Theorem preq1 3647

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	|- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3581	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	uneq1d 3270	. 2 |- ( A = B -> ( { A } u. { C } ) = ( { B } u. { C } ) )
3		df-pr 3577	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
4		df-pr 3577	. 2 |- { B , C } = ( { B } u. { C } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2222	1 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1342   u. cun 3109   {csn 3570   {cpr 3571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-v 2723  df-un 3115  df-sn 3576  df-pr 3577

This theorem is referenced by:  preq2  3648  preq12  3649  preq1i  3650  preq1d  3653  tpeq1  3656  prnzg  3694  preq12b  3744  preq12bg  3747  opeq1  3752  uniprg  3798  intprg  3851  prexg  4183  opthreg  4527  bdxmet  13042  bj-prexg  13628