Theorem relcoi2 5267

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 2-May-2011.)

Assertion

Ref	Expression
relcoi2	|- ( Rel R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = R )

Proof of Theorem relcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmrnssfld 4995	. . . 4 |- ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R
2		unss 3381	. . . . 5 |- ( ( dom R C_ U. U. R /\ ran R C_ U. U. R ) <-> ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R )
3		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( dom R C_ U. U. R /\ ran R C_ U. U. R ) -> ran R C_ U. U. R )
4	2, 3	sylbir 135	. . . 4 |- ( ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R -> ran R C_ U. U. R )
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ran R C_ U. U. R
6		cores 5240	. . 3 |- ( ran R C_ U. U. R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = ( _I o. R ) )
7	5, 6	mp1i 10	. 2 |- ( Rel R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = ( _I o. R ) )
8		coi2 5253	. 2 |- ( Rel R -> ( _I o. R ) = R )
9	7, 8	eqtrd 2264	1 |- ( Rel R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   u. cun 3198   C_ wss 3200   U.cuni 3893   _I cid 4385   dom cdm 4725   ran crn 4726   |` cres 4727   o. ccom 4729   Rel wrel 4730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737

This theorem is referenced by: (None)