ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oprabss Unicode version

Theorem oprabss 5825
Description: Structure of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
oprabss  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem oprabss
StepHypRef Expression
1 reloprab 5787 . . 3  |-  Rel  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
2 relssdmrn 5029 . . 3  |-  ( Rel 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  ->  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )
4 reldmoprab 5824 . . . 4  |-  Rel  dom  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
5 df-rel 4516 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  <->  dom  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( _V  X.  _V ) )
64, 5mpbi 144 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  ( _V  X.  _V )
7 ssv 3089 . . 3  |-  ran  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  _V
8 xpss12 4616 . . 3  |-  ( ( dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  C_  ( _V  X.  _V )  /\  ran  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  C_  _V )  ->  ( dom 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)
96, 7, 8mp2an 422 . 2  |-  ( dom 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
103, 9sstri 3076 1  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   _Vcvv 2660    C_ wss 3041    X. cxp 4507   dom cdm 4509   ran crn 4510   Rel wrel 4514   {coprab 5743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-dm 4519  df-rn 4520  df-oprab 5746
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator