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Theorem relcoi1 5038
Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
relcoi1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )

Proof of Theorem relcoi1
StepHypRef Expression
1 relfld 5035 . . 3  |-  ( Rel 
R  ->  U. U. R  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
2 resundi 4800 . . . . 5  |-  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) )
3 coeq2 4665 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( (  _I  |`  dom  R )  u.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) ) )
4 coundi 5008 . . . . . . 7  |-  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R )  u.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )
5 resco 5011 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )
6 coi1 5022 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  _I  )  =  R )
7 reseq1 4781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  =  ( R  |`  dom  R
) )
8 resdm 4826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
dom  R )  =  R )
9 eqtr 2133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  |`  dom  R )  /\  ( R  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  R )
10 eqtr 2133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  =  R )
11 resco 5011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )
12 uneq1 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  R  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) ) )
13 reseq1 4781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  =  ( R  |`  ran  R
) )
14 eqtr 2133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  =  ( R  |`  ran  R ) )
1514uneq2d 3198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )
16 eqtr 2133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  /\  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )
17 resss 4811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( R  |`  ran  R )  C_  R
18 ssequn2 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( R  |`  ran  R ) 
C_  R  <->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  R )
1917, 18mpbi 144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  R
206, 19syl6reqr 2167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  ( R  o.  _I  )
)
21 eqeq1 2122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) 
<->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
2220, 21syl5ibr 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
2316, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  /\  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
2423ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  ->  ( ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
2524com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
2615, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
ran  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
2726ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  ran  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R )  -> 
( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
2827eqcoms 2118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R
)  =  ( R  |`  ran  R )  -> 
( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
2928com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  |`  ran  R )  ->  ( Rel  R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
3013, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
316, 30mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3231com3l 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  ran  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) )  ->  (
( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  -> 
( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3311, 12, 32mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  R  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
3410, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |` 
dom  R )  /\  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
3534ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  =  ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3635eqcoms 2118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( Rel  R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3736com3l 81 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  R  ->  ( Rel  R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
389, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  |`  dom  R )  /\  ( R  |`  dom  R
)  =  R )  ->  ( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  u.  ( R  o.  (  _I  |` 
ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
3938ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  |`  dom  R )  ->  (
( R  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( Rel  R  ->  ( ( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
4039com3l 81 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  |`  dom  R )  =  R  ->  ( Rel  R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  |`  dom  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) ) )
418, 40mpcom 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  |`  dom  R )  ->  (
( ( R  o.  _I  )  |`  dom  R
)  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
427, 41syl5com 29 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  o.  _I  )  =  R  ->  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) ) )
436, 42mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( Rel 
R  ->  ( (
( R  o.  _I  )  |`  dom  R )  =  ( R  o.  (  _I  |`  dom  R
) )  ->  (
( R  o.  (  _I  |`  dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
445, 43mpi 15 . . . . . . 7  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
dom  R ) )  u.  ( R  o.  (  _I  |`  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
454, 44syl5eq 2160 . . . . . 6  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
46 eqeq1 2122 . . . . . 6  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  ->  ( ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  )  <->  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
4745, 46syl5ibr 155 . . . . 5  |-  ( ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) )  =  ( R  o.  ( (  _I  |`  dom  R
)  u.  (  _I  |`  ran  R ) ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
482, 3, 47mp2b 8 . . . 4  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
49 reseq2 4782 . . . . . 6  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  (  _I  |` 
U. U. R )  =  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
5049coeq2d 4669 . . . . 5  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) ) ) )
5150eqeq1d 2124 . . . 4  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( ( R  o.  (  _I  |` 
U. U. R ) )  =  ( R  o.  _I  )  <->  ( R  o.  (  _I  |`  ( dom 
R  u.  ran  R
) ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
5248, 51syl5ibr 155 . . 3  |-  ( U. U. R  =  ( dom 
R  u.  ran  R
)  ->  ( Rel  R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R  o.  _I  ) ) )
531, 52mpcom 36 . 2  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  ( R  o.  _I  ) )
5453, 6eqtrd 2148 1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    u. cun 3037    C_ wss 3039   U.cuni 3704    _I cid 4178   dom cdm 4507   ran crn 4508    |` cres 4509    o. ccom 4511   Rel wrel 4512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519
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