Theorem ndmima 5007

Description: The image of a singleton outside the domain is empty. (Contributed by NM, 22-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ndmima	|- ( -. A e. dom B -> ( B " { A } ) = (/) )

Proof of Theorem ndmima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4641	. 2 |- ( B " { A } ) = ran ( B |` { A } )
2		dmres 4930	. . . . 5 |- dom ( B |` { A } ) = ( { A } i^i dom B )
3		incom 3329	. . . . 5 |- ( { A } i^i dom B ) = ( dom B i^i { A } )
4	2, 3	eqtri 2198	. . . 4 |- dom ( B |` { A } ) = ( dom B i^i { A } )
5		disjsn 3656	. . . . 5 |- ( ( dom B i^i { A } ) = (/) <-> -. A e. dom B )
6	5	biimpri 133	. . . 4 |- ( -. A e. dom B -> ( dom B i^i { A } ) = (/) )
7	4, 6	eqtrid 2222	. . 3 |- ( -. A e. dom B -> dom ( B |` { A } ) = (/) )
8		dm0rn0 4846	. . 3 |- ( dom ( B |` { A } ) = (/) <-> ran ( B |` { A } ) = (/) )
9	7, 8	sylib 122	. 2 |- ( -. A e. dom B -> ran ( B |` { A } ) = (/) )
10	1, 9	eqtrid 2222	1 |- ( -. A e. dom B -> ( B " { A } ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   i^i cin 3130   (/)c0 3424   {csn 3594   dom cdm 4628   ran crn 4629   |` cres 4630   "cima 4631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641

This theorem is referenced by:  fvun1  5585