Theorem ndmfvg 5335

Description: The value of a class outside its domain is the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ndmfvg	|- ( ( A e. _V /\ -. A e. dom F ) -> ( F ` A ) = (/) )

Proof of Theorem ndmfvg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 1978	. . . . 5 |- ( E! x A F x -> E. x A F x )
2		eldmg 4631	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. dom F <-> E. x A F x ) )
3	1, 2	syl5ibr 154	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( E! x A F x -> A e. dom F ) )
4	3	con3d 596	. . 3 |- ( A e. _V -> ( -. A e. dom F -> -. E! x A F x ) )
5		tz6.12-2 5296	. . 3 |- ( -. E! x A F x -> ( F ` A ) = (/) )
6	4, 5	syl6 33	. 2 |- ( A e. _V -> ( -. A e. dom F -> ( F ` A ) = (/) ) )
7	6	imp 122	1 |- ( ( A e. _V /\ -. A e. dom F ) -> ( F ` A ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   E!weu 1948   _Vcvv 2619   (/)c0 3286   class class class wbr 3845   dom cdm 4438   ` cfv 5015

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fv 5023

This theorem is referenced by:  ovprc  5684  sumnul  10814