Theorem onntri52 7556

Description: Double negated ordinal trichotomy. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 2-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
onntri52	|- ( -. -. EXMID -> -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem onntri52

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exmidontri2or 7555	. . . 4 |- (EXMID <-> A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )
2	1	biimpi 120	. . 3 |- (EXMID -> A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )
3	2	con3i 637	. 2 |- ( -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) -> -. EXMID )
4	3	con3i 637	1 |- ( -. -. EXMID -> -. -. A. x e. On A. y e. On ( x C_ y \/ y C_ x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 716   A.wral 2522   C_ wss 3213  EXMIDwem 4309   Oncon0 4486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-uni 3917  df-tr 4211  df-exmid 4310  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494

This theorem is referenced by:  onntri2or  7558