Theorem idssen 6868

Description: Equality implies equinumerosity. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
idssen	|- _I C_ ~~

Proof of Theorem idssen

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reli 4807	. 2 |- Rel _I
2		vex 2775	. . . . 5 |- y e. _V
3	2	ideq 4830	. . . 4 |- ( x _I y <-> x = y )
4		vex 2775	. . . . 5 |- x e. _V
5		eqeng 6857	. . . . 5 |- ( x e. _V -> ( x = y -> x ~~ y ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- ( x = y -> x ~~ y )
7	3, 6	sylbi 121	. . 3 |- ( x _I y -> x ~~ y )
8		df-br 4045	. . 3 |- ( x _I y <-> <. x , y >. e. _I )
9		df-br 4045	. . 3 |- ( x ~~ y <-> <. x , y >. e. ~~ )
10	7, 8, 9	3imtr3i 200	. 2 |- ( <. x , y >. e. _I -> <. x , y >. e. ~~ )
11	1, 10	relssi 4766	1 |- _I C_ ~~

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   <.cop 3636   class class class wbr 4044   _I cid 4335   ~~ cen 6825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-en 6828

This theorem is referenced by: (None)