Theorem tz6.12c 5444

Description: Corollary of Theorem 6.12(1) of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
tz6.12c	|- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y <-> A F y ) )

Distinct variable groups:   y, F   y, A

Proof of Theorem tz6.12c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2027	. . . 4 |- ( E! y A F y -> E. y A F y )
2		nfeu1 2008	. . . . . 6 |- F/ y E! y A F y
3		nfv 1508	. . . . . 6 |- F/ y A F ( F ` A )
4	2, 3	nfim 1551	. . . . 5 |- F/ y ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) )
5		tz6.12-1 5441	. . . . . . . 8 |- ( ( A F y /\ E! y A F y ) -> ( F ` A ) = y )
6	5	expcom 115	. . . . . . 7 |- ( E! y A F y -> ( A F y -> ( F ` A ) = y ) )
7		breq2 3928	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` A ) = y -> ( A F ( F ` A ) <-> A F y ) )
8	7	biimprd 157	. . . . . . 7 |- ( ( F ` A ) = y -> ( A F y -> A F ( F ` A ) ) )
9	6, 8	syli 37	. . . . . 6 |- ( E! y A F y -> ( A F y -> A F ( F ` A ) ) )
10	9	com12 30	. . . . 5 |- ( A F y -> ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) ) )
11	4, 10	exlimi 1573	. . . 4 |- ( E. y A F y -> ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) ) )
12	1, 11	mpcom 36	. . 3 |- ( E! y A F y -> A F ( F ` A ) )
13	12, 7	syl5ibcom 154	. 2 |- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y -> A F y ) )
14	13, 6	impbid 128	1 |- ( E! y A F y -> ( ( F ` A ) = y <-> A F y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   E!weu 1997   class class class wbr 3924   ` cfv 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-iota 5083  df-fv 5126

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5455