Theorem preq1 3670

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	|- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3604	. . 3 |- ( A = B -> { A } = { B } )
2	1	uneq1d 3289	. 2 |- ( A = B -> ( { A } u. { C } ) = ( { B } u. { C } ) )
3		df-pr 3600	. 2 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
4		df-pr 3600	. 2 |- { B , C } = ( { B } u. { C } )
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2235	1 |- ( A = B -> { A , C } = { B , C } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   u. cun 3128   {csn 3593   {cpr 3594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-un 3134  df-sn 3599  df-pr 3600

This theorem is referenced by:  preq2  3671  preq12  3672  preq1i  3673  preq1d  3676  tpeq1  3679  prnzg  3717  preq12b  3771  preq12bg  3774  opeq1  3779  uniprg  3825  intprg  3878  prexg  4212  opthreg  4556  bdxmet  14004  bj-prexg  14666