Theorem preq1 3746

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3678	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
2	1	uneq1d 3358	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ({𝐴} ∪ {𝐶}) = ({𝐵} ∪ {𝐶}))
3		df-pr 3674	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐶} = ({𝐴} ∪ {𝐶})
4		df-pr 3674	. 2 ⊢ {𝐵, 𝐶} = ({𝐵} ∪ {𝐶})
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2287	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∪ cun 3196  {csn 3667  {cpr 3668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-pr 3674

This theorem is referenced by:  preq2  3747  preq12  3748  preq1i  3749  preq1d  3752  tpeq1  3755  prnzg  3795  preq12b  3851  preq12bg  3854  opeq1  3860  uniprg  3906  intprg  3959  prexg  4299  opthreg  4652  en2  6993  bdxmet  15215  hovera  15361  hoverb  15362  hoverlt1  15363  hovergt0  15364  ivthdich  15367  upgrex  15944  usgredg4  16054  usgredg2vlem2  16062  usgredg2v  16063  bj-prexg  16442