Theorem preq1 3684

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	|- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3618	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	uneq1d 3303	. 2 |- ( A = B -> ( { A } u. { C } ) = ( { B } u. { C } ) )
3		df-pr 3614	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
4		df-pr 3614	. 2 |- { B , C } = ( { B } u. { C } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2247	1 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   u. cun 3142   {csn 3607   {cpr 3608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-un 3148  df-sn 3613  df-pr 3614

This theorem is referenced by:  preq2  3685  preq12  3686  preq1i  3687  preq1d  3690  tpeq1  3693  prnzg  3731  preq12b  3785  preq12bg  3788  opeq1  3793  uniprg  3839  intprg  3892  prexg  4226  opthreg  4570  bdxmet  14398  bj-prexg  15060