Theorem preq1 3784

Description: Equality theorem for unordered pairs. (Contributed by NM, 29-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
preq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})

Proof of Theorem preq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 3716	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
2	1	uneq1d 3382	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ({𝐴} ∪ {𝐶}) = ({𝐵} ∪ {𝐶}))
3		df-pr 3712	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐶} = ({𝐴} ∪ {𝐶})
4		df-pr 3712	. 2 ⊢ {𝐵, 𝐶} = ({𝐵} ∪ {𝐶})
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∪ cun 3218  {csn 3705  {cpr 3706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712

This theorem is referenced by:  preq2  3785  preq12  3786  preq1i  3787  preq1d  3790  tpeq1  3793  prnzg  3833  preq12b  3890  preq12bg  3893  opeq1  3899  uniprg  3945  intprg  3998  prexg  4344  opthreg  4698  en2  7102  bdxmet  15525  hovera  15671  hoverb  15672  hoverlt1  15673  hovergt0  15674  ivthdich  15677  upgrex  16258  usgredg4  16370  usgredg2vlem2  16378  usgredg2v  16379  eupth2lem3lem4fi  16628  bj-prexg  16851  repiecele0  16980  repiecege0  16981  repiecef  16982