Theorem dm0rn0 4880

Description: An empty domain implies an empty range. For a similar theorem for whether the domain and range are inhabited, see dmmrnm 4882. (Contributed by NM, 21-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	|- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Proof of Theorem dm0rn0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alnex 1510	. . . . . 6 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. x E. y x A y )
2		excom 1675	. . . . . 6 |- ( E. x E. y x A y <-> E. y E. x x A y )
3	1, 2	xchbinx 683	. . . . 5 |- ( A. x -. E. y x A y <-> -. E. y E. x x A y )
4		alnex 1510	. . . . 5 |- ( A. y -. E. x x A y <-> -. E. y E. x x A y )
5	3, 4	bitr4i 187	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. y -. E. x x A y )
6		noel 3451	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
7	6	nbn 700	. . . . 5 |- ( -. E. y x A y <-> ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
8	7	albii 1481	. . . 4 |- ( A. x -. E. y x A y <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
9		noel 3451	. . . . . 6 |- -. y e. (/)
10	9	nbn 700	. . . . 5 |- ( -. E. x x A y <-> ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
11	10	albii 1481	. . . 4 |- ( A. y -. E. x x A y <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
12	5, 8, 11	3bitr3i 210	. . 3 |- ( A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
13		abeq1 2303	. . 3 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> A. x ( E. y x A y <-> x e. (/) ) )
14		abeq1 2303	. . 3 |- ( { y | E. x x A y } = (/) <-> A. y ( E. x x A y <-> y e. (/) ) )
15	12, 13, 14	3bitr4i 212	. 2 |- ( { x | E. y x A y } = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
16		df-dm 4670	. . 3 |- dom A = { x | E. y x A y }
17	16	eqeq1i 2201	. 2 |- ( dom A = (/) <-> { x | E. y x A y } = (/) )
18		dfrn2 4851	. . 3 |- ran A = { y | E. x x A y }
19	18	eqeq1i 2201	. 2 |- ( ran A = (/) <-> { y | E. x x A y } = (/) )
20	15, 17, 19	3bitr4i 212	1 |- ( dom A = (/) <-> ran A = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   {cab 2179   (/)c0 3447   class class class wbr 4030   dom cdm 4660   ran crn 4661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-cnv 4668  df-dm 4670  df-rn 4671

This theorem is referenced by:  rn0  4919  relrn0  4925  imadisj  5028  ndmima  5043  f00  5446  f0rn0  5449  2nd0  6200  map0b  6743