Theorem ssrel 4716

Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. Theorem 3.2(i) of [Monk1] p. 33. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ssrel	|- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem ssrel

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3151	. . 3 |- ( A C_ B -> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
2	1	alrimivv 1875	. 2 |- ( A C_ B -> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
3		eleq1 2240	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. A <-> <. x , y >. e. A ) )
4		eleq1 2240	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. B <-> <. x , y >. e. B ) )
5	3, 4	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( z e. A -> z e. B ) <-> ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
6	5	biimprcd 160	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
7	6	2alimi 1456	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> A. x A. y ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
8		19.23vv 1884	. . . . . . . 8 |- ( A. x A. y ( z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) <-> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
9	7, 8	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
10	9	com23 78	. . . . . 6 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( z e. A -> ( E. x E. y z = <. x , y >. -> z e. B ) ) )
11	10	a2d 26	. . . . 5 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) -> ( z e. A -> z e. B ) ) )
12	11	alimdv 1879	. . . 4 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) -> A. z ( z e. A -> z e. B ) ) )
13		df-rel 4635	. . . . 5 |- ( Rel A <-> A C_ ( _V X. _V ) )
14		dfss2 3146	. . . . 5 |- ( A C_ ( _V X. _V ) <-> A. z ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) )
15		elvv 4690	. . . . . . 7 |- ( z e. ( _V X. _V ) <-> E. x E. y z = <. x , y >. )
16	15	imbi2i 226	. . . . . 6 |- ( ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) <-> ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
17	16	albii 1470	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. A -> z e. ( _V X. _V ) ) <-> A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
18	13, 14, 17	3bitri 206	. . . 4 |- ( Rel A <-> A. z ( z e. A -> E. x E. y z = <. x , y >. ) )
19		dfss2 3146	. . . 4 |- ( A C_ B <-> A. z ( z e. A -> z e. B ) )
20	12, 18, 19	3imtr4g 205	. . 3 |- ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> ( Rel A -> A C_ B ) )
21	20	com12 30	. 2 |- ( Rel A -> ( A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) -> A C_ B ) )
22	2, 21	impbid2 143	1 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   C_ wss 3131   <.cop 3597   X. cxp 4626   Rel wrel 4633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-opab 4067  df-xp 4634  df-rel 4635

This theorem is referenced by:  eqrel  4717  relssi  4719  relssdv  4720  cotr  5012  cnvsym  5014  intasym  5015  intirr  5017  codir  5019  qfto  5020