Theorem preq1 3788

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	|- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3720	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	uneq1d 3382	. 2 |- ( A = B -> ( { A } u. { C } ) = ( { B } u. { C } ) )
3		df-pr 3716	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
4		df-pr 3716	. 2 |- { B , C } = ( { B } u. { C } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2296	1 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   u. cun 3218   {csn 3709   {cpr 3710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716

This theorem is used by:  preq2  3789  preq12  3790  preq1i  3791  preq1d  3794  tpeq1  3797  prnzg  3838  preq12b  3895  preq12bg  3898  opeq1  3904  uniprg  3950  intprg  4003  prexg  4349  opthreg  4703  en2  7112  bdxmet  15651  hovera  15797  hoverb  15798  hoverlt1  15799  hovergt0  15800  ivthdich  15803  upgrex  16442  usgredg4  16554  usgredg2vlem2  16562  usgredg2v  16563  eupth2lem3lem4fi  16812  bj-prexg  17035  repiecele0  17173  repiecege0  17174  repiecef  17175