Theorem fun11iun 5660

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of one-to-one functions is a one-to-one function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fun11iun.1	|- ( x = y -> B = C )
fun11iun.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fun11iun	|- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D -1-1-> S )

Distinct variable groups:   x, A   y, A   y, B   x, C   x, S

Allowed substitution hints:   B( x)   C( y)   D( x, y)   S( y)

Proof of Theorem fun11iun

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
2		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = u -> ( z = B <-> u = B ) )
3	2	rexbidv 2551	. . . . . . . . . 10 |- ( z = u -> ( E. x e. A z = B <-> E. x e. A u = B ) )
4	1, 3	elab 2970	. . . . . . . . 9 |- ( u e. { z | E. x e. A z = B } <-> E. x e. A u = B )
5		r19.29 2688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ E. x e. A u = B ) -> E. x e. A ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) )
6		nfv 1581	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( Fun u /\ Fun `' u )
7		nfre1 2593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x E. x e. A z = B
8	7	nfab 2397	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x { z | E. x e. A z = B }
9		nfv 1581	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( u C_ v \/ v C_ u )
10	8, 9	nfralxy 2588	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u )
11	6, 10	nfan 1618	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) )
12		f1eq1 5593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = B -> ( u : D -1-1-> S <-> B : D -1-1-> S ) )
13	12	biimparc 299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ u = B ) -> u : D -1-1-> S )
14		df-f1 5382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u : D -1-1-> S <-> ( u : D --> S /\ Fun `' u ) )
15		ffun 5536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u : D --> S -> Fun u )
16	15	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u : D --> S /\ Fun `' u ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
17	14, 16	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u : D -1-1-> S -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
18	13, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ u = B ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
19	18	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( Fun u /\ Fun `' u ) )
20		vex 2824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- v e. _V
21		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = v -> ( z = B <-> v = B ) )
22	21	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = v -> ( E. x e. A z = B <-> E. x e. A v = B ) )
23	20, 22	elab 2970	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. { z | E. x e. A z = B } <-> E. x e. A v = B )
24		fun11iun.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> B = C )
25	24	eqeq2d 2250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( v = B <-> v = C ) )
26	25	cbvrexv 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. x e. A v = B <-> E. y e. A v = C )
27		r19.29 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ E. y e. A v = C ) -> E. y e. A ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) )
28		sseq12 3273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( u = B /\ v = C ) -> ( u C_ v <-> B C_ C ) )
29	28	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v = C /\ u = B ) -> ( u C_ v <-> B C_ C ) )
30		sseq12 3273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( v = C /\ u = B ) -> ( v C_ u <-> C C_ B ) )
31	29, 30	orbi12d 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( v = C /\ u = B ) -> ( ( u C_ v \/ v C_ u ) <-> ( B C_ C \/ C C_ B ) ) )
32	31	biimprcd 160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B C_ C \/ C C_ B ) -> ( ( v = C /\ u = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
33	32	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) -> ( u = B -> ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
34	33	rexlimivw 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( E. y e. A ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) -> ( u = B -> ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
35	34	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( E. y e. A ( ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ v = C ) /\ u = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
36	27, 35	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ E. y e. A v = C ) /\ u = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
37	36	an32s 574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) /\ u = B ) /\ E. y e. A v = C ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
38	37	adantlll 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) /\ E. y e. A v = C ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
39	26, 38	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) /\ E. x e. A v = B ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
40	23, 39	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) /\ v e. { z | E. x e. A z = B } ) -> ( u C_ v \/ v C_ u ) )
41	40	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) )
42	19, 41	jca 306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
43	42	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) ) )
