Theorem cnvsn 5106

Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 11-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	|- A e. _V
cnvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
cnvsn	|- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }

Proof of Theorem cnvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnvsn 5100	. 2 |- `' `' { <. B , A >. } = `' { <. A , B >. }
2		cnvsn.2	. . . 4 |- B e. _V
3		cnvsn.1	. . . 4 |- A e. _V
4	2, 3	relsnop 4728	. . 3 |- Rel { <. B , A >. }
5		dfrel2 5074	. . 3 |- ( Rel { <. B , A >. } <-> `' `' { <. B , A >. } = { <. B , A >. } )
6	4, 5	mpbi 145	. 2 |- `' `' { <. B , A >. } = { <. B , A >. }
7	1, 6	eqtr3i 2200	1 |- `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. }

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   {csn 3591   <.cop 3594   `'ccnv 4621   Rel wrel 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630

This theorem is referenced by:  op2ndb  5107  cnvsng  5109  f1osn  5496