Theorem tz6.12c 5516

Description: Corollary of Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
tz6.12c	|- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y <-> A F y ) )

Distinct variable groups:   y, F   y, A

Proof of Theorem tz6.12c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2044	. . . 4 |- ( E! y A F y -> E. y A F y )
2		nfeu1 2025	. . . . . 6 |- F/ y E! y A F y
3		nfv 1516	. . . . . 6 |- F/ y A F ( F ` A )
4	2, 3	nfim 1560	. . . . 5 |- F/ y ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) )
5		tz6.12-1 5513	. . . . . . . 8 |- ( ( A F y /\ E! y A F y ) -> ( F ` A ) = y )
6	5	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( E! y A F y -> ( A F y -> ( F ` A ) = y ) )
7		breq2 3986	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` A ) = y -> ( A F ( F ` A ) <-> A F y ) )
8	7	biimprd 157	. . . . . . 7 |- ( ( F ` A ) = y -> ( A F y -> A F ( F ` A ) ) )
9	6, 8	syli 37	. . . . . 6 |- ( E! y A F y -> ( A F y -> A F ( F ` A ) ) )
10	9	com12 30	. . . . 5 |- ( A F y -> ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) ) )
11	4, 10	exlimi 1582	. . . 4 |- ( E. y A F y -> ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) ) )
12	1, 11	mpcom 36	. . 3 |- ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) )
13	12, 7	syl5ibcom 154	. 2 |- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y -> A F y ) )
14	13, 6	impbid 128	1 |- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y <-> A F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1343   E.wex 1480   E!weu 2014   class class class wbr 3982   ` cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-iota 5153  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5527