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Theorem relcoi1 5142

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
relcoi1

**Proof of Theorem relcoi1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 5139	. . 3
2		resundi 4904	. . . . 5
3		coeq2 4769	. . . . 5
4		coundi 5112	. . . . . . 7
5		resco 5115	. . . . . . . 8
6		coi1 5126	. . . . . . . . 9
7		reseq1 4885	. . . . . . . . . 10
8		resdm 4930	. . . . . . . . . . 11
9		eqtr 2188	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		eqtr 2188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11		resco 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12		uneq1 3274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13		reseq1 4885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14		eqtr 2188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
15	14	uneq2d 3281	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
16		eqtr 2188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
17		resss 4915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18		ssequn2 3300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19	17, 18	mpbi 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20	19, 6	eqtr4id 2222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22	20, 21	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23	16, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
24	23	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25	24	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	15, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	26	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28	27	eqcoms 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	13, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	6, 30	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	11, 12, 32	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
35	34	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	eqcoms 2173	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14
38	9, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
39	38	ex 114	. . . . . . . . . . . 12
40	39	com3l 81	. . . . . . . . . . 11
41	8, 40	mpcom 36	. . . . . . . . . 10
42	7, 41	syl5com 29	. . . . . . . . 9
43	6, 42	mpcom 36	. . . . . . . 8
44	5, 43	mpi 15	. . . . . . 7
45	4, 44	eqtrid 2215	. . . . . 6
46		eqeq1 2177	. . . . . 6
47	45, 46	syl5ibr 155	. . . . 5
48	2, 3, 47	mp2b 8	. . . 4
49		reseq2 4886	. . . . . 6
50	49	coeq2d 4773	. . . . 5
51	50	eqeq1d 2179	. . . 4
52	48, 51	syl5ibr 155	. . 3
53	1, 52	mpcom 36	. 2
54	53, 6	eqtrd 2203	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wceq 1348

cun 3119

wss 3121

cuni 3796

cid 4273

cdm 4611

crn 4612

cres 4613

ccom 4615

wrel 4616

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-sep 4107 ax-pow 4160 ax-pr 4194

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 975 df-tru 1351 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ral 2453 df-rex 2454 df-v 2732 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-br 3990 df-opab 4051 df-id 4278 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623

This theorem is referenced by: (None)

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