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Theorem relcoi1 5314

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
relcoi1

**Proof of Theorem relcoi1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 5311	. . 3
2		resundi 5071	. . . . 5
3		coeq2 4933	. . . . 5
4		coundi 5284	. . . . . . 7
5		resco 5287	. . . . . . . 8
6		coi1 5298	. . . . . . . . 9
7		reseq1 5052	. . . . . . . . . 10
8		resdm 5097	. . . . . . . . . . 11
9		eqtr 2256	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		eqtr 2256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11		resco 5287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12		uneq1 3376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13		reseq1 5052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14		eqtr 2256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
15	14	uneq2d 3383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
16		eqtr 2256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
17		resss 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18		ssequn2 3402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19	17, 18	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20	19, 6	eqtr4id 2290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22	20, 21	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23	16, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
24	23	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25	24	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	15, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	26	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28	27	eqcoms 2241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	13, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	6, 30	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	11, 12, 32	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
35	34	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	eqcoms 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14
38	9, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
39	38	ex 115	. . . . . . . . . . . 12
40	39	com3l 81	. . . . . . . . . . 11
41	8, 40	mpcom 36	. . . . . . . . . 10
42	7, 41	syl5com 29	. . . . . . . . 9
43	6, 42	mpcom 36	. . . . . . . 8
44	5, 43	mpi 15	. . . . . . 7
45	4, 44	eqtrid 2283	. . . . . 6
46		eqeq1 2245	. . . . . 6
47	45, 46	imbitrrid 156	. . . . 5
48	2, 3, 47	mp2b 8	. . . 4
49		reseq2 5053	. . . . . 6
50	49	coeq2d 4937	. . . . 5
51	50	eqeq1d 2247	. . . 4
52	48, 51	imbitrrid 156	. . 3
53	1, 52	mpcom 36	. 2
54	53, 6	eqtrd 2271	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1402

cun 3218

wss 3220

cuni 3930

cid 4428

cdm 4769

crn 4770

cres 4771

ccom 4773

wrel 4774

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-sep 4244 ax-pow 4306 ax-pr 4341

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 1011 df-tru 1405 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ral 2533 df-rex 2534 df-v 2823 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-pw 3687 df-sn 3711 df-pr 3712 df-op 3714 df-uni 3931 df-br 4126 df-opab 4188 df-id 4433 df-xp 4775 df-rel 4776 df-cnv 4777 df-co 4778 df-dm 4779 df-rn 4780 df-res 4781

This theorem is referenced by: (None)

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