Theorem fun11iun 5525

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of one-to-one functions is a one-to-one function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fun11iun.1	|- ( x = y -> B = C )
fun11iun.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fun11iun	|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D -1-1-> S )

Distinct variable groups:   x, A   y, A   y, B   x, C   x, S

Allowed substitution hints:   B( x)   C( y)   D( x, y)   S( y)

Proof of Theorem fun11iun

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
2		eqeq1 2203	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = u -> ( z = B <-> u = B ) )
3	2	rexbidv 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> ( E. x e. A z = B <-> E. x e. A u = B ) )
4	1, 3	elab 2908	. . . . . . . . 9 |- ( u e. { z | E. x e. A z = B } <-> E. x e. A u = B )
5		r19.29 2634	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ E. x e. A u = B ) -> E. x e. A ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) )
6		nfv 1542	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( Fun u /\ Fun `' u )
7		nfre1 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x E. x e. A z = B
8	7	nfab 2344	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x { z | E. x e. A z = B }
9		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( u C_ v \/ v C_ u )
10	8, 9	nfralxy 2535	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u )
11	6, 10	nfan 1579	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) )
12		f1eq1 5458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = B -> ( u : D -1-1-> S <-> B : D -1-1-> S ) )
13	12	biimparc 299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ u = B ) -> u : D -1-1-> S )
14		df-f1 5263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u : D -1-1-> S <-> ( u : D --> S /\ Fun `' u ) )
15		ffun 5410	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u : D --> S -> Fun u )
16	15	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u : D --> S /\ Fun `' u ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
17	14, 16	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u : D -1-1-> S -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
18	13, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ u = B ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
19	18	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
20		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- v e. _V
21		eqeq1 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = v -> ( z = B <-> v = B ) )
22	21	rexbidv 2498	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = v -> ( E. x e. A z = B <-> E. x e. A v = B ) )
23	20, 22	elab 2908	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. { z | E. x e. A z = B } <-> E. x e. A v = B )
24		fun11iun.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> B = C )
25	24	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( v = B <-> v = C ) )
26	25	cbvrexv 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. x e. A v = B <-> E. y e. A v = C )
27		r19.29 2634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ E. y e. A v = C ) -> E. y e. A ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) )
28		sseq12 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( u = B /\ v = C ) -> ( u C_ v <-> B C_ C ) )
29	28	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v = C /\ u = B ) -> ( u C_ v <-> B C_ C ) )
30		sseq12 3208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v = C /\ u = B ) -> ( v C_ u <-> C C_ B ) )
31	29, 30	orbi12d 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v = C /\ u = B ) -> ( ( u C_ v \/ v C_ u ) <-> ( B C_ C \/ C C_ B ) ) )
32	31	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B C_ C \/ C C_ B ) -> ( ( v = C /\ u = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
33	32	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) -> ( u = B -> ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
34	33	rexlimivw 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. y e. A ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) -> ( u = B -> ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
35	34	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( E. y e. A ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) /\ u = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
36	27, 35	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ E. y e. A v = C ) /\ u = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
37	36	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ u = B ) /\ E. y e. A v = C ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
38	37	adantlll 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) /\ E. y e. A v = C ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
39	26, 38	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) /\ E. x e. A v = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
40	23, 39	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) /\ v e. { z | E. x e. A z = B } ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
41	40	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) )
42	19, 41	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) ) )
