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Theorem ssrel2 4691
Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. This version of ssrel 4689 is restricted to the relation's domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
ssrel2  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( R  C_  S  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, R, y    x, S, y

Proof of Theorem ssrel2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3134 . . . 4  |-  ( R 
C_  S  ->  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
) )
21a1d 22 . . 3  |-  ( R 
C_  S  ->  (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) ) )
32ralrimivv 2545 . 2  |-  ( R 
C_  S  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) )
4 eleq1 2227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  <->  <. x ,  y
>.  e.  R ) )
5 eleq1 2227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  S  <->  <. x ,  y
>.  e.  S ) )
64, 5imbi12d 233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( z  e.  R  ->  z  e.  S )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) ) )
76biimprcd 159 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
87ralimi 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  A. y  e.  B  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
98ralimi 2527 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
10 r19.23v 2573 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  B  (
z  =  <. x ,  y >.  ->  (
z  e.  R  -> 
z  e.  S ) )  <->  ( E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
1110ralbii 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
z  =  <. x ,  y >.  ->  (
z  e.  R  -> 
z  e.  S ) )  <->  A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
12 r19.23v 2573 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
1311, 12bitri 183 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
z  =  <. x ,  y >.  ->  (
z  e.  R  -> 
z  e.  S ) )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
149, 13sylib 121 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
1514com23 78 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( z  e.  R  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y
>.  ->  z  e.  S
) ) )
1615a2d 26 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( (
z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >. )  ->  (
z  e.  R  -> 
z  e.  S ) ) )
1716alimdv 1866 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( A. z ( z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.
)  ->  A. z
( z  e.  R  ->  z  e.  S ) ) )
18 dfss2 3129 . . . . 5  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  <->  A. z
( z  e.  R  ->  z  e.  ( A  X.  B ) ) )
19 elxp2 4619 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( A  X.  B )  <->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >.
)
2019imbi2i 225 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  R  -> 
z  e.  ( A  X.  B ) )  <-> 
( z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >. ) )
2120albii 1457 . . . . 5  |-  ( A. z ( z  e.  R  ->  z  e.  ( A  X.  B
) )  <->  A. z
( z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >. ) )
2218, 21bitri 183 . . . 4  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  <->  A. z
( z  e.  R  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  z  =  <. x ,  y >. ) )
23 dfss2 3129 . . . 4  |-  ( R 
C_  S  <->  A. z
( z  e.  R  ->  z  e.  S ) )
2417, 22, 233imtr4g 204 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  ( R  C_  ( A  X.  B
)  ->  R  C_  S
) )
2524com12 30 . 2  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y
>.  e.  R  ->  <. x ,  y >.  e.  S
)  ->  R  C_  S
) )
263, 25impbid2 142 1  |-  ( R 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( R  C_  S  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( <. x ,  y >.  e.  R  -> 
<. x ,  y >.  e.  S ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1340    = wceq 1342    e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443    C_ wss 3114   <.cop 3576    X. cxp 4599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2726  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-opab 4041  df-xp 4607
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