Theorem ndmima 5056

Description: The image of a singleton outside the domain is empty. (Contributed by NM, 22-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ndmima	|- ( -. A e. dom B -> ( B " { A } ) = (/) )

Proof of Theorem ndmima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4686	. 2 |- ( B " { A } ) = ran ( B |` { A } )
2		dmres 4977	. . . . 5 |- dom ( B |` { A } ) = ( { A } i^i dom B )
3		incom 3364	. . . . 5 |- ( { A } i^i dom B ) = ( dom B i^i { A } )
4	2, 3	eqtri 2225	. . . 4 |- dom ( B |` { A } ) = ( dom B i^i { A } )
5		disjsn 3694	. . . . 5 |- ( ( dom B i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. dom B )
6	5	biimpri 133	. . . 4 |- ( -. A e. dom B -> ( dom B i^i { A } ) = (/) )
7	4, 6	eqtrid 2249	. . 3 |- ( -. A e. dom B -> dom ( B |` { A } ) = (/) )
8		dm0rn0 4893	. . 3 |- ( dom ( B |` { A } ) = (/) <-> ran ( B |` { A } ) = (/) )
9	7, 8	sylib 122	. 2 |- ( -. A e. dom B -> ran ( B |` { A } ) = (/) )
10	1, 9	eqtrid 2249	1 |- ( -. A e. dom B -> ( B " { A } ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   i^i cin 3164   (/)c0 3459   {csn 3632   dom cdm 4673   ran crn 4674   |` cres 4675   "cima 4676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-br 4044  df-opab 4105  df-xp 4679  df-cnv 4681  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686

This theorem is referenced by:  fvun1  5639