Theorem oprabss 5928

Description: Structure of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
oprabss	⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ ((V × V) × V)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem oprabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reloprab 5890	. . 3 ⊢ Rel {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
2		relssdmrn 5124	. . 3 ⊢ (Rel {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ (dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} × ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ (dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} × ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑})
4		reldmoprab 5927	. . . 4 ⊢ Rel dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
5		df-rel 4611	. . . 4 ⊢ (Rel dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ↔ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ (V × V))
6	4, 5	mpbi 144	. . 3 ⊢ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ (V × V)
7		ssv 3164	. . 3 ⊢ ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ V
8		xpss12 4711	. . 3 ⊢ ((dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ (V × V) ∧ ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ V) → (dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} × ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}) ⊆ ((V × V) × V))
9	6, 7, 8	mp2an 423	. 2 ⊢ (dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} × ran {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}) ⊆ ((V × V) × V)
10	3, 9	sstri 3151	1 ⊢ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ ((V × V) × V)

Syntax hints:  Vcvv 2726   ⊆ wss 3116   × cxp 4602  dom cdm 4604  ran crn 4605  Rel wrel 4609  {coprab 5843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-oprab 5846

This theorem is referenced by: (None)