Theorem cnvsn 5265

Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 11-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	|- A e. _V
cnvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
cnvsn	|- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }

Proof of Theorem cnvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnvsn 5259	. 2 |- `' `' { <. B , A >. } = `' { <. A , B >. }
2		cnvsn.2	. . . 4 |- B e. _V
3		cnvsn.1	. . . 4 |- A e. _V
4	2, 3	relsnop 4876	. . 3 |- Rel { <. B , A >. }
5		dfrel2 5233	. . 3 |- ( Rel { <. B , A >. } <-> `' `' { <. B , A >. } = { <. B , A >. } )
6	4, 5	mpbi 145	. 2 |- `' `' { <. B , A >. } = { <. B , A >. }
7	1, 6	eqtr3i 2261	1 |- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }

Syntax hints:   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3705   <.cop 3708   `'ccnv 4768   Rel wrel 4774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777

This theorem is referenced by:  op2ndb  5266  cnvsng  5268  f1osn  5676  xnn0nnen  10852