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Theorem relcoi1 5110

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
relcoi1

**Proof of Theorem relcoi1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 5107	. . 3
2		resundi 4872	. . . . 5
3		coeq2 4737	. . . . 5
4		coundi 5080	. . . . . . 7
5		resco 5083	. . . . . . . 8
6		coi1 5094	. . . . . . . . 9
7		reseq1 4853	. . . . . . . . . 10
8		resdm 4898	. . . . . . . . . . 11
9		eqtr 2172	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		eqtr 2172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11		resco 5083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12		uneq1 3250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13		reseq1 4853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14		eqtr 2172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
15	14	uneq2d 3257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
16		eqtr 2172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
17		resss 4883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18		ssequn2 3276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19	17, 18	mpbi 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20	19, 6	eqtr4id 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21		eqeq1 2161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22	20, 21	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23	16, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
24	23	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25	24	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	15, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	26	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28	27	eqcoms 2157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	13, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	6, 30	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	11, 12, 32	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
35	34	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	eqcoms 2157	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14
38	9, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
39	38	ex 114	. . . . . . . . . . . 12
40	39	com3l 81	. . . . . . . . . . 11
41	8, 40	mpcom 36	. . . . . . . . . 10
42	7, 41	syl5com 29	. . . . . . . . 9
43	6, 42	mpcom 36	. . . . . . . 8
44	5, 43	mpi 15	. . . . . . 7
45	4, 44	syl5eq 2199	. . . . . 6
46		eqeq1 2161	. . . . . 6
47	45, 46	syl5ibr 155	. . . . 5
48	2, 3, 47	mp2b 8	. . . 4
49		reseq2 4854	. . . . . 6
50	49	coeq2d 4741	. . . . 5
51	50	eqeq1d 2163	. . . 4
52	48, 51	syl5ibr 155	. . 3
53	1, 52	mpcom 36	. 2
54	53, 6	eqtrd 2187	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wceq 1332

cun 3096

wss 3098

cuni 3768

cid 4243

cdm 4579

crn 4580

cres 4581

ccom 4583

wrel 4584

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1481 ax-10 1482 ax-11 1483 ax-i12 1484 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-17 1503 ax-i9 1507 ax-ial 1511 ax-i5r 1512 ax-14 2128 ax-ext 2136 ax-sep 4078 ax-pow 4130 ax-pr 4164

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 965 df-tru 1335 df-nf 1438 df-sb 1740 df-eu 2006 df-mo 2007 df-clab 2141 df-cleq 2147 df-clel 2150 df-nfc 2285 df-ral 2437 df-rex 2438 df-v 2711 df-un 3102 df-in 3104 df-ss 3111 df-pw 3541 df-sn 3562 df-pr 3563 df-op 3565 df-uni 3769 df-br 3962 df-opab 4022 df-id 4248 df-xp 4585 df-rel 4586 df-cnv 4587 df-co 4588 df-dm 4589 df-rn 4590 df-res 4591

This theorem is referenced by: (None)

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