Theorem ndmima 5005

Description: The image of a singleton outside the domain is empty. (Contributed by NM, 22-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ndmima	⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → (𝐵 “ {𝐴}) = ∅)

Proof of Theorem ndmima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4639	. 2 ⊢ (𝐵 “ {𝐴}) = ran (𝐵 ↾ {𝐴})
2		dmres 4928	. . . . 5 ⊢ dom (𝐵 ↾ {𝐴}) = ({𝐴} ∩ dom 𝐵)
3		incom 3327	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∩ dom 𝐵) = (dom 𝐵 ∩ {𝐴})
4	2, 3	eqtri 2198	. . . 4 ⊢ dom (𝐵 ↾ {𝐴}) = (dom 𝐵 ∩ {𝐴})
5		disjsn 3654	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐵 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵)
6	5	biimpri 133	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → (dom 𝐵 ∩ {𝐴}) = ∅)
7	4, 6	eqtrid 2222	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → dom (𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅)
8		dm0rn0 4844	. . 3 ⊢ (dom (𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅ ↔ ran (𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅)
9	7, 8	sylib 122	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → ran (𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅)
10	1, 9	eqtrid 2222	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → (𝐵 “ {𝐴}) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∩ cin 3128  ∅c0 3422  {csn 3592  dom cdm 4626  ran crn 4627   ↾ cres 4628   “ cima 4629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-cnv 4634  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639

This theorem is referenced by:  fvun1  5582