Theorem preq1 3660

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	|- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3594	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	uneq1d 3280	. 2 |- ( A = B -> ( { A } u. { C } ) = ( { B } u. { C } ) )
3		df-pr 3590	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
4		df-pr 3590	. 2 |- { B , C } = ( { B } u. { C } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2228	1 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   u. cun 3119   {csn 3583   {cpr 3584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-sn 3589  df-pr 3590

This theorem is referenced by:  preq2  3661  preq12  3662  preq1i  3663  preq1d  3666  tpeq1  3669  prnzg  3707  preq12b  3757  preq12bg  3760  opeq1  3765  uniprg  3811  intprg  3864  prexg  4196  opthreg  4540  bdxmet  13295  bj-prexg  13946