Theorem idssen 6743

Description: Equality implies equinumerosity. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
idssen	|- _I C_ ~~

Proof of Theorem idssen

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 4733	. 2 |- Rel _I
2		vex 2729	. . . . 5 |- y e. _V
3	2	ideq 4756	. . . 4 |- ( x _I y <-> x = y )
4		vex 2729	. . . . 5 |- x e. _V
5		eqeng 6732	. . . . 5 |- ( x e. _V -> ( x = y -> x ~~ y ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- ( x = y -> x ~~ y )
7	3, 6	sylbi 120	. . 3 |- ( x _I y -> x ~~ y )
8		df-br 3983	. . 3 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
9		df-br 3983	. . 3 |- ( x ~~ y <-> <. x , y >. e. ~~ )
10	7, 8, 9	3imtr3i 199	. 2 |- ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ~~ )
11	1, 10	relssi 4695	1 |- _I C_ ~~

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   <.cop 3579   class class class wbr 3982   _I cid 4266   ~~ cen 6704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-en 6707

This theorem is referenced by: (None)