Theorem onntri52 7245

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 2-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri52	|- ( -. -. EXMID -> -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem onntri52

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontri2or 7244	. . . 4 |- (EXMID <-> A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- (EXMID -> A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )
3	2	con3i 632	. 2 |- ( -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. EXMID )
4	3	con3i 632	1 |- ( -. -. EXMID -> -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 708   A.wral 2455   C_ wss 3131  EXMIDwem 4196   Oncon0 4365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-tr 4104  df-exmid 4197  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373

This theorem is referenced by:  onntri2or  7247