Theorem op2ndb 5094

Description: Extract the second member of an ordered pair. Theorem 5.12(ii) of [Monk1] p. 52. (See op1stb 4463 to extract the first member and op2nda 5095 for an alternate version.) (Contributed by NM, 25-Nov-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	|- A e. _V
cnvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2ndb	|- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = B

Proof of Theorem op2ndb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvsn.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
2		cnvsn.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
3	1, 2	cnvsn 5093	. . . . . 6 |- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }
4	3	inteqi 3835	. . . . 5 |- |^| `' { <. A , B >. } = |^| { <. B , A >. }
5	2, 1	opex 4214	. . . . . 6 |- <. B , A >. e. _V
6	5	intsn 3866	. . . . 5 |- |^| { <. B , A >. } = <. B , A >.
7	4, 6	eqtri 2191	. . . 4 |- |^| `' { <. A , B >. } = <. B , A >.
8	7	inteqi 3835	. . 3 |- |^| |^| `' { <. A , B >. } = |^| <. B , A >.
9	8	inteqi 3835	. 2 |- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = |^| |^| <. B , A >.
10	2, 1	op1stb 4463	. 2 |- |^| |^| <. B , A >. = B
11	9, 10	eqtri 2191	1 |- |^| |^| |^| `' { <. A , B >. } = B

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   {csn 3583   <.cop 3586   |^|cint 3831   `'ccnv 4610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619

This theorem is referenced by:  2ndval2  6135