Theorem oprabss 5928

Description: Structure of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
oprabss	|- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem oprabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reloprab 5890	. . 3 |- Rel { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2		relssdmrn 5124	. . 3 |- ( Rel { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
4		reldmoprab 5927	. . . 4 |- Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5		df-rel 4611	. . . 4 |- ( Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V ) )
6	4, 5	mpbi 144	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V )
7		ssv 3164	. . 3 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ _V
8		xpss12 4711	. . 3 |- ( ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V ) /\ ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ _V ) -> ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
9	6, 7, 8	mp2an 423	. 2 |- ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )
10	3, 9	sstri 3151	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )

Syntax hints:   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   X. cxp 4602   dom cdm 4604   ran crn 4605   Rel wrel 4609   {coprab 5843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-oprab 5846

This theorem is referenced by: (None)