Theorem ndmima 4981

Description: The image of a singleton outside the domain is empty. (Contributed by NM, 22-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ndmima	|- ( -. A e. dom B -> ( B " { A } ) = (/) )

Proof of Theorem ndmima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4617	. 2 |- ( B " { A } ) = ran ( B |` { A } )
2		dmres 4905	. . . . 5 |- dom ( B |` { A } ) = ( { A } i^i dom B )
3		incom 3314	. . . . 5 |- ( { A } i^i dom B ) = ( dom B i^i { A } )
4	2, 3	eqtri 2186	. . . 4 |- dom ( B |` { A } ) = ( dom B i^i { A } )
5		disjsn 3638	. . . . 5 |- ( ( dom B i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. dom B )
6	5	biimpri 132	. . . 4 |- ( -. A e. dom B -> ( dom B i^i { A } ) = (/) )
7	4, 6	syl5eq 2211	. . 3 |- ( -. A e. dom B -> dom ( B |` { A } ) = (/) )
8		dm0rn0 4821	. . 3 |- ( dom ( B |` { A } ) = (/) <-> ran ( B |` { A } ) = (/) )
9	7, 8	sylib 121	. 2 |- ( -. A e. dom B -> ran ( B |` { A } ) = (/) )
10	1, 9	syl5eq 2211	1 |- ( -. A e. dom B -> ( B " { A } ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   i^i cin 3115   (/)c0 3409   {csn 3576   dom cdm 4604   ran crn 4605   |` cres 4606   "cima 4607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617

This theorem is referenced by:  fvun1  5552