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Theorem relcoi1 5294

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
relcoi1

**Proof of Theorem relcoi1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 5291	. . 3
2		resundi 5051	. . . . 5
3		coeq2 4913	. . . . 5
4		coundi 5264	. . . . . . 7
5		resco 5267	. . . . . . . 8
6		coi1 5278	. . . . . . . . 9
7		reseq1 5032	. . . . . . . . . 10
8		resdm 5077	. . . . . . . . . . 11
9		eqtr 2250	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		eqtr 2250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11		resco 5267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12		uneq1 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13		reseq1 5032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14		eqtr 2250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
15	14	uneq2d 3373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
16		eqtr 2250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
17		resss 5062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18		ssequn2 3392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19	17, 18	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20	19, 6	eqtr4id 2284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21		eqeq1 2239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22	20, 21	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23	16, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
24	23	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25	24	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	15, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	26	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28	27	eqcoms 2235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	13, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	6, 30	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	11, 12, 32	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
35	34	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	eqcoms 2235	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14
38	9, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
39	38	ex 115	. . . . . . . . . . . 12
40	39	com3l 81	. . . . . . . . . . 11
41	8, 40	mpcom 36	. . . . . . . . . 10
42	7, 41	syl5com 29	. . . . . . . . 9
43	6, 42	mpcom 36	. . . . . . . 8
44	5, 43	mpi 15	. . . . . . 7
45	4, 44	eqtrid 2277	. . . . . 6
46		eqeq1 2239	. . . . . 6
47	45, 46	imbitrrid 156	. . . . 5
48	2, 3, 47	mp2b 8	. . . 4
49		reseq2 5033	. . . . . 6
50	49	coeq2d 4917	. . . . 5
51	50	eqeq1d 2241	. . . 4
52	48, 51	imbitrrid 156	. . 3
53	1, 52	mpcom 36	. 2
54	53, 6	eqtrd 2265	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1398

cun 3209

wss 3211

cuni 3914

cid 4409

cdm 4749

crn 4750

cres 4751

ccom 4753

wrel 4754

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-14 2206 ax-ext 2214 ax-sep 4228 ax-pow 4287 ax-pr 4322

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 1007 df-tru 1401 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2083 df-mo 2084 df-clab 2219 df-cleq 2225 df-clel 2228 df-nfc 2373 df-ral 2525 df-rex 2526 df-v 2815 df-un 3215 df-in 3217 df-ss 3224 df-pw 3671 df-sn 3695 df-pr 3696 df-op 3698 df-uni 3915 df-br 4110 df-opab 4172 df-id 4414 df-xp 4755 df-rel 4756 df-cnv 4757 df-co 4758 df-dm 4759 df-rn 4760 df-res 4761

This theorem is referenced by: (None)

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