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Theorem relcoi1 5157

Description: Composition with the identity relation restricted to a relation's field. (Contributed by FL, 8-May-2011.)

**Assertion**
Ref	Expression
relcoi1

**Proof of Theorem relcoi1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 5154	. . 3
2		resundi 4917	. . . . 5
3		coeq2 4782	. . . . 5
4		coundi 5127	. . . . . . 7
5		resco 5130	. . . . . . . 8
6		coi1 5141	. . . . . . . . 9
7		reseq1 4898	. . . . . . . . . 10
8		resdm 4943	. . . . . . . . . . 11
9		eqtr 2195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
10		eqtr 2195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
11		resco 5130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12		uneq1 3282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
13		reseq1 4898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14		eqtr 2195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
15	14	uneq2d 3289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
16		eqtr 2195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$
17		resss 4928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
18		ssequn2 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
19	17, 18	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
20	19, 6	eqtr4id 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
21		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
22	20, 21	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
23	16, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
24	23	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25	24	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26	15, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
27	26	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
28	27	eqcoms 2180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
29	28	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
30	13, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
31	6, 30	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
32	31	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
33	11, 12, 32	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
35	34	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	eqcoms 2180	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	36	com3l 81	. . . . . . . . . . . . . 14
38	9, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
39	38	ex 115	. . . . . . . . . . . 12
40	39	com3l 81	. . . . . . . . . . 11
41	8, 40	mpcom 36	. . . . . . . . . 10
42	7, 41	syl5com 29	. . . . . . . . 9
43	6, 42	mpcom 36	. . . . . . . 8
44	5, 43	mpi 15	. . . . . . 7
45	4, 44	eqtrid 2222	. . . . . 6
46		eqeq1 2184	. . . . . 6
47	45, 46	imbitrrid 156	. . . . 5
48	2, 3, 47	mp2b 8	. . . 4
49		reseq2 4899	. . . . . 6
50	49	coeq2d 4786	. . . . 5
51	50	eqeq1d 2186	. . . 4
52	48, 51	imbitrrid 156	. . 3
53	1, 52	mpcom 36	. 2
54	53, 6	eqtrd 2210	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1353

cun 3127

wss 3129

cuni 3808

cid 4286

cdm 4624

crn 4625

cres 4626

ccom 4628

wrel 4629

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4119 ax-pow 4172 ax-pr 4207

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ral 2460 df-rex 2461 df-v 2739 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3809 df-br 4002 df-opab 4063 df-id 4291 df-xp 4630 df-rel 4631 df-cnv 4632 df-co 4633 df-dm 4634 df-rn 4635 df-res 4636

This theorem is referenced by: (None)

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