Theorem tz6.12c 5526

Description: Corollary of Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
tz6.12c	|- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y <-> A F y ) )

Distinct variable groups:   y, F   y, A

Proof of Theorem tz6.12c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2049	. . . 4 |- ( E! y A F y -> E. y A F y )
2		nfeu1 2030	. . . . . 6 |- F/ y E! y A F y
3		nfv 1521	. . . . . 6 |- F/ y A F ( F ` A )
4	2, 3	nfim 1565	. . . . 5 |- F/ y ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) )
5		tz6.12-1 5523	. . . . . . . 8 |- ( ( A F y /\ E! y A F y ) -> ( F ` A ) = y )
6	5	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( E! y A F y -> ( A F y -> ( F ` A ) = y ) )
7		breq2 3993	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` A ) = y -> ( A F ( F ` A ) <-> A F y ) )
8	7	biimprd 157	. . . . . . 7 |- ( ( F ` A ) = y -> ( A F y -> A F ( F ` A ) ) )
9	6, 8	syli 37	. . . . . 6 |- ( E! y A F y -> ( A F y -> A F ( F ` A ) ) )
10	9	com12 30	. . . . 5 |- ( A F y -> ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) ) )
11	4, 10	exlimi 1587	. . . 4 |- ( E. y A F y -> ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) ) )
12	1, 11	mpcom 36	. . 3 |- ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) )
13	12, 7	syl5ibcom 154	. 2 |- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y -> A F y ) )
14	13, 6	impbid 128	1 |- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y <-> A F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   E!weu 2019   class class class wbr 3989   ` cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-iota 5160  df-fv 5206

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5537