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Theorem dftpos4 6283
Description: Alternate definition of tpos. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftpos4  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
Distinct variable group:    x, F

Proof of Theorem dftpos4
Dummy variables  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tpos 6265 . . 3  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
2 relcnv 5021 . . . . . . 7  |-  Rel  `' dom  F
3 df-rel 4648 . . . . . . 7  |-  ( Rel  `' dom  F  <->  `' dom  F 
C_  ( _V  X.  _V ) )
42, 3mpbi 145 . . . . . 6  |-  `' dom  F 
C_  ( _V  X.  _V )
5 unss1 3319 . . . . . 6  |-  ( `' dom  F  C_  ( _V  X.  _V )  -> 
( `' dom  F  u.  { (/) } )  C_  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) )
6 resmpt 4970 . . . . . 6  |-  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  C_  (
( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
74, 5, 6mp2b 8 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
8 resss 4946 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) ) 
C_  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
97, 8eqsstrri 3203 . . . 4  |-  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  C_  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
10 coss2 4798 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  ->  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( F  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) ) )
119, 10ax-mp 5 . . 3  |-  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( F  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) )
121, 11eqsstri 3202 . 2  |- tpos  F  C_  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
13 relco 5142 . . 3  |-  Rel  ( F  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
14 vex 2755 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
15 vex 2755 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
1614, 15opelco 4814 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  <->  E. w ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) w  /\  w F z ) )
17 vex 2755 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
18 eleq1 2252 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  <->  y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) ) )
19 sneq 3618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
2019cnveqd 4818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  `' { x }  =  `' { y } )
2120unieqd 3835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  U. `' { x }  =  U. `' { y } )
2221eqeq2d 2201 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  U. `' { x }  <->  z  =  U. `' { y } ) )
2318, 22anbi12d 473 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  z  =  U. `' { x } )  <-> 
( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  z  =  U. `' { y } ) ) )
24 eqeq1 2196 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  U. `' { y }  <->  w  =  U. `' { y } ) )
2524anbi2d 464 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  z  =  U. `' { y } )  <-> 
( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } ) ) )
26 df-mpt 4081 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  z  =  U. `' {
x } ) }
2714, 17, 23, 25, 26brab 4287 . . . . . . . 8  |-  ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) w  <->  ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  = 
U. `' { y } ) )
28 simplr 528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  w  =  U. `' { y } )
2917, 15breldm 4846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w F z  ->  w  e.  dom  F )
3029adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  w  e.  dom  F )
3128, 30eqeltrrd 2267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  U. `' {
y }  e.  dom  F )
32 elvv 4703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. z E. w  y  =  <. z ,  w >. )
33 opswapg 5130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  _V  /\  w  e.  _V )  ->  U. `' { <. z ,  w >. }  =  <. w ,  z >.
)
3415, 17, 33mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. `' { <. z ,  w >. }  =  <. w ,  z >.
3534eleq1i 2255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. `' { <. z ,  w >. }  e.  dom  F  <->  <.
w ,  z >.  e.  dom  F )
3615, 17opelcnv 4824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  `' dom  F  <->  <. w ,  z >.  e.  dom  F )
3735, 36bitr4i 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. `' { <. z ,  w >. }  e.  dom  F  <->  <.
z ,  w >.  e.  `' dom  F )
38 sneq 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  { y }  =  { <. z ,  w >. } )
3938cnveqd 4818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  `' { y }  =  `' { <. z ,  w >. } )
4039unieqd 3835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  U. `' { y }  =  U. `' { <. z ,  w >. } )
4140eleq1d 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  U. `' { <. z ,  w >. }  e.  dom  F ) )
42 eleq1 2252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  ( y  e.  `' dom  F  <->  <. z ,  w >.  e.  `' dom  F ) )
4341, 42bibi12d 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  y  e.  `' dom  F )  <->  ( U. `' { <. z ,  w >. }  e.  dom  F  <->  <.
z ,  w >.  e.  `' dom  F ) ) )
4437, 43mpbiri 168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  y  e.  `' dom  F ) )
4544exlimivv 1908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z E. w  y  =  <. z ,  w >.  ->  ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  y  e.  `' dom  F ) )
4632, 45sylbi 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  y  e.  `' dom  F ) )
4746biimpcd 159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. `' { y }  e.  dom  F  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  y  e.  `' dom  F ) )
48 elun1 3317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  `' dom  F  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
4947, 48syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. `' { y }  e.  dom  F  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
5031, 49syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
51 elun2 3318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )
5251a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  ( y  e.  { (/) }  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) ) )
53 simpll 527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) )
54 elun 3291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  <->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  \/  y  e.  {
(/) } ) )
5553, 54sylib 122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  \/  y  e.  {
(/) } ) )
5650, 52, 55mpjaod 719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
57 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  w F
z )
5828, 57eqbrtrrd 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  U. `' {
y } F z )
5956, 58jca 306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  ( y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { y } F
z ) )
6027, 59sylanb 284 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) w  /\  w F z )  -> 
( y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { y } F
z ) )
61 brtpos2 6271 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  (
ytpos  F z  <->  ( y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { y } F
z ) ) )
6215, 61ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ytpos 
F z  <->  ( y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { y } F
z ) )
6360, 62sylibr 134 . . . . . 6  |-  ( ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) w  /\  w F z )  -> 
ytpos  F z )
64 df-br 4019 . . . . . 6  |-  ( ytpos 
F z  <->  <. y ,  z >.  e. tpos  F )
6563, 64sylib 122 . . . . 5  |-  ( ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) w  /\  w F z )  ->  <. y ,  z >.  e. tpos  F )
6665exlimiv 1609 . . . 4  |-  ( E. w ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) w  /\  w F z )  ->  <. y ,  z >.  e. tpos  F
)
6716, 66sylbi 121 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  ->  <. y ,  z >.  e. tpos  F )
6813, 67relssi 4732 . 2  |-  ( F  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_ tpos  F
6912, 68eqssi 3186 1  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1364   E.wex 1503    e. wcel 2160   _Vcvv 2752    u. cun 3142    C_ wss 3144   (/)c0 3437   {csn 3607   <.cop 3610   U.cuni 3824   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079    X. cxp 4639   `'ccnv 4640   dom cdm 4641    |` cres 4643    o. ccom 4645   Rel wrel 4646  tpos ctpos 6264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-fv 5240  df-tpos 6265
This theorem is referenced by:  tposco  6295  nftpos  6299
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