Theorem nnsuc 4652

Description: A nonzero natural number is a successor. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nnsuc	|- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> E. x e. om A = suc x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem nnsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2368	. 2 |- ( A =/= (/) <-> -. A = (/) )
2		nn0suc 4640	. . . 4 |- ( A e. om -> ( A = (/) \/ E. x e. om A = suc x ) )
3	2	ord 725	. . 3 |- ( A e. om -> ( -. A = (/) -> E. x e. om A = suc x ) )
4	3	imp 124	. 2 |- ( ( A e. om /\ -. A = (/) ) -> E. x e. om A = suc x )
5	1, 4	sylan2b 287	1 |- ( ( A e. om /\ A =/= (/) ) -> E. x e. om A = suc x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   E.wrex 2476   (/)c0 3450   suc csuc 4400   omcom 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-suc 4406  df-iom 4627

This theorem is referenced by:  nnsucpred  4653