Theorem preq1 3752

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3684	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
2	1	uneq1d 3362	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ({𝐴} ∪ {𝐶}) = ({𝐵} ∪ {𝐶}))
3		df-pr 3680	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐶} = ({𝐴} ∪ {𝐶})
4		df-pr 3680	. 2 ⊢ {𝐵, 𝐶} = ({𝐵} ∪ {𝐶})
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2289	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∪ cun 3199  {csn 3673  {cpr 3674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680

This theorem is referenced by:  preq2  3753  preq12  3754  preq1i  3755  preq1d  3758  tpeq1  3761  prnzg  3801  preq12b  3858  preq12bg  3861  opeq1  3867  uniprg  3913  intprg  3966  prexg  4307  opthreg  4660  en2  7041  bdxmet  15295  hovera  15441  hoverb  15442  hoverlt1  15443  hovergt0  15444  ivthdich  15447  upgrex  16027  usgredg4  16139  usgredg2vlem2  16147  usgredg2v  16148  eupth2lem3lem4fi  16397  bj-prexg  16610  repiecele0  16741  repiecege0  16742  repiecef  16743