Theorem dftpos4 6316

Description: Alternate definition of tpos. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftpos4	|- tpos F = ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )

Distinct variable group:   x, F

Proof of Theorem dftpos4

Dummy variables y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tpos 6298	. . 3 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
2		relcnv 5043	. . . . . . 7 |- Rel `' dom F
3		df-rel 4666	. . . . . . 7 |- ( Rel `' dom F <-> `' dom F C_ ( _V X. _V ) )
4	2, 3	mpbi 145	. . . . . 6 |- `' dom F C_ ( _V X. _V )
5		unss1 3328	. . . . . 6 |- ( `' dom F C_ ( _V X. _V ) -> ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) )
6		resmpt 4990	. . . . . 6 |- ( ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
7	4, 5, 6	mp2b 8	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
8		resss 4966	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) C_ ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
9	7, 8	eqsstrri 3212	. . . 4 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
10		coss2 4818	. . . 4 |- ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) -> ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
12	1, 11	eqsstri 3211	. 2 |- tpos F C_ ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
13		relco 5164	. . 3 |- Rel ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
14		vex 2763	. . . . 5 |- y e. _V
15		vex 2763	. . . . 5 |- z e. _V
16	14, 15	opelco 4834	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) <-> E. w ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) )
17		vex 2763	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
18		eleq1 2256	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) <-> y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) ) )
19		sneq 3629	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> { x } = { y } )
20	19	cnveqd 4838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> `' { x } = `' { y } )
21	20	unieqd 3846	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> U. `' { x } = U. `' { y } )
22	21	eqeq2d 2205	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( z = U. `' { x } <-> z = U. `' { y } ) )
23	18, 22	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z = U. `' { x } ) <-> ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z = U. `' { y } ) ) )
24		eqeq1 2200	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( z = U. `' { y } <-> w = U. `' { y } ) )
25	24	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z = U. `' { y } ) <-> ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) ) )
26		df-mpt 4092	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = { <. x , z >. | ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z = U. `' { x } ) }
27	14, 17, 23, 25, 26	brab 4303	. . . . . . . 8 |- ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w <-> ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) )
28		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> w = U. `' { y } )
29	17, 15	breldm 4866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w F z -> w e. dom F )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> w e. dom F )
31	28, 30	eqeltrrd 2271	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> U. `' { y } e. dom F )
32		elvv 4721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( _V X. _V ) <-> E. z E. w y = <. z , w >. )
33		opswapg 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. _V /\ w e. _V ) -> U. `' { <. z , w >. } = <. w , z >. )
34	15, 17, 33	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. `' { <. z , w >. } = <. w , z >.
35	34	eleq1i 2259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U. `' { <. z , w >. } e. dom F <-> <. w , z >. e. dom F )
36	15, 17	opelcnv 4844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , w >. e. `' dom F <-> <. w , z >. e. dom F )
37	35, 36	bitr4i 187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. `' { <. z , w >. } e. dom F <-> <. z , w >. e. `' dom F )
38		sneq 3629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = <. z , w >. -> { y } = { <. z , w >. } )
39	38	cnveqd 4838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = <. z , w >. -> `' { y } = `' { <. z , w >. } )
40	39	unieqd 3846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. z , w >. -> U. `' { y } = U. `' { <. z , w >. } )
41	40	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. z , w >. -> ( U. `' { y } e. dom F <-> U. `' { <. z , w >. } e. dom F ) )
42		eleq1 2256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. z , w >. -> ( y e. `' dom F <-> <. z , w >. e. `' dom F ) )
43	41, 42	bibi12d 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = <. z , w >. -> ( ( U. `' { y } e. dom F <-> y e. `' dom F ) <-> ( U. `' { <. z , w >. } e. dom F <-> <. z , w >. e. `' dom F ) ) )
44	37, 43	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = <. z , w >. -> ( U. `' { y } e. dom F <-> y e. `' dom F ) )
45	44	exlimivv 1908	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. z E. w y = <. z , w >. -> ( U. `' { y } e. dom F <-> y e. `' dom F ) )
46	32, 45	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( _V X. _V ) -> ( U. `' { y } e. dom F <-> y e. `' dom F ) )
47	46	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. `' { y } e. dom F -> ( y e. ( _V X. _V ) -> y e. `' dom F ) )
48		elun1 3326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. `' dom F -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
49	47, 48	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. `' { y } e. dom F -> ( y e. ( _V X. _V ) -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
50	31, 49	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> ( y e. ( _V X. _V ) -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
51		elun2 3327	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { (/) } -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
52	51	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> ( y e. { (/) } -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
53		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) )
54		elun 3300	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) <-> ( y e. ( _V X. _V ) \/ y e. { (/) } ) )
55	53, 54	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> ( y e. ( _V X. _V ) \/ y e. { (/) } ) )
56	50, 52, 55	mpjaod 719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> w F z )
58	28, 57	eqbrtrrd 4053	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> U. `' { y } F z )
59	56, 58	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> ( y e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { y } F z ) )
60	27, 59	sylanb 284	. . . . . . 7 |- ( ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) -> ( y e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { y } F z ) )
61		brtpos2 6304	. . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( ytpos F z <-> ( y e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { y } F z ) ) )
62	15, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ytpos F z <-> ( y e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { y } F z ) )
63	60, 62	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) -> ytpos F z )
64		df-br 4030	. . . . . 6 |- ( ytpos F z <-> <. y , z >. e. tpos F )
65	63, 64	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) -> <. y , z >. e. tpos F )
66	65	exlimiv 1609	. . . 4 |- ( E. w ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) -> <. y , z >. e. tpos F )
67	16, 66	sylbi 121	. . 3 |- ( <. y , z >. e. ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) -> <. y , z >. e. tpos F )
68	13, 67	relssi 4750	. 2 |- ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ tpos F
69	12, 68	eqssi 3195	1 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   u. cun 3151   C_ wss 3153   (/)c0 3446   {csn 3618   <.cop 3621   U.cuni 3835   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   X. cxp 4657   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   |` cres 4661   o. ccom 4663   Rel wrel 4664  tpos ctpos 6297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-tpos 6298

This theorem is referenced by:  tposco  6328  nftpos  6332