Theorem iunxpf 4814

Description: Indexed union on a cross product is equals a double indexed union. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Dec-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunxpf.1	|- F/_ y C
iunxpf.2	|- F/_ z C
iunxpf.3	|- F/_ x D
iunxpf.4	|- ( x = <. y , z >. -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
iunxpf	|- U_ x e. ( A X. B ) C = U_ y e. A U_ z e. B D

Distinct variable groups:   x, y, A   x, z, B, y

Allowed substitution hints:   A( z)   C( x, y, z)   D( x, y, z)

Proof of Theorem iunxpf

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxpf.1	. . . . 5 |- F/_ y C
2	1	nfcri 2333	. . . 4 |- F/ y w e. C
3		iunxpf.2	. . . . 5 |- F/_ z C
4	3	nfcri 2333	. . . 4 |- F/ z w e. C
5		iunxpf.3	. . . . 5 |- F/_ x D
6	5	nfcri 2333	. . . 4 |- F/ x w e. D
7		iunxpf.4	. . . . 5 |- ( x = <. y , z >. -> C = D )
8	7	eleq2d 2266	. . . 4 |- ( x = <. y , z >. -> ( w e. C <-> w e. D ) )
9	2, 4, 6, 8	rexxpf 4813	. . 3 |- ( E. x e. ( A X. B ) w e. C <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
10		eliun 3920	. . 3 |- ( w e. U_ x e. ( A X. B ) C <-> E. x e. ( A X. B ) w e. C )
11		eliun 3920	. . . 4 |- ( w e. U_ y e. A U_ z e. B D <-> E. y e. A w e. U_ z e. B D )
12		eliun 3920	. . . . 5 |- ( w e. U_ z e. B D <-> E. z e. B w e. D )
13	12	rexbii 2504	. . . 4 |- ( E. y e. A w e. U_ z e. B D <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
14	11, 13	bitri 184	. . 3 |- ( w e. U_ y e. A U_ z e. B D <-> E. y e. A E. z e. B w e. D )
15	9, 10, 14	3bitr4i 212	. 2 |- ( w e. U_ x e. ( A X. B ) C <-> w e. U_ y e. A U_ z e. B D )
16	15	eqriv 2193	1 |- U_ x e. ( A X. B ) C = U_ y e. A U_ z e. B D

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   F/_wnfc 2326   E.wrex 2476   <.cop 3625   U_ciun 3916   X. cxp 4661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-iun 3918  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670

This theorem is referenced by:  dfmpo  6281