ x  e.  A  B )
88 df-f1 4986 . 2  |-  ( U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D -1-1-> S  <->  ( U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D
--> S  /\  Fun  `' U_ x  e.  A  B
) )
8983, 87, 88sylanbrc 408 1  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D -1-1-> S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1287   E.wex 1424    e. wcel 1436   {cab 2071   A.wral 2355   E.wrex 2356   _Vcvv 2615    C_ wss 2988   <.cop 3434   U.cuni 3636   U_ciun 3713   `'ccnv 4410   dom cdm 4411   ran crn 4412   Fun wfun 4975    Fn wfn 4976   -->wf 4977   -1-1->wf1 4978
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986
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