44	11, 43	rexlimi 2661	. . . . . . . . . 10 |- ( E. x e. A ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
45	5, 44	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ E. x e. A u = B ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
46	4, 45	sylan2b 287	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ u e. { z | E. x e. A z = B } ) -> ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
47	46	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> A. u e. { z | E. x e. A z = B } ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) )
48		fun11uni 5451	. . . . . . 7 |- ( A. u e. { z | E. x e. A z = B } ( ( Fun u /\ Fun `' u ) /\ A. v e. { z | E. x e. A z = B } ( u C_ v \/ v C_ u ) ) -> ( Fun U. { z | E. x e. A z = B } /\ Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } ) )
49	47, 48	syl 14	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( Fun U. { z | E. x e. A z = B } /\ Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } ) )
50	49	simpld 112	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun U. { z | E. x e. A z = B } )
51		fun11iun.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
52	51	dfiun2 4046	. . . . . 6 |- U_ x e. A B = U. { z | E. x e. A z = B }
53	52	funeqi 5398	. . . . 5 |- ( Fun U_ x e. A B <-> Fun U. { z | E. x e. A z = B } )
54	50, 53	sylibr 134	. . . 4 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun U_ x e. A B )
55		nfra1 2581	. . . . . . 7 |- F/ x A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) )
56		rsp 2597	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( x e. A -> ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) ) )
57	1	eldm2 4979	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. dom B <-> E. v <. u , v >. e. B )
58		f1dm 5603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B : D -1-1-> S -> dom B = D )
59	58	eleq2d 2308	. . . . . . . . . . 11 |- ( B : D -1-1-> S -> ( u e. dom B <-> u e. D ) )
60	57, 59	bitr3id 194	. . . . . . . . . 10 |- ( B : D -1-1-> S -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
61	60	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
62	56, 61	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( x e. A -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) ) )
63	62	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( E. v <. u , v >. e. B <-> u e. D ) )
64	55, 63	rexbida 2545	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( E. x e. A E. v <. u , v >. e. B <-> E. x e. A u e. D ) )
65		eliun 4016	. . . . . . . 8 |- ( <. u , v >. e. U_ x e. A B <-> E. x e. A <. u , v >. e. B )
66	65	exbii 1658	. . . . . . 7 |- ( E. v <. u , v >. e. U_ x e. A B <-> E. v E. x e. A <. u , v >. e. B )
67	1	eldm2 4979	. . . . . . 7 |- ( u e. dom U_ x e. A B <-> E. v <. u , v >. e. U_ x e. A B )
68		rexcom4 2845	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A E. v <. u , v >. e. B <-> E. v E. x e. A <. u , v >. e. B )
69	66, 67, 68	3bitr4i 212	. . . . . 6 |- ( u e. dom U_ x e. A B <-> E. x e. A E. v <. u , v >. e. B )
70		eliun 4016	. . . . . 6 |- ( u e. U_ x e. A D <-> E. x e. A u e. D )
71	64, 69, 70	3bitr4g 223	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ( u e. dom U_ x e. A B <-> u e. U_ x e. A D ) )
72	71	eqrdv 2236	. . . 4 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> dom U_ x e. A B = U_ x e. A D )
73		df-fn 5380	. . . 4 |- ( U_ x e. A B Fn U_ x e. A D <-> ( Fun U_ x e. A B /\ dom U_ x e. A B = U_ x e. A D ) )
74	54, 72, 73	sylanbrc 421	. . 3 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B Fn U_ x e. A D )
75		rniun 5198	. . . 4 |- ran U_ x e. A B = U_ x e. A ran B
76		f1rn 5599	. . . . . . 7 |- ( B : D -1-1-> S -> ran B C_ S )
77	76	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ran B C_ S )
78	77	ralimi 2613	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> A. x e. A ran B C_ S )
79		iunss 4053	. . . . 5 |- ( U_ x e. A ran B C_ S <-> A. x e. A ran B C_ S )
80	78, 79	sylibr 134	. . . 4 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A ran B C_ S )
81	75, 80	eqsstrid 3294	. . 3 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> ran U_ x e. A B C_ S )
82		df-f 5381	. . 3 |- ( U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S <-> ( U_ x e. A B Fn U_ x e. A D /\ ran U_ x e. A B C_ S ) )
83	74, 81, 82	sylanbrc 421	. 2 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S )
84	49	simprd 114	. . 3 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } )
85	52	cnveqi 4955	. . . 4 |- `' U_ x e. A B = `' U. { z | E. x e. A z = B }
86	85	funeqi 5398	. . 3 |- ( Fun `' U_ x e. A B <-> Fun `' U. { z | E. x e. A z = B } )
87	84, 86	sylibr 134	. 2 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> Fun `' U_ x e. A B )
88		df-f1 5382	. 2 |- ( U_ x e. A B : U_ x e. A D -1-1-> S <-> ( U_ x e. A B : U_ x e. A D --> S /\ Fun `' U_ x e. A B ) )
89	83, 87, 88	sylanbrc 421	1 |- ( A. x e. A ( B : D -1-1-> S /\ A. y e. A ( B C_ C \/ C C_ B ) ) -> U_ x e. A B : U_ x e. A D -1-1-> S )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   <.cop 3712   U.cuni 3935   U_ciun 4012   `'ccnv 4773   dom cdm 4774   ran crn 4775   Fun wfun 5371   Fn wfn 5372   -->wf 5373   -1-1->wf1 5374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382

This theorem is used by: (None)