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Theorem dftpos4 6242
Description: Alternate definition of tpos. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftpos4  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
Distinct variable group:    x, F

Proof of Theorem dftpos4
Dummy variables  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tpos 6224 . . 3  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
2 relcnv 4989 . . . . . . 7  |-  Rel  `' dom  F
3 df-rel 4618 . . . . . . 7  |-  ( Rel  `' dom  F  <->  `' dom  F 
C_  ( _V  X.  _V ) )
42, 3mpbi 144 . . . . . 6  |-  `' dom  F 
C_  ( _V  X.  _V )
5 unss1 3296 . . . . . 6  |-  ( `' dom  F  C_  ( _V  X.  _V )  -> 
( `' dom  F  u.  { (/) } )  C_  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) )
6 resmpt 4939 . . . . . 6  |-  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  C_  (
( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
74, 5, 6mp2b 8 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
8 resss 4915 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) ) 
C_  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
97, 8eqsstrri 3180 . . . 4  |-  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  C_  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
10 coss2 4767 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  ->  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( F  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) ) )
119, 10ax-mp 5 . . 3  |-  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( F  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) )
121, 11eqsstri 3179 . 2  |- tpos  F  C_  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
13 relco 5109 . . 3  |-  Rel  ( F  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
14 vex 2733 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
15 vex 2733 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
1614, 15opelco 4783 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  <->  E. w ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) w  /\  w F z ) )
17 vex 2733 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
18 eleq1 2233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  <->  y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) ) )
19 sneq 3594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
2019cnveqd 4787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  `' { x }  =  `' { y } )
2120unieqd 3807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  U. `' { x }  =  U. `' { y } )
2221eqeq2d 2182 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  U. `' { x }  <->  z  =  U. `' { y } ) )
2318, 22anbi12d 470 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  z  =  U. `' { x } )  <-> 
( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  z  =  U. `' { y } ) ) )
24 eqeq1 2177 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  U. `' { y }  <->  w  =  U. `' { y } ) )
2524anbi2d 461 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  z  =  U. `' { y } )  <-> 
( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } ) ) )
26 df-mpt 4052 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  z  =  U. `' {
x } ) }
2714, 17, 23, 25, 26brab 4257 . . . . . . . 8  |-  ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) w  <->  ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  = 
U. `' { y } ) )
28 simplr 525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  w  =  U. `' { y } )
2917, 15breldm 4815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w F z  ->  w  e.  dom  F )
3029adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  w  e.  dom  F )
3128, 30eqeltrrd 2248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  U. `' {
y }  e.  dom  F )
32 elvv 4673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. z E. w  y  =  <. z ,  w >. )
33 opswapg 5097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  _V  /\  w  e.  _V )  ->  U. `' { <. z ,  w >. }  =  <. w ,  z >.
)
3415, 17, 33mp2an 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. `' { <. z ,  w >. }  =  <. w ,  z >.
3534eleq1i 2236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. `' { <. z ,  w >. }  e.  dom  F  <->  <.
w ,  z >.  e.  dom  F )
3615, 17opelcnv 4793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  `' dom  F  <->  <. w ,  z >.  e.  dom  F )
3735, 36bitr4i 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. `' { <. z ,  w >. }  e.  dom  F  <->  <.
z ,  w >.  e.  `' dom  F )
38 sneq 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  { y }  =  { <. z ,  w >. } )
3938cnveqd 4787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  `' { y }  =  `' { <. z ,  w >. } )
4039unieqd 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  U. `' { y }  =  U. `' { <. z ,  w >. } )
4140eleq1d 2239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  U. `' { <. z ,  w >. }  e.  dom  F ) )
42 eleq1 2233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  ( y  e.  `' dom  F  <->  <. z ,  w >.  e.  `' dom  F ) )
4341, 42bibi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  y  e.  `' dom  F )  <->  ( U. `' { <. z ,  w >. }  e.  dom  F  <->  <.
z ,  w >.  e.  `' dom  F ) ) )
4437, 43mpbiri 167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  y  e.  `' dom  F ) )
4544exlimivv 1889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z E. w  y  =  <. z ,  w >.  ->  ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  y  e.  `' dom  F ) )
4632, 45sylbi 120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  y  e.  `' dom  F ) )
4746biimpcd 158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. `' { y }  e.  dom  F  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  y  e.  `' dom  F ) )
48 elun1 3294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  `' dom  F  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
4947, 48syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. `' { y }  e.  dom  F  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
5031, 49syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
51 elun2 3295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )
5251a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  ( y  e.  { (/) }  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) ) )
53 simpll 524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) )
54 elun 3268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  <->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  \/  y  e.  {
(/) } ) )
5553, 54sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  \/  y  e.  {
(/) } ) )
5650, 52, 55mpjaod 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
57 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  w F
z )
5828, 57eqbrtrrd 4013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  U. `' {
y } F z )
5956, 58jca 304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  ( y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { y } F
z ) )
6027, 59sylanb 282 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) w  /\  w F z )  -> 
( y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { y } F
z ) )
61 brtpos2 6230 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  (
ytpos  F z  <->  ( y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { y } F
z ) ) )
6215, 61ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ytpos 
F z  <->  ( y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { y } F
z ) )
6360, 62sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) w  /\  w F z )  -> 
ytpos  F z )
64 df-br 3990 . . . . . 6  |-  ( ytpos 
F z  <->  <. y ,  z >.  e. tpos  F )
6563, 64sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) w  /\  w F z )  ->  <. y ,  z >.  e. tpos  F )
6665exlimiv 1591 . . . 4  |-  ( E. w ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) w  /\  w F z )  ->  <. y ,  z >.  e. tpos  F
)
6716, 66sylbi 120 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  ->  <. y ,  z >.  e. tpos  F )
6813, 67relssi 4702 . 2  |-  ( F  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_ tpos  F
6912, 68eqssi 3163 1  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   _Vcvv 2730    u. cun 3119    C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   <.cop 3586   U.cuni 3796   class class class wbr 3989    |-> cmpt 4050    X. cxp 4609   `'ccnv 4610   dom cdm 4611    |` cres 4613    o. ccom 4615   Rel wrel 4616  tpos ctpos 6223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206  df-tpos 6224
This theorem is referenced by:  tposco  6254  nftpos  6258
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