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Theorem relresfld 5153
Description: Restriction of a relation to its field. (Contributed by FL, 15-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
relresfld  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R )

Proof of Theorem relresfld
StepHypRef Expression
1 relfld 5152 . . . 4  |-  ( Rel 
R  ->  U. U. R  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
21reseq2d 4902 . . 3  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
3 resundi 4915 . . 3  |-  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) )
4 eqtr 2195 . . . 4  |-  ( ( ( R  |`  U. U. R )  =  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  /\  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )  ->  ( R  |`  U. U. R
)  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )
5 resss 4926 . . . . 5  |-  ( R  |`  ran  R )  C_  R
6 resdm 4941 . . . . 5  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
dom  R )  =  R )
7 ssequn2 3308 . . . . . 6  |-  ( ( R  |`  ran  R ) 
C_  R  <->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  R )
8 uneq1 3282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  |`  dom  R )  =  R  ->  (
( R  |`  dom  R
)  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) ) )
98eqeq2d 2189 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  |`  dom  R )  =  R  ->  (
( R  |`  U. U. R )  =  ( ( R  |`  dom  R
)  u.  ( R  |`  ran  R ) )  <-> 
( R  |`  U. U. R )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) ) )
10 eqtr 2195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  |`  U. U. R )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  /\  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  R )  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R )
1110ex 115 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  |`  U. U. R
)  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  -> 
( ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  R  ->  ( R  |`  U.
U. R )  =  R ) )
129, 11syl6bi 163 . . . . . . 7  |-  ( ( R  |`  dom  R )  =  R  ->  (
( R  |`  U. U. R )  =  ( ( R  |`  dom  R
)  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R ) ) )
1312com3r 79 . . . . . 6  |-  ( ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  R  ->  (
( R  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( ( R  |`  U.
U. R )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R ) ) )
147, 13sylbi 121 . . . . 5  |-  ( ( R  |`  ran  R ) 
C_  R  ->  (
( R  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( ( R  |`  U.
U. R )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R ) ) )
155, 6, 14mpsyl 65 . . . 4  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( R  |`  U. U. R
)  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) )  -> 
( R  |`  U. U. R )  =  R ) )
164, 15syl5com 29 . . 3  |-  ( ( ( R  |`  U. U. R )  =  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  /\  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R ) )
172, 3, 16sylancl 413 . 2  |-  ( Rel 
R  ->  ( Rel  R  ->  ( R  |`  U.
U. R )  =  R ) )
1817pm2.43i 49 1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    u. cun 3127    C_ wss 3129   U.cuni 3807   dom cdm 4622   ran crn 4623    |` cres 4624   Rel wrel 4627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634
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