Theorem txuni2 14970

Description: The underlying set of the product of two topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
txval.1	|- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
txuni2.1	|- X = U. R
txuni2.2	|- Y = U. S

Assertion

Ref	Expression
txuni2	|- ( X X. Y ) = U. B

Distinct variable groups:   x, y, R   x, S, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)

Proof of Theorem txuni2

Dummy variables r s z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4833	. . 3 |- Rel ( X X. Y )
2		txuni2.1	. . . . . . . 8 |- X = U. R
3	2	eleq2i 2296	. . . . . . 7 |- ( z e. X <-> z e. U. R )
4		eluni2 3895	. . . . . . 7 |- ( z e. U. R <-> E. r e. R z e. r )
5	3, 4	bitri 184	. . . . . 6 |- ( z e. X <-> E. r e. R z e. r )
6		txuni2.2	. . . . . . . 8 |- Y = U. S
7	6	eleq2i 2296	. . . . . . 7 |- ( w e. Y <-> w e. U. S )
8		eluni2 3895	. . . . . . 7 |- ( w e. U. S <-> E. s e. S w e. s )
9	7, 8	bitri 184	. . . . . 6 |- ( w e. Y <-> E. s e. S w e. s )
10	5, 9	anbi12i 460	. . . . 5 |- ( ( z e. X /\ w e. Y ) <-> ( E. r e. R z e. r /\ E. s e. S w e. s ) )
11		opelxp 4753	. . . . 5 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) <-> ( z e. X /\ w e. Y ) )
12		reeanv 2701	. . . . 5 |- ( E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) <-> ( E. r e. R z e. r /\ E. s e. S w e. s ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 212	. . . 4 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) <-> E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) )
14		opelxp 4753	. . . . . 6 |- ( <. z , w >. e. ( r X. s ) <-> ( z e. r /\ w e. s ) )
15		eqid 2229	. . . . . . . . . 10 |- ( r X. s ) = ( r X. s )
16		xpeq1 4737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = r -> ( x X. y ) = ( r X. y ) )
17	16	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = r -> ( ( r X. s ) = ( x X. y ) <-> ( r X. s ) = ( r X. y ) ) )
18		xpeq2 4738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = s -> ( r X. y ) = ( r X. s ) )
19	18	eqeq2d 2241	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = s -> ( ( r X. s ) = ( r X. y ) <-> ( r X. s ) = ( r X. s ) ) )
20	17, 19	rspc2ev 2923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. R /\ s e. S /\ ( r X. s ) = ( r X. s ) ) -> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
21	15, 20	mp3an3 1360	. . . . . . . . 9 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
22		vex 2803	. . . . . . . . . . 11 |- r e. _V
23		vex 2803	. . . . . . . . . . 11 |- s e. _V
24	22, 23	xpex 4840	. . . . . . . . . 10 |- ( r X. s ) e. _V
25		eqeq1 2236	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( r X. s ) -> ( z = ( x X. y ) <-> ( r X. s ) = ( x X. y ) ) )
26	25	2rexbidv 2555	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( r X. s ) -> ( E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) <-> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) ) )
27		txval.1	. . . . . . . . . . 11 |- B = ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
28		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) = ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) )
29	28	rnmpo 6127	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) = { z | E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) }
30	27, 29	eqtri 2250	. . . . . . . . . 10 |- B = { z | E. x e. R E. y e. S z = ( x X. y ) }
31	24, 26, 30	elab2 2952	. . . . . . . . 9 |- ( ( r X. s ) e. B <-> E. x e. R E. y e. S ( r X. s ) = ( x X. y ) )
32	21, 31	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( r X. s ) e. B )
33		elssuni 3919	. . . . . . . 8 |- ( ( r X. s ) e. B -> ( r X. s ) C_ U. B )
34	32, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( r X. s ) C_ U. B )
35	34	sseld 3224	. . . . . 6 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( <. z , w >. e. ( r X. s ) -> <. z , w >. e. U. B ) )
36	14, 35	biimtrrid 153	. . . . 5 |- ( ( r e. R /\ s e. S ) -> ( ( z e. r /\ w e. s ) -> <. z , w >. e. U. B ) )
37	36	rexlimivv 2654	. . . 4 |- ( E. r e. R E. s e. S ( z e. r /\ w e. s ) -> <. z , w >. e. U. B )
38	13, 37	sylbi 121	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( X X. Y ) -> <. z , w >. e. U. B )
39	1, 38	relssi 4815	. 2 |- ( X X. Y ) C_ U. B
40		elssuni 3919	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. R -> x C_ U. R )
41	40, 2	sseqtrrdi 3274	. . . . . . . . 9 |- ( x e. R -> x C_ X )
42		elssuni 3919	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. S -> y C_ U. S )
43	42, 6	sseqtrrdi 3274	. . . . . . . . 9 |- ( y e. S -> y C_ Y )
44		xpss12 4831	. . . . . . . . 9 |- ( ( x C_ X /\ y C_ Y ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
45	41, 43, 44	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
46		vex 2803	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
47		vex 2803	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
48	46, 47	xpex 4840	. . . . . . . . 9 |- ( x X. y ) e. _V
49	48	elpw 3656	. . . . . . . 8 |- ( ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) <-> ( x X. y ) C_ ( X X. Y ) )
50	45, 49	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( x e. R /\ y e. S ) -> ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) )
51	50	rgen2 2616	. . . . . 6 |- A. x e. R A. y e. S ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y )
52	28	fmpo 6361	. . . . . 6 |- ( A. x e. R A. y e. S ( x X. y ) e. ~P ( X X. Y ) <-> ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y ) )
53	51, 52	mpbi 145	. . . . 5 |- ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y )
54		frn 5488	. . . . 5 |- ( ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) : ( R X. S ) --> ~P ( X X. Y ) -> ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) C_ ~P ( X X. Y ) )
55	53, 54	ax-mp 5	. . . 4 |- ran ( x e. R , y e. S |-> ( x X. y ) ) C_ ~P ( X X. Y )
56	27, 55	eqsstri 3257	. . 3 |- B C_ ~P ( X X. Y )
57		sspwuni 4053	. . 3 |- ( B C_ ~P ( X X. Y ) <-> U. B C_ ( X X. Y ) )
58	56, 57	mpbi 145	. 2 |- U. B C_ ( X X. Y )
59	39, 58	eqssi 3241	1 |- ( X X. Y ) = U. B

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3198   ~Pcpw 3650   <.cop 3670   U.cuni 3891   X. cxp 4721   ran crn 4724   -->wf 5320   e. cmpo 6015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299

This theorem is referenced by:  txbasex  14971  txtopon  14976