ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  relssi Unicode version

Theorem relssi 4718
Description: Inference from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)
Hypotheses
Ref Expression
relssi.1  |-  Rel  A
relssi.2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)
Assertion
Ref Expression
relssi  |-  A  C_  B
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y

Proof of Theorem relssi
StepHypRef Expression
1 relssi.1 . . 3  |-  Rel  A
2 ssrel 4715 . . 3  |-  ( Rel 
A  ->  ( A  C_  B  <->  A. x A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( A 
C_  B  <->  A. x A. y ( <. x ,  y >.  e.  A  -> 
<. x ,  y >.  e.  B ) )
4 relssi.2 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)
54ax-gen 1449 . 2  |-  A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  <. x ,  y >.  e.  B
)
63, 5mpgbir 1453 1  |-  A  C_  B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105   A.wal 1351    e. wcel 2148    C_ wss 3130   <.cop 3596   Rel wrel 4632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-opab 4066  df-xp 4633  df-rel 4634
This theorem is referenced by:  resiexg  4953  dftpos4  6264  enssdom  6762  idssen  6777  txuni2  13759
  Copyright terms: Public domain W3C validator