44	11, 43	rexlimi 2607	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. A ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
45	5, 44	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ E. x e. A u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
46	4, 45	sylan2b 287	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u e. { z | E. x e. A z = B } ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
47	46	ralrimiva 2570	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> A. u e. { z | E. x e. A z = B } ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
48		fun11uni 5328	. . . . . . 7 |- ( A. u e. { z | E. x e. A z = B } ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) -> ( Fun U. { z | E. x e. A z = B } /\ Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } ) )
49	47, 48	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( Fun U. { z | E. x e. A z = B } /\ Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } ) )
50	49	simpld 112	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun U. { z | E. x e. A z = B } )
51		fun11iun.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
52	51	dfiun2 3950	. . . . . 6 |- U_ x e. A B = U. { z | E. x e. A z = B }
53	52	funeqi 5279	. . . . 5 |- ( Fun U_ x e. A B <-> Fun U. { z | E. x e. A z = B } )
54	50, 53	sylibr 134	. . . 4 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun U_ x e. A B )
55		nfra1 2528	. . . . . . 7 |- F/ x A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) )
56		rsp 2544	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( x e. A -> ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) ) )
57	1	eldm2 4864	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. dom B <-> E. v <. u , v >. e. B )
58		f1dm 5468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B : D -1-1-> S -> dom B = D )
59	58	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . 11 |- ( B : D -1-1-> S -> ( u e. dom B <-> u e. D ) )
60	57, 59	bitr3id 194	. . . . . . . . . 10 |- ( B : D -1-1-> S -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
62	56, 61	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( x e. A -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) ) )
63	62	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
64	55, 63	rexbida 2492	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( E. x e. A E. v <. u , v >. e. B <-> E. x e. A u e. D ) )
65		eliun 3920	. . . . . . . 8 |- ( <. u , v >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. u , v >. e. B )
66	65	exbii 1619	. . . . . . 7 |- ( E. v <. u , v >. e. U_ x e. A B <-> E. v E. x e. A <. u , v >. e. B )
67	1	eldm2 4864	. . . . . . 7 |- ( u e. dom U_ x e. A B <-> E. v <. u , v >. e. U_ x e. A B )
68		rexcom4 2786	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A E. v <. u , v >. e. B <-> E. v E. x e. A <. u , v >. e. B )
69	66, 67, 68	3bitr4i 212	. . . . . 6 |- ( u e. dom U_ x e. A B <-> E. x e. A E. v <. u , v >. e. B )
70		eliun 3920	. . . . . 6 |- ( u e. U_ x e. A D <-> E. x e. A u e. D )
71	64, 69, 70	3bitr4g 223	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( u e. dom U_ x e. A B <-> u e. U_ x e. A D ) )
72	71	eqrdv 2194	. . . 4 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> dom U_ x e. A B = U_ x e. A D )
73		df-fn 5261	. . . 4 |- ( U_ x e. A B Fn U_ x e. A D <-> ( Fun U_ x e. A B /\ dom U_ x e. A B = U_ x e. A D ) )
74	54, 72, 73	sylanbrc 417	. . 3 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B Fn U_ x e. A D )
75		rniun 5080	. . . 4 |- ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B
76		f1rn 5464	. . . . . . 7 |- ( B : D -1-1-> S -> ran B C_ S )
77	76	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ran B C_ S )
78	77	ralimi 2560	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> A. x e. A ran B C_ S )
79		iunss 3957	. . . . 5 |- ( U_ x e. A ran B C_ S <-> A. x e. A ran B C_ S )
80	78, 79	sylibr 134	. . . 4 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A ran B C_ S )
81	75, 80	eqsstrid 3229	. . 3 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ran U_ x e. A B C_ S )
82		df-f 5262	. . 3 |- ( U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S <-> ( U_ x e. A B Fn U_ x e. A D /\ ran U_ x e. A B C_ S ) )
83	74, 81, 82	sylanbrc 417	. 2 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S )
84	49	simprd 114	. . 3 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } )
85	52	cnveqi 4841	. . . 4 |- `' U_ x e. A B = `' U. { z | E. x e. A z = B }
86	85	funeqi 5279	. . 3 |- ( Fun `' U_ x e. A B <-> Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } )
87	84, 86	sylibr 134	. 2 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun `' U_ x e. A B )
88		df-f1 5263	. 2 |- ( U_ x e. A B : U_ x e. A D -1-1-> S <-> ( U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S /\ Fun `' U_ x e. A B ) )
89	83, 87, 88	sylanbrc 417	1 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D -1-1-> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   E.wrex 2476   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   <.cop 3625   U.cuni 3839   U_ciun 3916   `'ccnv 4662   dom cdm 4663   ran crn 4664   Fun wfun 5252   Fn wfn 5253   -->wf 5254   -1-1->wf1 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263

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