Theorem ssrel 4748

Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssrel	|- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem ssrel

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3174	. . 3 |- ( A C_ B -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1886	. 2 |- ( A C_ B -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
3		eleq1 2256	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. A <-> <. x , y >. e. A ) )
4		eleq1 2256	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. B <-> <. x , y >. e. B ) )
5	3, 4	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( z e. A -> z e. B ) <-> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
6	5	biimprcd 160	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
7	6	2alimi 1467	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> A. x A. y ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
8		19.23vv 1895	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) <-> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
9	7, 8	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
10	9	com23 78	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( z e. A -> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> z e. B ) ) )
11	10	a2d 26	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
12	11	alimdv 1890	. . . 4 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) -> A. z ( z e. A -> z e. B ) ) )
13		df-rel 4667	. . . . 5 |- ( Rel A <-> A C_ ( _V X. _V ) )
14		dfss2 3169	. . . . 5 |- ( A C_ ( _V X. _V ) <-> A. z ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) )
15		elvv 4722	. . . . . . 7 |- ( z e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y z = <. x , y >. )
16	15	imbi2i 226	. . . . . 6 |- ( ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) <-> ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
17	16	albii 1481	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) <-> A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
18	13, 14, 17	3bitri 206	. . . 4 |- ( Rel A <-> A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
19		dfss2 3169	. . . 4 |- ( A C_ B <-> A. z ( z e. A -> z e. B ) )
20	12, 18, 19	3imtr4g 205	. . 3 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( Rel A -> A C_ B ) )
21	20	com12 30	. 2 |- ( Rel A -> ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> A C_ B ) )
22	2, 21	impbid2 143	1 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   <.cop 3622   X. cxp 4658   Rel wrel 4665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-opab 4092  df-xp 4666  df-rel 4667

This theorem is referenced by:  eqrel  4749  relssi  4751  relssdv  4752  cotr  5048  cnvsym  5050  intasym  5051  intirr  5053  codir  5055  qfto  5056