Theorem txuni2 14982

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txval.1	|- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
txuni2.1	|- X = U. R
txuni2.2	|- Y = U. S

Assertion

Ref	Expression
txuni2	|- ( X X. Y ) = U. B

Distinct variable groups:   x, y, R   x, S, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem txuni2

Dummy variables r s z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4835	. . 3 |- Rel ( X X. Y )
2		txuni2.1	. . . . . . . 8 |- X = U. R
3	2	eleq2i 2298	. . . . . . 7 |- ( z e. X <-> z e. U. R )
4		eluni2 3897	. . . . . . 7 |- ( z e. U. R <-> E. r e. R z e. r )
5	3, 4	bitri 184	. . . . . 6 |- ( z e. X <-> E. r e. R z e. r )
6		txuni2.2	. . . . . . . 8 |- Y = U. S
7	6	eleq2i 2298	. . . . . . 7 |- ( w e. Y <-> w e. U. S )
8		eluni2 3897	. . . . . . 7 |- ( w e. U. S <-> E. s e. S w e. s )
9	7, 8	bitri 184	. . . . . 6 |- ( w e. Y <-> E. s e. S w e. s )
10	5, 9	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( z e. X /\ w e. Y ) <-> ( E. r e. R z e. r /\ E. s e. S w e. s ) )
11		opelxp 4755	. . . . 5 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) <-> ( z e. X /\ w e. Y ) )
12		reeanv 2703	. . . . 5 |- ( E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) <-> ( E. r e. R z e. r /\ E. s e. S w e. s ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) <-> E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) )
14		opelxp 4755	. . . . . 6 |- ( <. z , w >. e. ( r X. s ) <-> ( z e. r /\ w e. s ) )
15		eqid 2231	. . . . . . . . . 10 |- ( r X. s ) = ( r X. s )
16		xpeq1 4739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = r -> ( x X. y ) = ( r X. y ) )
17	16	eqeq2d 2243	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = r -> ( ( r X. s ) = ( x X. y ) <-> ( r X. s ) = ( r X. y ) ) )
18		xpeq2 4740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = s -> ( r X. y ) = ( r X. s ) )
19	18	eqeq2d 2243	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = s -> ( ( r X. s ) = ( r X. y ) <-> ( r X. s ) = ( r X. s ) ) )
20	17, 19	rspc2ev 2925	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. R /\ s e. S /\ ( r X. s ) = ( r X. s ) ) -> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
21	15, 20	mp3an3 1362	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
22		vex 2805	. . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
23		vex 2805	. . . . . . . . . . 11 |- s e. _V
24	22, 23	xpex 4842	. . . . . . . . . 10 |- ( r X. s ) e. _V
25		eqeq1 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( r X. s ) -> ( z = ( x X. y ) <-> ( r X. s ) = ( x X. y ) ) )
26	25	2rexbidv 2557	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( r X. s ) -> ( E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) <-> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) ) )
27		txval.1	. . . . . . . . . . 11 |- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
28		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) = ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
29	28	rnmpo 6132	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) = { z | E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) }
30	27, 29	eqtri 2252	. . . . . . . . . 10 |- B = { z | E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) }
31	24, 26, 30	elab2 2954	. . . . . . . . 9 |- ( ( r X. s ) e. B <-> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
32	21, 31	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( r X. s ) e. B )
33		elssuni 3921	. . . . . . . 8 |- ( ( r X. s ) e. B -> ( r X. s ) C_ U. B )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( r X. s ) C_ U. B )
35	34	sseld 3226	. . . . . 6 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( <. z , w >. e. ( r X. s ) -> <. z , w >. e. U. B ) )
36	14, 35	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( ( z e. r /\ w e. s ) -> <. z , w >. e. U. B ) )
37	36	rexlimivv 2656	. . . 4 |- ( E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) -> <. z , w >. e. U. B )
38	13, 37	sylbi 121	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) -> <. z , w >. e. U. B )
39	1, 38	relssi 4817	. 2 |- ( X X. Y ) C_ U. B
40		elssuni 3921	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. R -> x C_ U. R )
41	40, 2	sseqtrrdi 3276	. . . . . . . . 9 |- ( x e. R -> x C_ X )
42		elssuni 3921	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. S -> y C_ U. S )
43	42, 6	sseqtrrdi 3276	. . . . . . . . 9 |- ( y e. S -> y C_ Y )
44		xpss12 4833	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ X /\ y C_ Y ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
45	41, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
46		vex 2805	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
47		vex 2805	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
48	46, 47	xpex 4842	. . . . . . . . 9 |- ( x X. y ) e. _V
49	48	elpw 3658	. . . . . . . 8 |- ( ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) <-> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
50	45, 49	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) )
51	50	rgen2 2618	. . . . . 6 |- A. x e. R A. y e. S ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y )
52	28	fmpo 6366	. . . . . 6 |- ( A. x e. R A. y e. S ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) <-> ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y ) )
53	51, 52	mpbi 145	. . . . 5 |- ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y )
54		frn 5491	. . . . 5 |- ( ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y ) -> ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) C_ ~P ( X X. Y ) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . 4 |- ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) C_ ~P ( X X. Y )
56	27, 55	eqsstri 3259	. . 3 |- B C_ ~P ( X X. Y )
57		sspwuni 4055	. . 3 |- ( B C_ ~P ( X X. Y ) <-> U. B C_ ( X X. Y ) )
58	56, 57	mpbi 145	. 2 |- U. B C_ ( X X. Y )
59	39, 58	eqssi 3243	1 |- ( X X. Y ) = U. B

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2510   E.wrex 2511   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   <.cop 3672   U.cuni 3893   X. cxp 4723   ran crn 4726   -->wf 5322   e. cmpo 6020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304

This theorem is referenced by:  txbasex  14983  txtopon  14988