Theorem relresfld 5076

Description: Restriction of a relation to its field. (Contributed by FL, 15-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
relresfld	|- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R )

Proof of Theorem relresfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 5075	. . . 4 |- ( Rel R -> U. U. R = ( dom R u. ran R ) )
2	1	reseq2d 4827	. . 3 |- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) )
3		resundi 4840	. . 3 |- ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) )
4		eqtr 2158	. . . 4 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) /\ ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) ) -> ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) )
5		resss 4851	. . . . 5 |- ( R |` ran R ) C_ R
6		resdm 4866	. . . . 5 |- ( Rel R -> ( R |` dom R ) = R )
7		ssequn2 3254	. . . . . 6 |- ( ( R |` ran R ) C_ R <-> ( R u. ( R |` ran R ) ) = R )
8		uneq1 3228	. . . . . . . . 9 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) )
9	8	eqeq2d 2152	. . . . . . . 8 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) <-> ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) ) )
10		eqtr 2158	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) /\ ( R u. ( R |` ran R ) ) = R ) -> ( R |` U. U. R ) = R )
11	10	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) -> ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
12	9, 11	syl6bi 162	. . . . . . 7 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
13	12	com3r 79	. . . . . 6 |- ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
14	7, 13	sylbi 120	. . . . 5 |- ( ( R |` ran R ) C_ R -> ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
15	5, 6, 14	mpsyl 65	. . . 4 |- ( Rel R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
16	4, 15	syl5com 29	. . 3 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) /\ ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) ) -> ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
17	2, 3, 16	sylancl 410	. 2 |- ( Rel R -> ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
18	17	pm2.43i 49	1 |- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   u. cun 3074   C_ wss 3076   U.cuni 3744   dom cdm 4547   ran crn 4548   |` cres 4549   Rel wrel 4552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559

This theorem is referenced by: (None)