Theorem iunxpf 4746

Description: Indexed union on a cross product is equals a double indexed union. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunxpf.1	|- F/_ y C
iunxpf.2	|- F/_ z C
iunxpf.3	|- F/_ x D
iunxpf.4	|- ( x = <. y , z >. -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
iunxpf	|- U_ x e. ( A X. B ) C = U_ y e. A U_ z e. B D

Distinct variable groups:   x, y, A   x, z, B, y

Allowed substitution hints:   A( z)   C( x, y, z)   D( x, y, z)

Proof of Theorem iunxpf

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxpf.1	. . . . 5 |- F/_ y C
2	1	nfcri 2300	. . . 4 |- F/ y w e. C
3		iunxpf.2	. . . . 5 |- F/_ z C
4	3	nfcri 2300	. . . 4 |- F/ z w e. C
5		iunxpf.3	. . . . 5 |- F/_ x D
6	5	nfcri 2300	. . . 4 |- F/ x w e. D
7		iunxpf.4	. . . . 5 |- ( x = <. y , z >. -> C = D )
8	7	eleq2d 2234	. . . 4 |- ( x = <. y , z >. -> ( w e. C <-> w e. D ) )
9	2, 4, 6, 8	rexxpf 4745	. . 3 |- ( E. x e. ( A X. B ) w e. C <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
10		eliun 3864	. . 3 |- ( w e. U_ x e. ( A X. B ) C <-> E. x e. ( A X. B ) w e. C )
11		eliun 3864	. . . 4 |- ( w e. U_ y e. A U_ z e. B D <-> E. y e. A w e. U_ z e. B D )
12		eliun 3864	. . . . 5 |- ( w e. U_ z e. B D <-> E. z e. B w e. D )
13	12	rexbii 2471	. . . 4 |- ( E. y e. A w e. U_ z e. B D <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
14	11, 13	bitri 183	. . 3 |- ( w e. U_ y e. A U_ z e. B D <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
15	9, 10, 14	3bitr4i 211	. 2 |- ( w e. U_ x e. ( A X. B ) C <-> w e. U_ y e. A U_ z e. B D )
16	15	eqriv 2161	1 |- U_ x e. ( A X. B ) C = U_ y e. A U_ z e. B D

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1342   e. wcel 2135   F/_wnfc 2293   E.wrex 2443   <.cop 3573   U_ciun 3860   X. cxp 4596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-iun 3862  df-opab 4038  df-xp 4604  df-rel 4605

This theorem is referenced by:  dfmpo  6182