Theorem idssen 6891

Description: Equality implies equinumerosity. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
idssen	|- _I C_ ~~

Proof of Theorem idssen

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 4825	. 2 |- Rel _I
2		vex 2779	. . . . 5 |- y e. _V
3	2	ideq 4848	. . . 4 |- ( x _I y <-> x = y )
4		vex 2779	. . . . 5 |- x e. _V
5		eqeng 6880	. . . . 5 |- ( x e. _V -> ( x = y -> x ~~ y ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- ( x = y -> x ~~ y )
7	3, 6	sylbi 121	. . 3 |- ( x _I y -> x ~~ y )
8		df-br 4060	. . 3 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
9		df-br 4060	. . 3 |- ( x ~~ y <-> <. x , y >. e. ~~ )
10	7, 8, 9	3imtr3i 200	. 2 |- ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ~~ )
11	1, 10	relssi 4784	1 |- _I C_ ~~

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   <.cop 3646   class class class wbr 4059   _I cid 4353   ~~ cen 6848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-en 6851

This theorem is referenced by: (None)