Theorem relresfld 5133

Description: Restriction of a relation to its field. (Contributed by FL, 15-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
relresfld	|- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R )

Proof of Theorem relresfld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfld 5132	. . . 4 |- ( Rel R -> U. U. R = ( dom R u. ran R ) )
2	1	reseq2d 4884	. . 3 |- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) )
3		resundi 4897	. . 3 |- ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) )
4		eqtr 2183	. . . 4 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) /\ ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) ) -> ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) )
5		resss 4908	. . . . 5 |- ( R |` ran R ) C_ R
6		resdm 4923	. . . . 5 |- ( Rel R -> ( R |` dom R ) = R )
7		ssequn2 3295	. . . . . 6 |- ( ( R |` ran R ) C_ R <-> ( R u. ( R |` ran R ) ) = R )
8		uneq1 3269	. . . . . . . . 9 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) )
9	8	eqeq2d 2177	. . . . . . . 8 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) <-> ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) ) )
10		eqtr 2183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) /\ ( R u. ( R |` ran R ) ) = R ) -> ( R |` U. U. R ) = R )
11	10	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( R |` U. U. R ) = ( R u. ( R |` ran R ) ) -> ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
12	9, 11	syl6bi 162	. . . . . . 7 |- ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
13	12	com3r 79	. . . . . 6 |- ( ( R u. ( R |` ran R ) ) = R -> ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
14	7, 13	sylbi 120	. . . . 5 |- ( ( R |` ran R ) C_ R -> ( ( R |` dom R ) = R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) ) )
15	5, 6, 14	mpsyl 65	. . . 4 |- ( Rel R -> ( ( R |` U. U. R ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
16	4, 15	syl5com 29	. . 3 |- ( ( ( R |` U. U. R ) = ( R |` ( dom R u. ran R ) ) /\ ( R |` ( dom R u. ran R ) ) = ( ( R |` dom R ) u. ( R |` ran R ) ) ) -> ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
17	2, 3, 16	sylancl 410	. 2 |- ( Rel R -> ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R ) )
18	17	pm2.43i 49	1 |- ( Rel R -> ( R |` U. U. R ) = R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   u. cun 3114   C_ wss 3116   U.cuni 3789   dom cdm 4604   ran crn 4605   |` cres 4606   Rel wrel 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616

This theorem is referenced by: (None)