Theorem relcoi2 5134

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 2-May-2011.)

Assertion

Ref	Expression
relcoi2	|- ( Rel R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = R )

Proof of Theorem relcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmrnssfld 4867	. . . 4 |- ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R
2		unss 3296	. . . . 5 |- ( ( dom R C_ U. U. R /\ ran R C_ U. U. R ) <-> ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R )
3		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( dom R C_ U. U. R /\ ran R C_ U. U. R ) -> ran R C_ U. U. R )
4	2, 3	sylbir 134	. . . 4 |- ( ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R -> ran R C_ U. U. R )
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ran R C_ U. U. R
6		cores 5107	. . 3 |- ( ran R C_ U. U. R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = ( _I o. R ) )
7	5, 6	mp1i 10	. 2 |- ( Rel R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = ( _I o. R ) )
8		coi2 5120	. 2 |- ( Rel R -> ( _I o. R ) = R )
9	7, 8	eqtrd 2198	1 |- ( Rel R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   u. cun 3114   C_ wss 3116   U.cuni 3789   _I cid 4266   dom cdm 4604   ran crn 4605   |` cres 4606   o. ccom 4608   Rel wrel 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616

This theorem is referenced by: (None)