Theorem txuni2 13050

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txval.1	|- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
txuni2.1	|- X = U. R
txuni2.2	|- Y = U. S

Assertion

Ref	Expression
txuni2	|- ( X X. Y ) = U. B

Distinct variable groups:   x, y, R   x, S, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem txuni2

Dummy variables r s z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4720	. . 3 |- Rel ( X X. Y )
2		txuni2.1	. . . . . . . 8 |- X = U. R
3	2	eleq2i 2237	. . . . . . 7 |- ( z e. X <-> z e. U. R )
4		eluni2 3800	. . . . . . 7 |- ( z e. U. R <-> E. r e. R z e. r )
5	3, 4	bitri 183	. . . . . 6 |- ( z e. X <-> E. r e. R z e. r )
6		txuni2.2	. . . . . . . 8 |- Y = U. S
7	6	eleq2i 2237	. . . . . . 7 |- ( w e. Y <-> w e. U. S )
8		eluni2 3800	. . . . . . 7 |- ( w e. U. S <-> E. s e. S w e. s )
9	7, 8	bitri 183	. . . . . 6 |- ( w e. Y <-> E. s e. S w e. s )
10	5, 9	anbi12i 457	. . . . 5 |- ( ( z e. X /\ w e. Y ) <-> ( E. r e. R z e. r /\ E. s e. S w e. s ) )
11		opelxp 4641	. . . . 5 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) <-> ( z e. X /\ w e. Y ) )
12		reeanv 2639	. . . . 5 |- ( E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) <-> ( E. r e. R z e. r /\ E. s e. S w e. s ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 211	. . . 4 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) <-> E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) )
14		opelxp 4641	. . . . . 6 |- ( <. z , w >. e. ( r X. s ) <-> ( z e. r /\ w e. s ) )
15		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 |- ( r X. s ) = ( r X. s )
16		xpeq1 4625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = r -> ( x X. y ) = ( r X. y ) )
17	16	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = r -> ( ( r X. s ) = ( x X. y ) <-> ( r X. s ) = ( r X. y ) ) )
18		xpeq2 4626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = s -> ( r X. y ) = ( r X. s ) )
19	18	eqeq2d 2182	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = s -> ( ( r X. s ) = ( r X. y ) <-> ( r X. s ) = ( r X. s ) ) )
20	17, 19	rspc2ev 2849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. R /\ s e. S /\ ( r X. s ) = ( r X. s ) ) -> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
21	15, 20	mp3an3 1321	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
22		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
23		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- s e. _V
24	22, 23	xpex 4726	. . . . . . . . . 10 |- ( r X. s ) e. _V
25		eqeq1 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( r X. s ) -> ( z = ( x X. y ) <-> ( r X. s ) = ( x X. y ) ) )
26	25	2rexbidv 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( r X. s ) -> ( E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) <-> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) ) )
27		txval.1	. . . . . . . . . . 11 |- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
28		eqid 2170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) = ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
29	28	rnmpo 5963	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) = { z | E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) }
30	27, 29	eqtri 2191	. . . . . . . . . 10 |- B = { z | E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) }
31	24, 26, 30	elab2 2878	. . . . . . . . 9 |- ( ( r X. s ) e. B <-> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
32	21, 31	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( r X. s ) e. B )
33		elssuni 3824	. . . . . . . 8 |- ( ( r X. s ) e. B -> ( r X. s ) C_ U. B )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( r X. s ) C_ U. B )
35	34	sseld 3146	. . . . . 6 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( <. z , w >. e. ( r X. s ) -> <. z , w >. e. U. B ) )
36	14, 35	syl5bir 152	. . . . 5 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( ( z e. r /\ w e. s ) -> <. z , w >. e. U. B ) )
37	36	rexlimivv 2593	. . . 4 |- ( E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) -> <. z , w >. e. U. B )
38	13, 37	sylbi 120	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) -> <. z , w >. e. U. B )
39	1, 38	relssi 4702	. 2 |- ( X X. Y ) C_ U. B
40		elssuni 3824	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. R -> x C_ U. R )
41	40, 2	sseqtrrdi 3196	. . . . . . . . 9 |- ( x e. R -> x C_ X )
42		elssuni 3824	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. S -> y C_ U. S )
43	42, 6	sseqtrrdi 3196	. . . . . . . . 9 |- ( y e. S -> y C_ Y )
44		xpss12 4718	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ X /\ y C_ Y ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
45	41, 43, 44	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
46		vex 2733	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
47		vex 2733	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
48	46, 47	xpex 4726	. . . . . . . . 9 |- ( x X. y ) e. _V
49	48	elpw 3572	. . . . . . . 8 |- ( ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) <-> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
50	45, 49	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) )
51	50	rgen2 2556	. . . . . 6 |- A. x e. R A. y e. S ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y )
52	28	fmpo 6180	. . . . . 6 |- ( A. x e. R A. y e. S ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) <-> ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y ) )
53	51, 52	mpbi 144	. . . . 5 |- ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y )
54		frn 5356	. . . . 5 |- ( ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y ) -> ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) C_ ~P ( X X. Y ) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . 4 |- ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) C_ ~P ( X X. Y )
56	27, 55	eqsstri 3179	. . 3 |- B C_ ~P ( X X. Y )
57		sspwuni 3957	. . 3 |- ( B C_ ~P ( X X. Y ) <-> U. B C_ ( X X. Y ) )
58	56, 57	mpbi 144	. 2 |- U. B C_ ( X X. Y )
59	39, 58	eqssi 3163	1 |- ( X X. Y ) = U. B

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   ~Pcpw 3566   <.cop 3586   U.cuni 3796   X. cxp 4609   ran crn 4612   -->wf 5194   e. cmpo 5855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120

This theorem is referenced by:  txbasex  13051  txtopon  13056