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Theorem relcoi1 5070

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
relcoi1

**Proof of Theorem relcoi1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 5067	. . 3
2		resundi 4832	. . . . 5
3		coeq2 4697	. . . . 5
4		coundi 5040	. . . . . . 7
5		resco 5043	. . . . . . . 8
6		coi1 5054	. . . . . . . . 9
7		reseq1 4813	. . . . . . . . . 10
8		resdm 4858	. . . . . . . . . . 11
9		eqtr 2157	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		eqtr 2157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11		resco 5043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12		uneq1 3223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13		reseq1 4813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14		eqtr 2157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
15	14	uneq2d 3230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
16		eqtr 2157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
17		resss 4843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18		ssequn2 3249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19	17, 18	mpbi 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20	6, 19	syl6reqr 2191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21		eqeq1 2146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22	20, 21	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23	16, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
24	23	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25	24	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	15, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	26	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28	27	eqcoms 2142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	13, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	6, 30	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	11, 12, 32	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
35	34	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	eqcoms 2142	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14
38	9, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
39	38	ex 114	. . . . . . . . . . . 12
40	39	com3l 81	. . . . . . . . . . 11
41	8, 40	mpcom 36	. . . . . . . . . 10
42	7, 41	syl5com 29	. . . . . . . . 9
43	6, 42	mpcom 36	. . . . . . . 8
44	5, 43	mpi 15	. . . . . . 7
45	4, 44	syl5eq 2184	. . . . . 6
46		eqeq1 2146	. . . . . 6
47	45, 46	syl5ibr 155	. . . . 5
48	2, 3, 47	mp2b 8	. . . 4
49		reseq2 4814	. . . . . 6
50	49	coeq2d 4701	. . . . 5
51	50	eqeq1d 2148	. . . 4
52	48, 51	syl5ibr 155	. . 3
53	1, 52	mpcom 36	. 2
54	53, 6	eqtrd 2172	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wceq 1331

cun 3069

wss 3071

cuni 3736

cid 4210

cdm 4539

crn 4540

cres 4541

ccom 4543

wrel 4544

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-sep 4046 ax-pow 4098 ax-pr 4131

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 964 df-tru 1334 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ral 2421 df-rex 2422 df-v 2688 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-br 3930 df-opab 3990 df-id 4215 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551

This theorem is referenced by: (None)

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