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Theorem relcoi1 5172

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
relcoi1

**Proof of Theorem relcoi1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 5169	. . 3
2		resundi 4932	. . . . 5
3		coeq2 4797	. . . . 5
4		coundi 5142	. . . . . . 7
5		resco 5145	. . . . . . . 8
6		coi1 5156	. . . . . . . . 9
7		reseq1 4913	. . . . . . . . . 10
8		resdm 4958	. . . . . . . . . . 11
9		eqtr 2205	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		eqtr 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11		resco 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12		uneq1 3294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13		reseq1 4913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14		eqtr 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
15	14	uneq2d 3301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
16		eqtr 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
17		resss 4943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18		ssequn2 3320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19	17, 18	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20	19, 6	eqtr4id 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21		eqeq1 2194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22	20, 21	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23	16, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
24	23	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25	24	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	15, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	26	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28	27	eqcoms 2190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	13, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	6, 30	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	11, 12, 32	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
35	34	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	eqcoms 2190	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14
38	9, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
39	38	ex 115	. . . . . . . . . . . 12
40	39	com3l 81	. . . . . . . . . . 11
41	8, 40	mpcom 36	. . . . . . . . . 10
42	7, 41	syl5com 29	. . . . . . . . 9
43	6, 42	mpcom 36	. . . . . . . 8
44	5, 43	mpi 15	. . . . . . 7
45	4, 44	eqtrid 2232	. . . . . 6
46		eqeq1 2194	. . . . . 6
47	45, 46	imbitrrid 156	. . . . 5
48	2, 3, 47	mp2b 8	. . . 4
49		reseq2 4914	. . . . . 6
50	49	coeq2d 4801	. . . . 5
51	50	eqeq1d 2196	. . . 4
52	48, 51	imbitrrid 156	. . 3
53	1, 52	mpcom 36	. 2
54	53, 6	eqtrd 2220	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1363

cun 3139

wss 3141

cuni 3821

cid 4300

cdm 4638

crn 4639

cres 4640

ccom 4642

wrel 4643

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 981 df-tru 1366 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ral 2470 df-rex 2471 df-v 2751 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-br 4016 df-opab 4077 df-id 4305 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650

This theorem is referenced by: (None)

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