Theorem preq1 3653

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	|- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3587	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	uneq1d 3275	. 2 |- ( A = B -> ( { A } u. { C } ) = ( { B } u. { C } ) )
3		df-pr 3583	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
4		df-pr 3583	. 2 |- { B , C } = ( { B } u. { C } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2224	1 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   u. cun 3114   {csn 3576   {cpr 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583

This theorem is referenced by:  preq2  3654  preq12  3655  preq1i  3656  preq1d  3659  tpeq1  3662  prnzg  3700  preq12b  3750  preq12bg  3753  opeq1  3758  uniprg  3804  intprg  3857  prexg  4189  opthreg  4533  bdxmet  13151  bj-prexg  13803