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Theorem relcoi1 5233

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
relcoi1

**Proof of Theorem relcoi1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 5230	. . 3
2		resundi 4991	. . . . 5
3		coeq2 4854	. . . . 5
4		coundi 5203	. . . . . . 7
5		resco 5206	. . . . . . . 8
6		coi1 5217	. . . . . . . . 9
7		reseq1 4972	. . . . . . . . . 10
8		resdm 5017	. . . . . . . . . . 11
9		eqtr 2225	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		eqtr 2225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11		resco 5206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12		uneq1 3328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13		reseq1 4972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14		eqtr 2225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
15	14	uneq2d 3335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
16		eqtr 2225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
17		resss 5002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18		ssequn2 3354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19	17, 18	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20	19, 6	eqtr4id 2259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21		eqeq1 2214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22	20, 21	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23	16, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
24	23	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25	24	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	15, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	26	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28	27	eqcoms 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	13, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	6, 30	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	11, 12, 32	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
35	34	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	eqcoms 2210	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14
38	9, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
39	38	ex 115	. . . . . . . . . . . 12
40	39	com3l 81	. . . . . . . . . . 11
41	8, 40	mpcom 36	. . . . . . . . . 10
42	7, 41	syl5com 29	. . . . . . . . 9
43	6, 42	mpcom 36	. . . . . . . 8
44	5, 43	mpi 15	. . . . . . 7
45	4, 44	eqtrid 2252	. . . . . 6
46		eqeq1 2214	. . . . . 6
47	45, 46	imbitrrid 156	. . . . 5
48	2, 3, 47	mp2b 8	. . . 4
49		reseq2 4973	. . . . . 6
50	49	coeq2d 4858	. . . . 5
51	50	eqeq1d 2216	. . . 4
52	48, 51	imbitrrid 156	. . 3
53	1, 52	mpcom 36	. 2
54	53, 6	eqtrd 2240	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1373

cun 3172

wss 3174

cuni 3864

cid 4353

cdm 4693

crn 4694

cres 4695

ccom 4697

wrel 4698

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-14 2181 ax-ext 2189 ax-sep 4178 ax-pow 4234 ax-pr 4269

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 983 df-tru 1376 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2194 df-cleq 2200 df-clel 2203 df-nfc 2339 df-ral 2491 df-rex 2492 df-v 2778 df-un 3178 df-in 3180 df-ss 3187 df-pw 3628 df-sn 3649 df-pr 3650 df-op 3652 df-uni 3865 df-br 4060 df-opab 4122 df-id 4358 df-xp 4699 df-rel 4700 df-cnv 4701 df-co 4702 df-dm 4703 df-rn 4704 df-res 4705

This theorem is referenced by: (None)

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