Theorem op2ndb 5087

Description: Extract the second member of an ordered pair. Theorem 5.12(ii) of [Monk1] p. 52. (See op1stb 4456 to extract the first member and op2nda 5088 for an alternate version.) (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	|- A e. _V
cnvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2ndb	|- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = B

Proof of Theorem op2ndb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsn.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
2		cnvsn.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
3	1, 2	cnvsn 5086	. . . . . 6 |- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }
4	3	inteqi 3828	. . . . 5 |- |^| `' { <. A , B >. } = |^| { <. B , A >. }
5	2, 1	opex 4207	. . . . . 6 |- <. B , A >. e. _V
6	5	intsn 3859	. . . . 5 |- |^| { <. B , A >. } = <. B , A >.
7	4, 6	eqtri 2186	. . . 4 |- |^| `' { <. A , B >. } = <. B , A >.
8	7	inteqi 3828	. . 3 |- |^| |^| `' { <. A , B >. } = |^| <. B , A >.
9	8	inteqi 3828	. 2 |- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = |^| |^| <. B , A >.
10	2, 1	op1stb 4456	. 2 |- |^| |^| <. B , A >. = B
11	9, 10	eqtri 2186	1 |- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = B

Syntax hints:   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   {csn 3576   <.cop 3579   |^|cint 3824   `'ccnv 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612

This theorem is referenced by:  2ndval2  6124