Theorem nnsuc 4420

Description: A nonzero natural number is a successor. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnsuc	|- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> E. x e. om A = suc x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem nnsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2256	. 2 |- ( A =/= (/) <-> -. A = (/) )
2		nn0suc 4409	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
3	2	ord 678	. . 3 |- ( A e. om -> ( -. A = (/) -> E. x e. om A = suc x ) )
4	3	imp 122	. 2 |- ( ( A e. om /\ -. A = (/) ) -> E. x e. om A = suc x )
5	1, 4	sylan2b 281	1 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> E. x e. om A = suc x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   =/= wne 2255   E.wrex 2360   (/)c0 3284   suc csuc 4183   omcom 4395

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-iinf 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-int 3684  df-suc 4189  df-iom 4396

This theorem is referenced by:  nnsucpred  11548