Theorem relcoi2 4974

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 2-May-2011.)

Assertion

Ref	Expression
relcoi2	|- ( Rel R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = R )

Proof of Theorem relcoi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmrnssfld 4709	. . . 4 |- ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R
2		unss 3175	. . . . 5 |- ( ( dom R C_ U. U. R /\ ran R C_ U. U. R ) <-> ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R )
3		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( dom R C_ U. U. R /\ ran R C_ U. U. R ) -> ran R C_ U. U. R )
4	2, 3	sylbir 134	. . . 4 |- ( ( dom R u. ran R ) C_ U. U. R -> ran R C_ U. U. R )
5	1, 4	ax-mp 7	. . 3 |- ran R C_ U. U. R
6		cores 4947	. . 3 |- ( ran R C_ U. U. R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = ( _I o. R ) )
7	5, 6	mp1i 10	. 2 |- ( Rel R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = ( _I o. R ) )
8		coi2 4960	. 2 |- ( Rel R -> ( _I o. R ) = R )
9	7, 8	eqtrd 2121	1 |- ( Rel R -> ( ( _I |` U. U. R ) o. R ) = R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   u. cun 2998   C_ wss 3000   U.cuni 3659   _I cid 4124   dom cdm 4451   ran crn 4452   |` cres 4453   o. ccom 4455   Rel wrel 4456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463

This theorem is referenced by: (None)