Theorem relssi 4767

Description: Inference from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
relssi.1	|- Rel A
relssi.2	|- ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )

Assertion

Ref	Expression
relssi	|- A C_ B

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem relssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssi.1	. . 3 |- Rel A
2		ssrel 4764	. . 3 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
4		relssi.2	. . 3 |- ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )
5	4	ax-gen 1472	. 2 |- A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )
6	3, 5	mpgbir 1476	1 |- A C_ B

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1371   e. wcel 2176   C_ wss 3166   <.cop 3636   Rel wrel 4681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-opab 4107  df-xp 4682  df-rel 4683

This theorem is referenced by:  resiexg  5005  dftpos4  6351  enssdom  6855  idssen  6870  txuni2  14761