Theorem dm0rn0 4954

Description: An empty domain implies an empty range. For a similar theorem for whether the domain and range are inhabited, see dmmrnm 4957. (Contributed by NM, 21-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	|- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1548	. . . . . 6 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. x E. y x A y )
2		excom 1712	. . . . . 6 |- ( E. x E. y x A y <-> E. y E. x x A y )
3	1, 2	xchbinx 689	. . . . 5 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. y E. x x A y )
4		alnex 1548	. . . . 5 |- ( A. y -. E. x x A y <-> -. E. y E. x x A y )
5	3, 4	bitr4i 187	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. y -. E. x x A y )
6		noel 3500	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
7	6	nbn 707	. . . . 5 |- ( -. E. y x A y <-> ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
8	7	albii 1519	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
9		noel 3500	. . . . . 6 |- -. y e. (/)
10	9	nbn 707	. . . . 5 |- ( -. E. x x A y <-> ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
11	10	albii 1519	. . . 4 |- ( A. y -. E. x x A y <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
12	5, 8, 11	3bitr3i 210	. . 3 |- ( A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
13		abeq1 2341	. . 3 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
14		abeq1 2341	. . 3 |- ( { y | E. x x A y } = (/) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
15	12, 13, 14	3bitr4i 212	. 2 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
16		df-dm 4741	. . 3 |- dom A = { x | E. y x A y }
17	16	eqeq1i 2239	. 2 |- ( dom A = (/) <-> { x | E. y x A y } = (/) )
18		dfrn2 4924	. . 3 |- ran A = { y | E. x x A y }
19	18	eqeq1i 2239	. 2 |- ( ran A = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
20	15, 17, 19	3bitr4i 212	1 |- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   {cab 2217   (/)c0 3496   class class class wbr 4093   dom cdm 4731   ran crn 4732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742

This theorem is referenced by:  rn0  4994  relrn0  5000  imadisj  5105  ndmima  5120  f00  5537  f0rn0  5540  2nd0  6317  map0b  6899