Theorem ssrel2 4701

Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. This version of ssrel 4699 is restricted to the relation's domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssrel2	|- ( R C_ ( A X. B ) -> ( R C_ S <-> A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, R, y   x, S, y

Proof of Theorem ssrel2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3141	. . . 4 |- ( R C_ S -> ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) )
2	1	a1d 22	. . 3 |- ( R C_ S -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )
3	2	ralrimivv 2551	. 2 |- ( R C_ S -> A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) )
4		eleq1 2233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. R <-> <. x , y >. e. R ) )
5		eleq1 2233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. S <-> <. x , y >. e. S ) )
6	4, 5	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( z e. R -> z e. S ) <-> ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )
7	6	biimprcd 159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
8	7	ralimi 2533	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
9	8	ralimi 2533	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> A. x e. A A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
10		r19.23v 2579	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> ( E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
11	10	ralbii 2476	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> A. x e. A ( E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
12		r19.23v 2579	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
13	11, 12	bitri 183	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
14	9, 13	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
15	14	com23 78	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( z e. R -> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> z e. S ) ) )
16	15	a2d 26	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
17	16	alimdv 1872	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( A. z ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) -> A. z ( z e. R -> z e. S ) ) )
18		dfss2 3136	. . . . 5 |- ( R C_ ( A X. B ) <-> A. z ( z e. R -> z e. ( A X. B ) ) )
19		elxp2 4629	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A X. B ) <-> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. )
20	19	imbi2i 225	. . . . . 6 |- ( ( z e. R -> z e. ( A X. B ) ) <-> ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) )
21	20	albii 1463	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. R -> z e. ( A X. B ) ) <-> A. z ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) )
22	18, 21	bitri 183	. . . 4 |- ( R C_ ( A X. B ) <-> A. z ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) )
23		dfss2 3136	. . . 4 |- ( R C_ S <-> A. z ( z e. R -> z e. S ) )
24	17, 22, 23	3imtr4g 204	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( R C_ ( A X. B ) -> R C_ S ) )
25	24	com12 30	. 2 |- ( R C_ ( A X. B ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> R C_ S ) )
26	3, 25	impbid2 142	1 |- ( R C_ ( A X. B ) -> ( R C_ S <-> A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   <.cop 3586   X. cxp 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617

This theorem is referenced by: (None)