Theorem txuni2 12896

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txval.1	|- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
txuni2.1	|- X = U. R
txuni2.2	|- Y = U. S

Assertion

Ref	Expression
txuni2	|- ( X X. Y ) = U. B

Distinct variable groups:   x, y, R   x, S, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem txuni2

Dummy variables r s z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4713	. . 3 |- Rel ( X X. Y )
2		txuni2.1	. . . . . . . 8 |- X = U. R
3	2	eleq2i 2233	. . . . . . 7 |- ( z e. X <-> z e. U. R )
4		eluni2 3793	. . . . . . 7 |- ( z e. U. R <-> E. r e. R z e. r )
5	3, 4	bitri 183	. . . . . 6 |- ( z e. X <-> E. r e. R z e. r )
6		txuni2.2	. . . . . . . 8 |- Y = U. S
7	6	eleq2i 2233	. . . . . . 7 |- ( w e. Y <-> w e. U. S )
8		eluni2 3793	. . . . . . 7 |- ( w e. U. S <-> E. s e. S w e. s )
9	7, 8	bitri 183	. . . . . 6 |- ( w e. Y <-> E. s e. S w e. s )
10	5, 9	anbi12i 456	. . . . 5 |- ( ( z e. X /\ w e. Y ) <-> ( E. r e. R z e. r /\ E. s e. S w e. s ) )
11		opelxp 4634	. . . . 5 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) <-> ( z e. X /\ w e. Y ) )
12		reeanv 2635	. . . . 5 |- ( E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) <-> ( E. r e. R z e. r /\ E. s e. S w e. s ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 211	. . . 4 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) <-> E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) )
14		opelxp 4634	. . . . . 6 |- ( <. z , w >. e. ( r X. s ) <-> ( z e. r /\ w e. s ) )
15		eqid 2165	. . . . . . . . . 10 |- ( r X. s ) = ( r X. s )
16		xpeq1 4618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = r -> ( x X. y ) = ( r X. y ) )
17	16	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = r -> ( ( r X. s ) = ( x X. y ) <-> ( r X. s ) = ( r X. y ) ) )
18		xpeq2 4619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = s -> ( r X. y ) = ( r X. s ) )
19	18	eqeq2d 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = s -> ( ( r X. s ) = ( r X. y ) <-> ( r X. s ) = ( r X. s ) ) )
20	17, 19	rspc2ev 2845	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. R /\ s e. S /\ ( r X. s ) = ( r X. s ) ) -> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
21	15, 20	mp3an3 1316	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
22		vex 2729	. . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
23		vex 2729	. . . . . . . . . . 11 |- s e. _V
24	22, 23	xpex 4719	. . . . . . . . . 10 |- ( r X. s ) e. _V
25		eqeq1 2172	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( r X. s ) -> ( z = ( x X. y ) <-> ( r X. s ) = ( x X. y ) ) )
26	25	2rexbidv 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( r X. s ) -> ( E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) <-> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) ) )
27		txval.1	. . . . . . . . . . 11 |- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
28		eqid 2165	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) = ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
29	28	rnmpo 5952	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) = { z | E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) }
30	27, 29	eqtri 2186	. . . . . . . . . 10 |- B = { z | E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) }
31	24, 26, 30	elab2 2874	. . . . . . . . 9 |- ( ( r X. s ) e. B <-> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
32	21, 31	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( r X. s ) e. B )
33		elssuni 3817	. . . . . . . 8 |- ( ( r X. s ) e. B -> ( r X. s ) C_ U. B )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( r X. s ) C_ U. B )
35	34	sseld 3141	. . . . . 6 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( <. z , w >. e. ( r X. s ) -> <. z , w >. e. U. B ) )
36	14, 35	syl5bir 152	. . . . 5 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( ( z e. r /\ w e. s ) -> <. z , w >. e. U. B ) )
37	36	rexlimivv 2589	. . . 4 |- ( E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) -> <. z , w >. e. U. B )
38	13, 37	sylbi 120	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) -> <. z , w >. e. U. B )
39	1, 38	relssi 4695	. 2 |- ( X X. Y ) C_ U. B
40		elssuni 3817	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. R -> x C_ U. R )
41	40, 2	sseqtrrdi 3191	. . . . . . . . 9 |- ( x e. R -> x C_ X )
42		elssuni 3817	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. S -> y C_ U. S )
43	42, 6	sseqtrrdi 3191	. . . . . . . . 9 |- ( y e. S -> y C_ Y )
44		xpss12 4711	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ X /\ y C_ Y ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
45	41, 43, 44	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
46		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
47		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
48	46, 47	xpex 4719	. . . . . . . . 9 |- ( x X. y ) e. _V
49	48	elpw 3565	. . . . . . . 8 |- ( ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) <-> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
50	45, 49	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) )
51	50	rgen2 2552	. . . . . 6 |- A. x e. R A. y e. S ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y )
52	28	fmpo 6169	. . . . . 6 |- ( A. x e. R A. y e. S ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) <-> ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y ) )
53	51, 52	mpbi 144	. . . . 5 |- ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y )
54		frn 5346	. . . . 5 |- ( ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y ) -> ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) C_ ~P ( X X. Y ) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . 4 |- ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) C_ ~P ( X X. Y )
56	27, 55	eqsstri 3174	. . 3 |- B C_ ~P ( X X. Y )
57		sspwuni 3950	. . 3 |- ( B C_ ~P ( X X. Y ) <-> U. B C_ ( X X. Y ) )
58	56, 57	mpbi 144	. 2 |- U. B C_ ( X X. Y )
59	39, 58	eqssi 3158	1 |- ( X X. Y ) = U. B

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   {cab 2151   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   ~Pcpw 3559   <.cop 3579   U.cuni 3789   X. cxp 4602   ran crn 4605   -->wf 5184   e. cmpo 5844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109

This theorem is referenced by:  txbasex  12897  txtopon  12902