ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oprabss Unicode version

Theorem oprabss 5716
Description: Structure of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
oprabss  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem oprabss
StepHypRef Expression
1 reloprab 5679 . . 3  |-  Rel  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
2 relssdmrn 4938 . . 3  |-  ( Rel 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  ->  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } ) )
31, 2ax-mp 7 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )
4 reldmoprab 5715 . . . 4  |-  Rel  dom  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
5 df-rel 4435 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  <->  dom  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( _V  X.  _V ) )
64, 5mpbi 143 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  ( _V  X.  _V )
7 ssv 3044 . . 3  |-  ran  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  _V
8 xpss12 4533 . . 3  |-  ( ( dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  C_  ( _V  X.  _V )  /\  ran  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  C_  _V )  ->  ( dom 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)
96, 7, 8mp2an 417 . 2  |-  ( dom 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
103, 9sstri 3032 1  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   _Vcvv 2619    C_ wss 2997    X. cxp 4426   dom cdm 4428   ran crn 4429   Rel wrel 4433   {coprab 5635
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-dm 4438  df-rn 4439  df-oprab 5638
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator