Theorem onntri52 7452

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 2-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri52	|- ( -. -. EXMID -> -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem onntri52

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontri2or 7451	. . . 4 |- (EXMID <-> A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- (EXMID -> A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )
3	2	con3i 635	. 2 |- ( -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. EXMID )
4	3	con3i 635	1 |- ( -. -. EXMID -> -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 713   A.wral 2508   C_ wss 3198  EXMIDwem 4282   Oncon0 4458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892  df-tr 4186  df-exmid 4283  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466

This theorem is referenced by:  onntri2or  7454