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Theorem relresfld 5036
Description: Restriction of a relation to its field. (Contributed by FL, 15-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
relresfld  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R )

Proof of Theorem relresfld
StepHypRef Expression
1 relfld 5035 . . . 4  |-  ( Rel 
R  ->  U. U. R  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
21reseq2d 4787 . . 3  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
3 resundi 4800 . . 3  |-  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) )
4 eqtr 2133 . . . 4  |-  ( ( ( R  |`  U. U. R )  =  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  /\  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )  ->  ( R  |`  U. U. R
)  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )
5 resss 4811 . . . . 5  |-  ( R  |`  ran  R )  C_  R
6 resdm 4826 . . . . 5  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
dom  R )  =  R )
7 ssequn2 3217 . . . . . 6  |-  ( ( R  |`  ran  R ) 
C_  R  <->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  R )
8 uneq1 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  |`  dom  R )  =  R  ->  (
( R  |`  dom  R
)  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) ) )
98eqeq2d 2127 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  |`  dom  R )  =  R  ->  (
( R  |`  U. U. R )  =  ( ( R  |`  dom  R
)  u.  ( R  |`  ran  R ) )  <-> 
( R  |`  U. U. R )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) ) )
10 eqtr 2133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  |`  U. U. R )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  /\  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  R )  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R )
1110ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  |`  U. U. R
)  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  -> 
( ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  R  ->  ( R  |`  U.
U. R )  =  R ) )
129, 11syl6bi 162 . . . . . . 7  |-  ( ( R  |`  dom  R )  =  R  ->  (
( R  |`  U. U. R )  =  ( ( R  |`  dom  R
)  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R ) ) )
1312com3r 79 . . . . . 6  |-  ( ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  R  ->  (
( R  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( ( R  |`  U.
U. R )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R ) ) )
147, 13sylbi 120 . . . . 5  |-  ( ( R  |`  ran  R ) 
C_  R  ->  (
( R  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( ( R  |`  U.
U. R )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R ) ) )
155, 6, 14mpsyl 65 . . . 4  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( R  |`  U. U. R
)  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) )  -> 
( R  |`  U. U. R )  =  R ) )
164, 15syl5com 29 . . 3  |-  ( ( ( R  |`  U. U. R )  =  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  /\  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R ) )
172, 3, 16sylancl 407 . 2  |-  ( Rel 
R  ->  ( Rel  R  ->  ( R  |`  U.
U. R )  =  R ) )
1817pm2.43i 49 1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1314    u. cun 3037    C_ wss 3039   U.cuni 3704   dom cdm 4507   ran crn 4508    |` cres 4509   Rel wrel 4512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519
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