Theorem iunxpf 4839

Description: Indexed union on a cross product is equals a double indexed union. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunxpf.1	|- F/_ y C
iunxpf.2	|- F/_ z C
iunxpf.3	|- F/_ x D
iunxpf.4	|- ( x = <. y , z >. -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
iunxpf	|- U_ x e. ( A X. B ) C = U_ y e. A U_ z e. B D

Distinct variable groups:   x, y, A   x, z, B, y

Allowed substitution hints:   A( z)   C( x, y, z)   D( x, y, z)

Proof of Theorem iunxpf

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxpf.1	. . . . 5 |- F/_ y C
2	1	nfcri 2343	. . . 4 |- F/ y w e. C
3		iunxpf.2	. . . . 5 |- F/_ z C
4	3	nfcri 2343	. . . 4 |- F/ z w e. C
5		iunxpf.3	. . . . 5 |- F/_ x D
6	5	nfcri 2343	. . . 4 |- F/ x w e. D
7		iunxpf.4	. . . . 5 |- ( x = <. y , z >. -> C = D )
8	7	eleq2d 2276	. . . 4 |- ( x = <. y , z >. -> ( w e. C <-> w e. D ) )
9	2, 4, 6, 8	rexxpf 4838	. . 3 |- ( E. x e. ( A X. B ) w e. C <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
10		eliun 3940	. . 3 |- ( w e. U_ x e. ( A X. B ) C <-> E. x e. ( A X. B ) w e. C )
11		eliun 3940	. . . 4 |- ( w e. U_ y e. A U_ z e. B D <-> E. y e. A w e. U_ z e. B D )
12		eliun 3940	. . . . 5 |- ( w e. U_ z e. B D <-> E. z e. B w e. D )
13	12	rexbii 2514	. . . 4 |- ( E. y e. A w e. U_ z e. B D <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
14	11, 13	bitri 184	. . 3 |- ( w e. U_ y e. A U_ z e. B D <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
15	9, 10, 14	3bitr4i 212	. 2 |- ( w e. U_ x e. ( A X. B ) C <-> w e. U_ y e. A U_ z e. B D )
16	15	eqriv 2203	1 |- U_ x e. ( A X. B ) C = U_ y e. A U_ z e. B D

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   F/_wnfc 2336   E.wrex 2486   <.cop 3641   U_ciun 3936   X. cxp 4686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-iun 3938  df-opab 4117  df-xp 4694  df-rel 4695

This theorem is referenced by:  dfmpo  6327