Theorem preq1 3566

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	|- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3504	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	uneq1d 3195	. 2 |- ( A = B -> ( { A } u. { C } ) = ( { B } u. { C } ) )
3		df-pr 3500	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
4		df-pr 3500	. 2 |- { B , C } = ( { B } u. { C } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2172	1 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1314   u. cun 3035   {csn 3493   {cpr 3494

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-v 2659  df-un 3041  df-sn 3499  df-pr 3500

This theorem is referenced by:  preq2  3567  preq12  3568  preq1i  3569  preq1d  3572  tpeq1  3575  prnzg  3613  preq12b  3663  preq12bg  3666  opeq1  3671  uniprg  3717  intprg  3770  prexg  4093  opthreg  4431  bdxmet  12490  bj-prexg  12801