Theorem relssi 4702

Description: Inference from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
relssi.1	|- Rel A
relssi.2	|- ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )

Assertion

Ref	Expression
relssi	|- A C_ B

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem relssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssi.1	. . 3 |- Rel A
2		ssrel 4699	. . 3 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
4		relssi.2	. . 3 |- ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )
5	4	ax-gen 1442	. 2 |- A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )
6	3, 5	mpgbir 1446	1 |- A C_ B

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wal 1346   e. wcel 2141   C_ wss 3121   <.cop 3586   Rel wrel 4616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618

This theorem is referenced by:  resiexg  4936  dftpos4  6242  enssdom  6740  idssen  6755  txuni2  13050