ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dftpos4 Unicode version

Theorem dftpos4 6044
Description: Alternate definition of tpos. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
dftpos4  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
Distinct variable group:    x, F

Proof of Theorem dftpos4
Dummy variables  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tpos 6026 . . 3  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
2 relcnv 4825 . . . . . . 7  |-  Rel  `' dom  F
3 df-rel 4461 . . . . . . 7  |-  ( Rel  `' dom  F  <->  `' dom  F 
C_  ( _V  X.  _V ) )
42, 3mpbi 144 . . . . . 6  |-  `' dom  F 
C_  ( _V  X.  _V )
5 unss1 3172 . . . . . 6  |-  ( `' dom  F  C_  ( _V  X.  _V )  -> 
( `' dom  F  u.  { (/) } )  C_  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) )
6 resmpt 4775 . . . . . 6  |-  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  C_  (
( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  ->  ( ( x  e.  ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
74, 5, 6mp2b 8 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
8 resss 4752 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) ) 
C_  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
97, 8eqsstr3i 3060 . . . 4  |-  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } )  C_  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
10 coss2 4607 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  ->  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( F  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) ) )
119, 10ax-mp 7 . . 3  |-  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( F  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) )
121, 11eqsstri 3059 . 2  |- tpos  F  C_  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
13 relco 4944 . . 3  |-  Rel  ( F  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
14 vex 2625 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
15 vex 2625 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
1614, 15opelco 4623 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  <->  E. w ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) w  /\  w F z ) )
17 vex 2625 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
18 eleq1 2151 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  <->  y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) ) )
19 sneq 3463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  { x }  =  { y } )
2019cnveqd 4627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  `' { x }  =  `' { y } )
2120unieqd 3672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  U. `' { x }  =  U. `' { y } )
2221eqeq2d 2100 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
z  =  U. `' { x }  <->  z  =  U. `' { y } ) )
2318, 22anbi12d 458 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  z  =  U. `' { x } )  <-> 
( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  z  =  U. `' { y } ) ) )
24 eqeq1 2095 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  U. `' { y }  <->  w  =  U. `' { y } ) )
2524anbi2d 453 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  z  =  U. `' { y } )  <-> 
( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } ) ) )
26 df-mpt 3909 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  =  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  z  =  U. `' {
x } ) }
2714, 17, 23, 25, 26brab 4110 . . . . . . . 8  |-  ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) 
|->  U. `' { x } ) w  <->  ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  = 
U. `' { y } ) )
28 simplr 498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  w  =  U. `' { y } )
2917, 15breldm 4655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w F z  ->  w  e.  dom  F )
3029adantl 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  w  e.  dom  F )
3128, 30eqeltrrd 2166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  U. `' {
y }  e.  dom  F )
32 elvv 4515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  <->  E. z E. w  y  =  <. z ,  w >. )
33 opswapg 4932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  _V  /\  w  e.  _V )  ->  U. `' { <. z ,  w >. }  =  <. w ,  z >.
)
3415, 17, 33mp2an 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. `' { <. z ,  w >. }  =  <. w ,  z >.
3534eleq1i 2154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. `' { <. z ,  w >. }  e.  dom  F  <->  <.
w ,  z >.  e.  dom  F )
3615, 17opelcnv 4633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  `' dom  F  <->  <. w ,  z >.  e.  dom  F )
3735, 36bitr4i 186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. `' { <. z ,  w >. }  e.  dom  F  <->  <.
z ,  w >.  e.  `' dom  F )
38 sneq 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  { y }  =  { <. z ,  w >. } )
3938cnveqd 4627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  `' { y }  =  `' { <. z ,  w >. } )
4039unieqd 3672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  U. `' { y }  =  U. `' { <. z ,  w >. } )
4140eleq1d 2157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  U. `' { <. z ,  w >. }  e.  dom  F ) )
42 eleq1 2151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  ( y  e.  `' dom  F  <->  <. z ,  w >.  e.  `' dom  F ) )
4341, 42bibi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  ( ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  y  e.  `' dom  F )  <->  ( U. `' { <. z ,  w >. }  e.  dom  F  <->  <.
z ,  w >.  e.  `' dom  F ) ) )
4437, 43mpbiri 167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  <. z ,  w >.  ->  ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  y  e.  `' dom  F ) )
4544exlimivv 1825 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. z E. w  y  =  <. z ,  w >.  ->  ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  y  e.  `' dom  F ) )
4632, 45sylbi 120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  ( U. `' { y }  e.  dom  F  <->  y  e.  `' dom  F ) )
4746biimpcd 158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. `' { y }  e.  dom  F  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  y  e.  `' dom  F ) )
48 elun1 3170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  `' dom  F  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
4947, 48syl6 33 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. `' { y }  e.  dom  F  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
5031, 49syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) ) )
51 elun2 3171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )
5251a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  ( y  e.  { (/) }  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) ) )
53 simpll 497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } ) )
54 elun 3144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( _V 
X.  _V )  u.  { (/)
} )  <->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  \/  y  e.  {
(/) } ) )
5553, 54sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  ( y  e.  ( _V  X.  _V )  \/  y  e.  {
(/) } ) )
5650, 52, 55mpjaod 674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} ) )
57 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  w F
z )
5828, 57eqbrtrrd 3875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  U. `' {
y } F z )
5956, 58jca 301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  /\  w  =  U. `' { y } )  /\  w F z )  ->  ( y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { y } F
z ) )
6027, 59sylanb 279 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) w  /\  w F z )  -> 
( y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  /\  U. `' { y } F
z ) )
61 brtpos2 6032 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  _V  ->  (
ytpos  F z  <->  ( y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { y } F
z ) ) )
6215, 61ax-mp 7 . . . . . . 7  |-  ( ytpos 
F z  <->  ( y  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  /\  U. `' { y } F
z ) )
6360, 62sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) w  /\  w F z )  -> 
ytpos  F z )
64 df-br 3854 . . . . . 6  |-  ( ytpos 
F z  <->  <. y ,  z >.  e. tpos  F )
6563, 64sylib 121 . . . . 5  |-  ( ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) w  /\  w F z )  ->  <. y ,  z >.  e. tpos  F )
6665exlimiv 1535 . . . 4  |-  ( E. w ( y ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) w  /\  w F z )  ->  <. y ,  z >.  e. tpos  F
)
6716, 66sylbi 120 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  ->  <. y ,  z >.  e. tpos  F )
6813, 67relssi 4544 . 2  |-  ( F  o.  ( x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_ tpos  F
6912, 68eqssi 3044 1  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( ( _V  X.  _V )  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 665    = wceq 1290   E.wex 1427    e. wcel 1439   _Vcvv 2622    u. cun 3000    C_ wss 3002   (/)c0 3289   {csn 3452   <.cop 3455   U.cuni 3661   class class class wbr 3853    |-> cmpt 3907    X. cxp 4452   `'ccnv 4453   dom cdm 4454    |` cres 4456    o. ccom 4458   Rel wrel 4459  tpos ctpos 6025
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-fv 5038  df-tpos 6026
This theorem is referenced by:  tposco  6056  nftpos  6060
  Copyright terms: Public domain W3C validator