Theorem relresfld 5273

Description: Restriction of a relation to its field. (Contributed by FL, 15-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
relresfld	|- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R )

Proof of Theorem relresfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 5272	. . . 4 |- ( Rel R -> U. U. R = ( dom R u. ran R ) )
2	1	reseq2d 5019	. . 3 |- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) )
3		resundi 5032	. . 3 |- ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) )
4		eqtr 2249	. . . 4 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) /\ ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) ) -> ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) )
5		resss 5043	. . . . 5 |- ( R |` ran R ) C_ R
6		resdm 5058	. . . . 5 |- ( Rel R -> ( R |` dom R ) = R )
7		ssequn2 3382	. . . . . 6 |- ( ( R |` ran R ) C_ R <-> ( R u. ( R |` ran R ) ) = R )
8		uneq1 3356	. . . . . . . . 9 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) )
9	8	eqeq2d 2243	. . . . . . . 8 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) <-> ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) ) )
10		eqtr 2249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) /\ ( R u. ( R |` ran R ) ) = R ) -> ( R |` U. U. R ) = R )
11	10	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) -> ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
12	9, 11	biimtrdi 163	. . . . . . 7 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
13	12	com3r 79	. . . . . 6 |- ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
14	7, 13	sylbi 121	. . . . 5 |- ( ( R |` ran R ) C_ R -> ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
15	5, 6, 14	mpsyl 65	. . . 4 |- ( Rel R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
16	4, 15	syl5com 29	. . 3 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) /\ ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) ) -> ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
17	2, 3, 16	sylancl 413	. 2 |- ( Rel R -> ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
18	17	pm2.43i 49	1 |- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   u. cun 3199   C_ wss 3201   U.cuni 3898   dom cdm 4731   ran crn 4732   |` cres 4733   Rel wrel 4736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743

This theorem is referenced by: (None)