Theorem ndmima 4988

Description: The image of a singleton outside the domain is empty. (Contributed by NM, 22-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ndmima	|- ( -. A e. dom B -> ( B " { A } ) = (/) )

Proof of Theorem ndmima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4624	. 2 |- ( B " { A } ) = ran ( B |` { A } )
2		dmres 4912	. . . . 5 |- dom ( B |` { A } ) = ( { A } i^i dom B )
3		incom 3319	. . . . 5 |- ( { A } i^i dom B ) = ( dom B i^i { A } )
4	2, 3	eqtri 2191	. . . 4 |- dom ( B |` { A } ) = ( dom B i^i { A } )
5		disjsn 3645	. . . . 5 |- ( ( dom B i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. dom B )
6	5	biimpri 132	. . . 4 |- ( -. A e. dom B -> ( dom B i^i { A } ) = (/) )
7	4, 6	eqtrid 2215	. . 3 |- ( -. A e. dom B -> dom ( B |` { A } ) = (/) )
8		dm0rn0 4828	. . 3 |- ( dom ( B |` { A } ) = (/) <-> ran ( B |` { A } ) = (/) )
9	7, 8	sylib 121	. 2 |- ( -. A e. dom B -> ran ( B |` { A } ) = (/) )
10	1, 9	eqtrid 2215	1 |- ( -. A e. dom B -> ( B " { A } ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   i^i cin 3120   (/)c0 3414   {csn 3583   dom cdm 4611   ran crn 4612   |` cres 4613   "cima 4614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624

This theorem is referenced by:  fvun1  5562