Theorem preq1 3600

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	|- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3538	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	uneq1d 3229	. 2 |- ( A = B -> ( { A } u. { C } ) = ( { B } u. { C } ) )
3		df-pr 3534	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
4		df-pr 3534	. 2 |- { B , C } = ( { B } u. { C } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2197	1 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   u. cun 3069   {csn 3527   {cpr 3528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534

This theorem is referenced by:  preq2  3601  preq12  3602  preq1i  3603  preq1d  3606  tpeq1  3609  prnzg  3647  preq12b  3697  preq12bg  3700  opeq1  3705  uniprg  3751  intprg  3804  prexg  4133  opthreg  4471  bdxmet  12670  bj-prexg  13109