Theorem iunxpf 4776

Description: Indexed union on a cross product is equals a double indexed union. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunxpf.1	|- F/_ y C
iunxpf.2	|- F/_ z C
iunxpf.3	|- F/_ x D
iunxpf.4	|- ( x = <. y , z >. -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
iunxpf	|- U_ x e. ( A X. B ) C = U_ y e. A U_ z e. B D

Distinct variable groups:   x, y, A   x, z, B, y

Allowed substitution hints:   A( z)   C( x, y, z)   D( x, y, z)

Proof of Theorem iunxpf

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxpf.1	. . . . 5 |- F/_ y C
2	1	nfcri 2313	. . . 4 |- F/ y w e. C
3		iunxpf.2	. . . . 5 |- F/_ z C
4	3	nfcri 2313	. . . 4 |- F/ z w e. C
5		iunxpf.3	. . . . 5 |- F/_ x D
6	5	nfcri 2313	. . . 4 |- F/ x w e. D
7		iunxpf.4	. . . . 5 |- ( x = <. y , z >. -> C = D )
8	7	eleq2d 2247	. . . 4 |- ( x = <. y , z >. -> ( w e. C <-> w e. D ) )
9	2, 4, 6, 8	rexxpf 4775	. . 3 |- ( E. x e. ( A X. B ) w e. C <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
10		eliun 3891	. . 3 |- ( w e. U_ x e. ( A X. B ) C <-> E. x e. ( A X. B ) w e. C )
11		eliun 3891	. . . 4 |- ( w e. U_ y e. A U_ z e. B D <-> E. y e. A w e. U_ z e. B D )
12		eliun 3891	. . . . 5 |- ( w e. U_ z e. B D <-> E. z e. B w e. D )
13	12	rexbii 2484	. . . 4 |- ( E. y e. A w e. U_ z e. B D <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
14	11, 13	bitri 184	. . 3 |- ( w e. U_ y e. A U_ z e. B D <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
15	9, 10, 14	3bitr4i 212	. 2 |- ( w e. U_ x e. ( A X. B ) C <-> w e. U_ y e. A U_ z e. B D )
16	15	eqriv 2174	1 |- U_ x e. ( A X. B ) C = U_ y e. A U_ z e. B D

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   F/_wnfc 2306   E.wrex 2456   <.cop 3596   U_ciun 3887   X. cxp 4625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-iun 3889  df-opab 4066  df-xp 4633  df-rel 4634

This theorem is referenced by:  dfmpo  6224