relcoi1 - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > relcoi1		Unicode version

Theorem relcoi1 5135

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
relcoi1

**Proof of Theorem relcoi1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 5132	. . 3
2		resundi 4897	. . . . 5
3		coeq2 4762	. . . . 5
4		coundi 5105	. . . . . . 7
5		resco 5108	. . . . . . . 8
6		coi1 5119	. . . . . . . . 9
7		reseq1 4878	. . . . . . . . . 10
8		resdm 4923	. . . . . . . . . . 11
9		eqtr 2183	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		eqtr 2183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11		resco 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12		uneq1 3269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13		reseq1 4878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14		eqtr 2183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
15	14	uneq2d 3276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
16		eqtr 2183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
17		resss 4908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18		ssequn2 3295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19	17, 18	mpbi 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20	19, 6	eqtr4id 2218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21		eqeq1 2172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22	20, 21	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23	16, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
24	23	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25	24	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	15, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	26	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28	27	eqcoms 2168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	13, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	6, 30	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	11, 12, 32	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
35	34	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	eqcoms 2168	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14
38	9, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
39	38	ex 114	. . . . . . . . . . . 12
40	39	com3l 81	. . . . . . . . . . 11
41	8, 40	mpcom 36	. . . . . . . . . 10
42	7, 41	syl5com 29	. . . . . . . . 9
43	6, 42	mpcom 36	. . . . . . . 8
44	5, 43	mpi 15	. . . . . . 7
45	4, 44	syl5eq 2211	. . . . . 6
46		eqeq1 2172	. . . . . 6
47	45, 46	syl5ibr 155	. . . . 5
48	2, 3, 47	mp2b 8	. . . 4
49		reseq2 4879	. . . . . 6
50	49	coeq2d 4766	. . . . 5
51	50	eqeq1d 2174	. . . 4
52	48, 51	syl5ibr 155	. . 3
53	1, 52	mpcom 36	. 2
54	53, 6	eqtrd 2198	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wceq 1343

cun 3114

wss 3116

cuni 3789

cid 4266

cdm 4604

crn 4605

cres 4606

ccom 4608

wrel 4609

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-sep 4100 ax-pow 4153 ax-pr 4187

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 970 df-tru 1346 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ral 2449 df-rex 2450 df-v 2728 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-br 3983 df-opab 4044 df-id 4271 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616

This theorem is referenced by: (None)

W3C validator