Theorem ssrel2 4860

Description: A subclass relationship depends only on a relation's ordered pairs. This version of ssrel 4858 is restricted to the relation's domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ssrel2	|- ( R C_ ( A X. B ) -> ( R C_ S <-> A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, R, y   x, S, y

Proof of Theorem ssrel2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3242	. . . 4 |- ( R C_ S -> ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) )
2	1	a1d 22	. . 3 |- ( R C_ S -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )
3	2	ralrimivv 2631	. 2 |- ( R C_ S -> A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) )
4		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. R <-> <. x , y >. e. R ) )
5		eleq1 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = <. x , y >. -> ( z e. S <-> <. x , y >. e. S ) )
6	4, 5	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( z e. R -> z e. S ) <-> ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )
7	6	biimprcd 160	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
8	7	ralimi 2613	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
9	8	ralimi 2613	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> A. x e. A A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
10		r19.23v 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> ( E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
11	10	ralbii 2556	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> A. x e. A ( E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
12		r19.23v 2660	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
13	11, 12	bitri 184	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A A. y e. B ( z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) <-> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
14	9, 13	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
15	14	com23 78	. . . . . 6 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( z e. R -> ( E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. -> z e. S ) ) )
16	15	a2d 26	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) -> ( z e. R -> z e. S ) ) )
17	16	alimdv 1932	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( A. z ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) -> A. z ( z e. R -> z e. S ) ) )
18		ssalel 3235	. . . . 5 |- ( R C_ ( A X. B ) <-> A. z ( z e. R -> z e. ( A X. B ) ) )
19		elxp2 4787	. . . . . . 7 |- ( z e. ( A X. B ) <-> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. )
20	19	imbi2i 226	. . . . . 6 |- ( ( z e. R -> z e. ( A X. B ) ) <-> ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) )
21	20	albii 1523	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. R -> z e. ( A X. B ) ) <-> A. z ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) )
22	18, 21	bitri 184	. . . 4 |- ( R C_ ( A X. B ) <-> A. z ( z e. R -> E. x e. A E. y e. B z = <. x , y >. ) )
23		ssalel 3235	. . . 4 |- ( R C_ S <-> A. z ( z e. R -> z e. S ) )
24	17, 22, 23	3imtr4g 205	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> ( R C_ ( A X. B ) -> R C_ S ) )
25	24	com12 30	. 2 |- ( R C_ ( A X. B ) -> ( A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) -> R C_ S ) )
26	3, 25	impbid2 143	1 |- ( R C_ ( A X. B ) -> ( R C_ S <-> A. x e. A A. y e. B ( <. x , y >. e. R -> <. x , y >. e. S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   C_ wss 3220   <.cop 3708   X. cxp 4767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-opab 4188  df-xp 4775

This theorem is referenced by: (None)