Theorem ndmfvg 5630

Description: The value of a class outside its domain is the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ndmfvg	⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem ndmfvg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euex 2085	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥 → ∃𝑥 𝐴𝐹𝑥)
2		eldmg 4892	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑥 𝐴𝐹𝑥))
3	1, 2	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥 → 𝐴 ∈ dom 𝐹))
4	3	con3d 632	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → ¬ ∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥))
5		tz6.12-2 5590	. . 3 ⊢ (¬ ∃!𝑥 𝐴𝐹𝑥 → (𝐹‘𝐴) = ∅)
6	4, 5	syl6 33	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹‘𝐴) = ∅))
7	6	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373  ∃wex 1516  ∃!weu 2055   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776  ∅c0 3468   class class class wbr 4059  dom cdm 4693  ‘cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  ovprc  6003  wrdsymb0  11063  lsw0  11078  pfxclz  11170  sumnul  11850  structiedg0val  15754