Theorem ssrel2 4714

Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. This version of ssrel 4712 is restricted to the relation's domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssrel2	|- ( R C_ ( A X. B ) -> ( R C_ S <-> A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, R, y   x, S, y

Proof of Theorem ssrel2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3149	. . . 4 |- ( R C_ S -> ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) )
2	1	a1d 22	. . 3 |- ( R C_ S -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )
3	2	ralrimivv 2558	. 2 |- ( R C_ S -> A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) )
4		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. R <-> <. x , y >. e. R ) )
5		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. S <-> <. x , y >. e. S ) )
6	4, 5	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( z e. R -> z e. S ) <-> ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )
7	6	biimprcd 160	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
8	7	ralimi 2540	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
9	8	ralimi 2540	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> A. x e. A A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
10		r19.23v 2586	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> ( E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
11	10	ralbii 2483	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> A. x e. A ( E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
12		r19.23v 2586	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
13	11, 12	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
14	9, 13	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
15	14	com23 78	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( z e. R -> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> z e. S ) ) )
16	15	a2d 26	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
17	16	alimdv 1879	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( A. z ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) -> A. z ( z e. R -> z e. S ) ) )
18		dfss2 3144	. . . . 5 |- ( R C_ ( A X. B ) <-> A. z ( z e. R -> z e. ( A X. B ) ) )
19		elxp2 4642	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A X. B ) <-> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. )
20	19	imbi2i 226	. . . . . 6 |- ( ( z e. R -> z e. ( A X. B ) ) <-> ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) )
21	20	albii 1470	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. R -> z e. ( A X. B ) ) <-> A. z ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) )
22	18, 21	bitri 184	. . . 4 |- ( R C_ ( A X. B ) <-> A. z ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) )
23		dfss2 3144	. . . 4 |- ( R C_ S <-> A. z ( z e. R -> z e. S ) )
24	17, 22, 23	3imtr4g 205	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( R C_ ( A X. B ) -> R C_ S ) )
25	24	com12 30	. 2 |- ( R C_ ( A X. B ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> R C_ S ) )
26	3, 25	impbid2 143	1 |- ( R C_ ( A X. B ) -> ( R C_ S <-> A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   C_ wss 3129   <.cop 3595   X. cxp 4622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-opab 4063  df-xp 4630

This theorem is referenced by: (None)