Theorem relssi 4750

Description: Inference from subclass principle for relations. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
relssi.1	|- Rel A
relssi.2	|- ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )

Assertion

Ref	Expression
relssi	|- A C_ B

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem relssi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relssi.1	. . 3 |- Rel A
2		ssrel 4747	. . 3 |- ( Rel A -> ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- ( A C_ B <-> A. x A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B ) )
4		relssi.2	. . 3 |- ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )
5	4	ax-gen 1460	. 2 |- A. y ( <. x , y >. e. A -> <. x , y >. e. B )
6	3, 5	mpgbir 1464	1 |- A C_ B

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wal 1362   e. wcel 2164   C_ wss 3153   <.cop 3621   Rel wrel 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666

This theorem is referenced by:  resiexg  4987  dftpos4  6316  enssdom  6816  idssen  6831  txuni2  14424