Theorem preq1 3710

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	|- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3644	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	uneq1d 3326	. 2 |- ( A = B -> ( { A } u. { C } ) = ( { B } u. { C } ) )
3		df-pr 3640	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
4		df-pr 3640	. 2 |- { B , C } = ( { B } u. { C } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2263	1 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   u. cun 3164   {csn 3633   {cpr 3634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-sn 3639  df-pr 3640

This theorem is referenced by:  preq2  3711  preq12  3712  preq1i  3713  preq1d  3716  tpeq1  3719  prnzg  3757  preq12b  3811  preq12bg  3814  opeq1  3819  uniprg  3865  intprg  3918  prexg  4255  opthreg  4604  en2  6912  bdxmet  14973  hovera  15119  hoverb  15120  hoverlt1  15121  hovergt0  15122  ivthdich  15125  bj-prexg  15847