Theorem res0 5069

Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by NM, 12-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
res0	|- ( A |` (/) ) = (/)

Proof of Theorem res0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4788	. 2 |- ( A |` (/) ) = ( A i^i ( (/) X. _V ) )
2		0xp 4857	. . 3 |- ( (/) X. _V ) = (/)
3	2	ineq2i 3429	. 2 |- ( A i^i ( (/) X. _V ) ) = ( A i^i (/) )
4		in0 3557	. 2 |- ( A i^i (/) ) = (/)
5	1, 3, 4	3eqtri 2263	1 |- ( A |` (/) ) = (/)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   (/)c0 3520   X. cxp 4774   |` cres 4778

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-opab 4194  df-xp 4782  df-res 4788

This theorem is used by:  ima0  5149  resdisj  5219  smo0  6573  tfr0dm  6597  tfr0  6598  fnfi  7254  setsslid  13461  gzsumsplit0  14238  gsumclfi  14249  gsummptfidmadd  14251  gsumsubmclfi  14253  gsumsnfdcmn  14257  gsum2dfilem2  14272  egrsubgr  16709  0grsubgr  16710  eupth2lembfi  16923