Theorem relcoi2 5161

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 2-May-2011.)

Assertion

Ref	Expression
relcoi2	|- ( Rel R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = R )

Proof of Theorem relcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmrnssfld 4892	. . . 4 |- ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R
2		unss 3311	. . . . 5 |- ( ( dom R C_ U. U. R /\ ran R C_ U. U. R ) <-> ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R )
3		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( dom R C_ U. U. R /\ ran R C_ U. U. R ) -> ran R C_ U. U. R )
4	2, 3	sylbir 135	. . . 4 |- ( ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R -> ran R C_ U. U. R )
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ran R C_ U. U. R
6		cores 5134	. . 3 |- ( ran R C_ U. U. R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = ( _I o. R ) )
7	5, 6	mp1i 10	. 2 |- ( Rel R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = ( _I o. R ) )
8		coi2 5147	. 2 |- ( Rel R -> ( _I o. R ) = R )
9	7, 8	eqtrd 2210	1 |- ( Rel R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   u. cun 3129   C_ wss 3131   U.cuni 3811   _I cid 4290   dom cdm 4628   ran crn 4629   |` cres 4630   o. ccom 4632   Rel wrel 4633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640

This theorem is referenced by: (None)