Theorem op2ndb 5114

Description: Extract the second member of an ordered pair. Theorem 5.12(ii) of [Monk1] p. 52. (See op1stb 4480 to extract the first member and op2nda 5115 for an alternate version.) (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	|- A e. _V
cnvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2ndb	|- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = B

Proof of Theorem op2ndb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsn.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
2		cnvsn.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
3	1, 2	cnvsn 5113	. . . . . 6 |- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }
4	3	inteqi 3850	. . . . 5 |- |^| `' { <. A , B >. } = |^| { <. B , A >. }
5	2, 1	opex 4231	. . . . . 6 |- <. B , A >. e. _V
6	5	intsn 3881	. . . . 5 |- |^| { <. B , A >. } = <. B , A >.
7	4, 6	eqtri 2198	. . . 4 |- |^| `' { <. A , B >. } = <. B , A >.
8	7	inteqi 3850	. . 3 |- |^| |^| `' { <. A , B >. } = |^| <. B , A >.
9	8	inteqi 3850	. 2 |- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = |^| |^| <. B , A >.
10	2, 1	op1stb 4480	. 2 |- |^| |^| <. B , A >. = B
11	9, 10	eqtri 2198	1 |- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = B

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   {csn 3594   <.cop 3597   |^|cint 3846   `'ccnv 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636

This theorem is referenced by:  2ndval2  6159