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Theorem relcoi1 5260

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
relcoi1

**Proof of Theorem relcoi1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 5257	. . 3
2		resundi 5018	. . . . 5
3		coeq2 4880	. . . . 5
4		coundi 5230	. . . . . . 7
5		resco 5233	. . . . . . . 8
6		coi1 5244	. . . . . . . . 9
7		reseq1 4999	. . . . . . . . . 10
8		resdm 5044	. . . . . . . . . . 11
9		eqtr 2247	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		eqtr 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11		resco 5233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12		uneq1 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13		reseq1 4999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14		eqtr 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
15	14	uneq2d 3358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
16		eqtr 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
17		resss 5029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18		ssequn2 3377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19	17, 18	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20	19, 6	eqtr4id 2281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21		eqeq1 2236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22	20, 21	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23	16, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
24	23	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25	24	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	15, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	26	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28	27	eqcoms 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	13, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	6, 30	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	11, 12, 32	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
35	34	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	eqcoms 2232	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14
38	9, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
39	38	ex 115	. . . . . . . . . . . 12
40	39	com3l 81	. . . . . . . . . . 11
41	8, 40	mpcom 36	. . . . . . . . . 10
42	7, 41	syl5com 29	. . . . . . . . 9
43	6, 42	mpcom 36	. . . . . . . 8
44	5, 43	mpi 15	. . . . . . 7
45	4, 44	eqtrid 2274	. . . . . 6
46		eqeq1 2236	. . . . . 6
47	45, 46	imbitrrid 156	. . . . 5
48	2, 3, 47	mp2b 8	. . . 4
49		reseq2 5000	. . . . . 6
50	49	coeq2d 4884	. . . . 5
51	50	eqeq1d 2238	. . . 4
52	48, 51	imbitrrid 156	. . 3
53	1, 52	mpcom 36	. 2
54	53, 6	eqtrd 2262	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1395

cun 3195

wss 3197

cuni 3888

cid 4379

cdm 4719

crn 4720

cres 4721

ccom 4723

wrel 4724

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-sep 4202 ax-pow 4258 ax-pr 4293

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 1004 df-tru 1398 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ral 2513 df-rex 2514 df-v 2801 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-br 4084 df-opab 4146 df-id 4384 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731

This theorem is referenced by: (None)

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