Theorem oprabss 6008

Description: Structure of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
oprabss	|- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem oprabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reloprab 5970	. . 3 |- Rel { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2		relssdmrn 5190	. . 3 |- ( Rel { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
4		reldmoprab 6007	. . . 4 |- Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5		df-rel 4670	. . . 4 |- ( Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V ) )
6	4, 5	mpbi 145	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V )
7		ssv 3205	. . 3 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ _V
8		xpss12 4770	. . 3 |- ( ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V ) /\ ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ _V ) -> ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. 2 |- ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )
10	3, 9	sstri 3192	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )

Syntax hints:   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   X. cxp 4661   dom cdm 4663   ran crn 4664   Rel wrel 4668   {coprab 5923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674  df-oprab 5926

This theorem is referenced by: (None)