Theorem relssi 4861

Description: Inference from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
relssi.1	|- Rel A
relssi.2	|- ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )

Assertion

Ref	Expression
relssi	|- A C_ B

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem relssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssi.1	. . 3 |- Rel A
2		ssrel 4858	. . 3 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
4		relssi.2	. . 3 |- ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )
5	4	ax-gen 1502	. 2 |- A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )
6	3, 5	mpgbir 1506	1 |- A C_ B

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1400   e. wcel 2209   C_ wss 3220   <.cop 3708   Rel wrel 4774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-opab 4188  df-xp 4775  df-rel 4776

This theorem is referenced by:  resiexg  5103  dftpos4  6524  enssdom  7038  idssen  7053  txuni2  15280