Theorem preq1 3696

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	|- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3630	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	uneq1d 3313	. 2 |- ( A = B -> ( { A } u. { C } ) = ( { B } u. { C } ) )
3		df-pr 3626	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
4		df-pr 3626	. 2 |- { B , C } = ( { B } u. { C } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2251	1 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   u. cun 3152   {csn 3619   {cpr 3620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3158  df-sn 3625  df-pr 3626

This theorem is referenced by:  preq2  3697  preq12  3698  preq1i  3699  preq1d  3702  tpeq1  3705  prnzg  3743  preq12b  3797  preq12bg  3800  opeq1  3805  uniprg  3851  intprg  3904  prexg  4241  opthreg  4589  bdxmet  14680  hovera  14826  hoverb  14827  hoverlt1  14828  hovergt0  14829  ivthdich  14832  bj-prexg  15473