Theorem tz6.12c 5334

Description: Corollary of Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
tz6.12c	|- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y <-> A F y ) )

Distinct variable groups:   y, F   y, A

Proof of Theorem tz6.12c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 1978	. . . 4 |- ( E! y A F y -> E. y A F y )
2		nfeu1 1959	. . . . . 6 |- F/ y E! y A F y
3		nfv 1466	. . . . . 6 |- F/ y A F ( F ` A )
4	2, 3	nfim 1509	. . . . 5 |- F/ y ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) )
5		tz6.12-1 5331	. . . . . . . 8 |- ( ( A F y /\ E! y A F y ) -> ( F ` A ) = y )
6	5	expcom 114	. . . . . . 7 |- ( E! y A F y -> ( A F y -> ( F ` A ) = y ) )
7		breq2 3849	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` A ) = y -> ( A F ( F ` A ) <-> A F y ) )
8	7	biimprd 156	. . . . . . 7 |- ( ( F ` A ) = y -> ( A F y -> A F ( F ` A ) ) )
9	6, 8	syli 37	. . . . . 6 |- ( E! y A F y -> ( A F y -> A F ( F ` A ) ) )
10	9	com12 30	. . . . 5 |- ( A F y -> ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) ) )
11	4, 10	exlimi 1530	. . . 4 |- ( E. y A F y -> ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) ) )
12	1, 11	mpcom 36	. . 3 |- ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) )
13	12, 7	syl5ibcom 153	. 2 |- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y -> A F y ) )
14	13, 6	impbid 127	1 |- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y <-> A F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   = wceq 1289   E.wex 1426   E!weu 1948   class class class wbr 3845   ` cfv 5015

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-iota 4980  df-fv 5023

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5345