Theorem preq1 3773

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3705	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
2	1	uneq1d 3376	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ({𝐴} ∪ {𝐶}) = ({𝐵} ∪ {𝐶}))
3		df-pr 3701	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐶} = ({𝐴} ∪ {𝐶})
4		df-pr 3701	. 2 ⊢ {𝐵, 𝐶} = ({𝐵} ∪ {𝐶})
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2292	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∪ cun 3212  {csn 3694  {cpr 3695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701

This theorem is referenced by:  preq2  3774  preq12  3775  preq1i  3776  preq1d  3779  tpeq1  3782  prnzg  3822  preq12b  3879  preq12bg  3882  opeq1  3888  uniprg  3934  intprg  3987  prexg  4330  opthreg  4683  en2  7078  bdxmet  15495  hovera  15641  hoverb  15642  hoverlt1  15643  hovergt0  15644  ivthdich  15647  upgrex  16227  usgredg4  16339  usgredg2vlem2  16347  usgredg2v  16348  eupth2lem3lem4fi  16597  bj-prexg  16820  repiecele0  16949  repiecege0  16950  repiecef  16951