Theorem dftpos4 6330

Description: Alternate definition of tpos. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dftpos4	|- tpos F = ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )

Distinct variable group:   x, F

Proof of Theorem dftpos4

Dummy variables y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tpos 6312	. . 3 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
2		relcnv 5048	. . . . . . 7 |- Rel `' dom F
3		df-rel 4671	. . . . . . 7 |- ( Rel `' dom F <-> `' dom F C_ ( _V X. _V ) )
4	2, 3	mpbi 145	. . . . . 6 |- `' dom F C_ ( _V X. _V )
5		unss1 3333	. . . . . 6 |- ( `' dom F C_ ( _V X. _V ) -> ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) )
6		resmpt 4995	. . . . . 6 |- ( ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
7	4, 5, 6	mp2b 8	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
8		resss 4971	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) C_ ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
9	7, 8	eqsstrri 3217	. . . 4 |- ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
10		coss2 4823	. . . 4 |- ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) -> ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . 3 |- ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
12	1, 11	eqsstri 3216	. 2 |- tpos F C_ ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
13		relco 5169	. . 3 |- Rel ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
14		vex 2766	. . . . 5 |- y e. _V
15		vex 2766	. . . . 5 |- z e. _V
16	14, 15	opelco 4839	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) <-> E. w ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) )
17		vex 2766	. . . . . . . . 9 |- w e. _V
18		eleq1 2259	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) <-> y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) ) )
19		sneq 3634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> { x } = { y } )
20	19	cnveqd 4843	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> `' { x } = `' { y } )
21	20	unieqd 3851	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> U. `' { x } = U. `' { y } )
22	21	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( z = U. `' { x } <-> z = U. `' { y } ) )
23	18, 22	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z = U. `' { x } ) <-> ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z = U. `' { y } ) ) )
24		eqeq1 2203	. . . . . . . . . 10 |- ( z = w -> ( z = U. `' { y } <-> w = U. `' { y } ) )
25	24	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( z = w -> ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z = U. `' { y } ) <-> ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) ) )
26		df-mpt 4097	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) = { <. x , z >. | ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ z = U. `' { x } ) }
27	14, 17, 23, 25, 26	brab 4308	. . . . . . . 8 |- ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w <-> ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) )
28		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> w = U. `' { y } )
29	17, 15	breldm 4871	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w F z -> w e. dom F )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> w e. dom F )
31	28, 30	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> U. `' { y } e. dom F )
32		elvv 4726	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( _V X. _V ) <-> E. z E. w y = <. z , w >. )
33		opswapg 5157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. _V /\ w e. _V ) -> U. `' { <. z , w >. } = <. w , z >. )
34	15, 17, 33	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U. `' { <. z , w >. } = <. w , z >.
35	34	eleq1i 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( U. `' { <. z , w >. } e. dom F <-> <. w , z >. e. dom F )
36	15, 17	opelcnv 4849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , w >. e. `' dom F <-> <. w , z >. e. dom F )
37	35, 36	bitr4i 187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( U. `' { <. z , w >. } e. dom F <-> <. z , w >. e. `' dom F )
38		sneq 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = <. z , w >. -> { y } = { <. z , w >. } )
39	38	cnveqd 4843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y = <. z , w >. -> `' { y } = `' { <. z , w >. } )
40	39	unieqd 3851	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = <. z , w >. -> U. `' { y } = U. `' { <. z , w >. } )
41	40	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. z , w >. -> ( U. `' { y } e. dom F <-> U. `' { <. z , w >. } e. dom F ) )
42		eleq1 2259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = <. z , w >. -> ( y e. `' dom F <-> <. z , w >. e. `' dom F ) )
43	41, 42	bibi12d 235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = <. z , w >. -> ( ( U. `' { y } e. dom F <-> y e. `' dom F ) <-> ( U. `' { <. z , w >. } e. dom F <-> <. z , w >. e. `' dom F ) ) )
44	37, 43	mpbiri 168	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = <. z , w >. -> ( U. `' { y } e. dom F <-> y e. `' dom F ) )
45	44	exlimivv 1911	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( E. z E. w y = <. z , w >. -> ( U. `' { y } e. dom F <-> y e. `' dom F ) )
46	32, 45	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( _V X. _V ) -> ( U. `' { y } e. dom F <-> y e. `' dom F ) )
47	46	biimpcd 159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. `' { y } e. dom F -> ( y e. ( _V X. _V ) -> y e. `' dom F ) )
48		elun1 3331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. `' dom F -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
49	47, 48	syl6 33	. . . . . . . . . . 11 |- ( U. `' { y } e. dom F -> ( y e. ( _V X. _V ) -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
50	31, 49	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> ( y e. ( _V X. _V ) -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
51		elun2 3332	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. { (/) } -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
52	51	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> ( y e. { (/) } -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) ) )
53		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) )
54		elun 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) <-> ( y e. ( _V X. _V ) \/ y e. { (/) } ) )
55	53, 54	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> ( y e. ( _V X. _V ) \/ y e. { (/) } ) )
56	50, 52, 55	mpjaod 719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> y e. ( `' dom F u. { (/) } ) )
57		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> w F z )
58	28, 57	eqbrtrrd 4058	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> U. `' { y } F z )
59	56, 58	jca 306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) /\ w = U. `' { y } ) /\ w F z ) -> ( y e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { y } F z ) )
60	27, 59	sylanb 284	. . . . . . 7 |- ( ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) -> ( y e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { y } F z ) )
61		brtpos2 6318	. . . . . . . 8 |- ( z e. _V -> ( ytpos F z <-> ( y e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { y } F z ) ) )
62	15, 61	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ytpos F z <-> ( y e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { y } F z ) )
63	60, 62	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) -> ytpos F z )
64		df-br 4035	. . . . . 6 |- ( ytpos F z <-> <. y , z >. e. tpos F )
65	63, 64	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) -> <. y , z >. e. tpos F )
66	65	exlimiv 1612	. . . 4 |- ( E. w ( y ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) w /\ w F z ) -> <. y , z >. e. tpos F )
67	16, 66	sylbi 121	. . 3 |- ( <. y , z >. e. ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) -> <. y , z >. e. tpos F )
68	13, 67	relssi 4755	. 2 |- ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ tpos F
69	12, 68	eqssi 3200	1 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( ( _V X. _V ) u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3451   {csn 3623   <.cop 3626   U.cuni 3840   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   X. cxp 4662   `'ccnv 4663   dom cdm 4664   |` cres 4666   o. ccom 4668   Rel wrel 4669  tpos ctpos 6311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-tpos 6312

This theorem is referenced by:  tposco  6342  nftpos  6346