Theorem oprabss 6102

Description: Structure of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
oprabss	|- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem oprabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reloprab 6064	. . 3 |- Rel { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2		relssdmrn 5255	. . 3 |- ( Rel { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
4		reldmoprab 6101	. . . 4 |- Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5		df-rel 4730	. . . 4 |- ( Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V ) )
6	4, 5	mpbi 145	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V )
7		ssv 3247	. . 3 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ _V
8		xpss12 4831	. . 3 |- ( ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V ) /\ ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ _V ) -> ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. 2 |- ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )
10	3, 9	sstri 3234	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )

Syntax hints:   _Vcvv 2800   C_ wss 3198   X. cxp 4721   dom cdm 4723   ran crn 4724   Rel wrel 4728   {coprab 6014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734  df-oprab 6017

This theorem is referenced by: (None)