Theorem dm0rn0 4828

Description: An empty domain implies an empty range. For a similar theorem for whether the domain and range are inhabited, see dmmrnm 4830. (Contributed by NM, 21-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	|- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1492	. . . . . 6 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. x E. y x A y )
2		excom 1657	. . . . . 6 |- ( E. x E. y x A y <-> E. y E. x x A y )
3	1, 2	xchbinx 677	. . . . 5 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. y E. x x A y )
4		alnex 1492	. . . . 5 |- ( A. y -. E. x x A y <-> -. E. y E. x x A y )
5	3, 4	bitr4i 186	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. y -. E. x x A y )
6		noel 3418	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
7	6	nbn 694	. . . . 5 |- ( -. E. y x A y <-> ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
8	7	albii 1463	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
9		noel 3418	. . . . . 6 |- -. y e. (/)
10	9	nbn 694	. . . . 5 |- ( -. E. x x A y <-> ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
11	10	albii 1463	. . . 4 |- ( A. y -. E. x x A y <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
12	5, 8, 11	3bitr3i 209	. . 3 |- ( A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
13		abeq1 2280	. . 3 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
14		abeq1 2280	. . 3 |- ( { y | E. x x A y } = (/) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
15	12, 13, 14	3bitr4i 211	. 2 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
16		df-dm 4621	. . 3 |- dom A = { x | E. y x A y }
17	16	eqeq1i 2178	. 2 |- ( dom A = (/) <-> { x | E. y x A y } = (/) )
18		dfrn2 4799	. . 3 |- ran A = { y | E. x x A y }
19	18	eqeq1i 2178	. 2 |- ( ran A = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
20	15, 17, 19	3bitr4i 211	1 |- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   (/)c0 3414   class class class wbr 3989   dom cdm 4611   ran crn 4612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622

This theorem is referenced by:  rn0  4867  relrn0  4873  imadisj  4973  ndmima  4988  f00  5389  f0rn0  5392  2nd0  6124  map0b  6665