Theorem oprabss 6031

Description: Structure of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
oprabss	|- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem oprabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reloprab 5993	. . 3 |- Rel { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2		relssdmrn 5203	. . 3 |- ( Rel { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
4		reldmoprab 6030	. . . 4 |- Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5		df-rel 4682	. . . 4 |- ( Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V ) )
6	4, 5	mpbi 145	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V )
7		ssv 3215	. . 3 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ _V
8		xpss12 4782	. . 3 |- ( ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V ) /\ ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ _V ) -> ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. 2 |- ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )
10	3, 9	sstri 3202	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )

Syntax hints:   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   X. cxp 4673   dom cdm 4675   ran crn 4676   Rel wrel 4680   {coprab 5945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686  df-oprab 5948

This theorem is referenced by: (None)