Theorem ndmima 5068

Description: The image of a singleton outside the domain is empty. (Contributed by NM, 22-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ndmima	|- ( -. A e. dom B -> ( B " { A } ) = (/) )

Proof of Theorem ndmima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4696	. 2 |- ( B " { A } ) = ran ( B |` { A } )
2		dmres 4989	. . . . 5 |- dom ( B |` { A } ) = ( { A } i^i dom B )
3		incom 3369	. . . . 5 |- ( { A } i^i dom B ) = ( dom B i^i { A } )
4	2, 3	eqtri 2227	. . . 4 |- dom ( B |` { A } ) = ( dom B i^i { A } )
5		disjsn 3700	. . . . 5 |- ( ( dom B i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. dom B )
6	5	biimpri 133	. . . 4 |- ( -. A e. dom B -> ( dom B i^i { A } ) = (/) )
7	4, 6	eqtrid 2251	. . 3 |- ( -. A e. dom B -> dom ( B |` { A } ) = (/) )
8		dm0rn0 4904	. . 3 |- ( dom ( B |` { A } ) = (/) <-> ran ( B |` { A } ) = (/) )
9	7, 8	sylib 122	. 2 |- ( -. A e. dom B -> ran ( B |` { A } ) = (/) )
10	1, 9	eqtrid 2251	1 |- ( -. A e. dom B -> ( B " { A } ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   i^i cin 3169   (/)c0 3464   {csn 3638   dom cdm 4683   ran crn 4684   |` cres 4685   "cima 4686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-cnv 4691  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696

This theorem is referenced by:  fvun1  5658