Theorem ndmima 4988

Description: The image of a singleton outside the domain is empty. (Contributed by NM, 22-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ndmima	⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → (𝐵 “ {𝐴}) = ∅)

Proof of Theorem ndmima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4624	. 2 ⊢ (𝐵 “ {𝐴}) = ran (𝐵 ↾ {𝐴})
2		dmres 4912	. . . . 5 ⊢ dom (𝐵 ↾ {𝐴}) = ({𝐴} ∩ dom 𝐵)
3		incom 3319	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∩ dom 𝐵) = (dom 𝐵 ∩ {𝐴})
4	2, 3	eqtri 2191	. . . 4 ⊢ dom (𝐵 ↾ {𝐴}) = (dom 𝐵 ∩ {𝐴})
5		disjsn 3645	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐵 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵)
6	5	biimpri 132	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → (dom 𝐵 ∩ {𝐴}) = ∅)
7	4, 6	eqtrid 2215	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → dom (𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅)
8		dm0rn0 4828	. . 3 ⊢ (dom (𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅ ↔ ran (𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅)
9	7, 8	sylib 121	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → ran (𝐵 ↾ {𝐴}) = ∅)
10	1, 9	eqtrid 2215	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝐵 → (𝐵 “ {𝐴}) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3120  ∅c0 3414  {csn 3583  dom cdm 4611  ran crn 4612   ↾ cres 4613   “ cima 4614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624

This theorem is referenced by:  fvun1  5562