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Theorem relresfld 4928
Description: Restriction of a relation to its field. (Contributed by FL, 15-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
relresfld  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R )

Proof of Theorem relresfld
StepHypRef Expression
1 relfld 4927 . . . 4  |-  ( Rel 
R  ->  U. U. R  =  ( dom  R  u.  ran  R ) )
21reseq2d 4683 . . 3  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R
) ) )
3 resundi 4696 . . 3  |-  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) )
4 eqtr 2102 . . . 4  |-  ( ( ( R  |`  U. U. R )  =  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  /\  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )  ->  ( R  |`  U. U. R
)  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )
5 resss 4706 . . . . 5  |-  ( R  |`  ran  R )  C_  R
6 resdm 4720 . . . . 5  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
dom  R )  =  R )
7 ssequn2 3162 . . . . . 6  |-  ( ( R  |`  ran  R ) 
C_  R  <->  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  R )
8 uneq1 3136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  |`  dom  R )  =  R  ->  (
( R  |`  dom  R
)  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) ) )
98eqeq2d 2096 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  |`  dom  R )  =  R  ->  (
( R  |`  U. U. R )  =  ( ( R  |`  dom  R
)  u.  ( R  |`  ran  R ) )  <-> 
( R  |`  U. U. R )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) ) ) )
10 eqtr 2102 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  |`  U. U. R )  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  /\  ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  R )  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R )
1110ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  |`  U. U. R
)  =  ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  -> 
( ( R  u.  ( R  |`  ran  R
) )  =  R  ->  ( R  |`  U.
U. R )  =  R ) )
129, 11syl6bi 161 . . . . . . 7  |-  ( ( R  |`  dom  R )  =  R  ->  (
( R  |`  U. U. R )  =  ( ( R  |`  dom  R
)  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R ) ) )
1312com3r 78 . . . . . 6  |-  ( ( R  u.  ( R  |`  ran  R ) )  =  R  ->  (
( R  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( ( R  |`  U.
U. R )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R ) ) )
147, 13sylbi 119 . . . . 5  |-  ( ( R  |`  ran  R ) 
C_  R  ->  (
( R  |`  dom  R
)  =  R  -> 
( ( R  |`  U.
U. R )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) )  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R ) ) )
155, 6, 14mpsyl 64 . . . 4  |-  ( Rel 
R  ->  ( ( R  |`  U. U. R
)  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) )  -> 
( R  |`  U. U. R )  =  R ) )
164, 15syl5com 29 . . 3  |-  ( ( ( R  |`  U. U. R )  =  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  /\  ( R  |`  ( dom  R  u.  ran  R ) )  =  ( ( R  |`  dom  R )  u.  ( R  |`  ran  R ) ) )  ->  ( Rel  R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R ) )
172, 3, 16sylancl 404 . 2  |-  ( Rel 
R  ->  ( Rel  R  ->  ( R  |`  U.
U. R )  =  R ) )
1817pm2.43i 48 1  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  |` 
U. U. R )  =  R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1287    u. cun 2986    C_ wss 2988   U.cuni 3638   dom cdm 4413   ran crn 4414    |` cres 4415   Rel wrel 4418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425
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