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Theorem relcoi1 5078

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
relcoi1

**Proof of Theorem relcoi1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 5075	. . 3
2		resundi 4840	. . . . 5
3		coeq2 4705	. . . . 5
4		coundi 5048	. . . . . . 7
5		resco 5051	. . . . . . . 8
6		coi1 5062	. . . . . . . . 9
7		reseq1 4821	. . . . . . . . . 10
8		resdm 4866	. . . . . . . . . . 11
9		eqtr 2158	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		eqtr 2158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11		resco 5051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12		uneq1 3228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13		reseq1 4821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14		eqtr 2158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
15	14	uneq2d 3235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
16		eqtr 2158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
17		resss 4851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18		ssequn2 3254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19	17, 18	mpbi 144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20	19, 6	eqtr4id 2192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21		eqeq1 2147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22	20, 21	syl5ibr 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23	16, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
24	23	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25	24	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	15, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	26	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28	27	eqcoms 2143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	13, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	6, 30	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	11, 12, 32	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
35	34	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	eqcoms 2143	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14
38	9, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
39	38	ex 114	. . . . . . . . . . . 12
40	39	com3l 81	. . . . . . . . . . 11
41	8, 40	mpcom 36	. . . . . . . . . 10
42	7, 41	syl5com 29	. . . . . . . . 9
43	6, 42	mpcom 36	. . . . . . . 8
44	5, 43	mpi 15	. . . . . . 7
45	4, 44	syl5eq 2185	. . . . . 6
46		eqeq1 2147	. . . . . 6
47	45, 46	syl5ibr 155	. . . . 5
48	2, 3, 47	mp2b 8	. . . 4
49		reseq2 4822	. . . . . 6
50	49	coeq2d 4709	. . . . 5
51	50	eqeq1d 2149	. . . 4
52	48, 51	syl5ibr 155	. . 3
53	1, 52	mpcom 36	. 2
54	53, 6	eqtrd 2173	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wceq 1332

cun 3074

wss 3076

cuni 3744

cid 4218

cdm 4547

crn 4548

cres 4549

ccom 4551

wrel 4552

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-sep 4054 ax-pow 4106 ax-pr 4139

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 965 df-tru 1335 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ral 2422 df-rex 2423 df-v 2691 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-br 3938 df-opab 3998 df-id 4223 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559

This theorem is referenced by: (None)

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