Theorem fnfi 7002

Description: A version of fnex 5784 for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfi	|- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> F e. Fin )

Proof of Theorem fnfi

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresdm 5367	. . 3 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` A ) = F )
3		reseq2 4941	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( F |` w ) = ( F |` (/) ) )
4	3	eleq1d 2265	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` (/) ) e. Fin ) )
5		reseq2 4941	. . . 4 |- ( w = y -> ( F |` w ) = ( F |` y ) )
6	5	eleq1d 2265	. . 3 |- ( w = y -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` y ) e. Fin ) )
7		reseq2 4941	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( F |` w ) = ( F |` ( y u. { z } ) ) )
8	7	eleq1d 2265	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
9		reseq2 4941	. . . 4 |- ( w = A -> ( F |` w ) = ( F |` A ) )
10	9	eleq1d 2265	. . 3 |- ( w = A -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` A ) e. Fin ) )
11		res0 4950	. . . . 5 |- ( F |` (/) ) = (/)
12		0fin 6945	. . . . 5 |- (/) e. Fin
13	11, 12	eqeltri 2269	. . . 4 |- ( F |` (/) ) e. Fin
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` (/) ) e. Fin )
15		resundi 4959	. . . . 5 |- ( F |` ( y u. { z } ) ) = ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) )
16		simp-4l 541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> F Fn A )
17		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
18	17	eldifad 3168	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. A )
19		fnressn 5748	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ z e. A ) -> ( F |` { z } ) = { <. z , ( F ` z ) >. } )
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` { z } ) = { <. z , ( F ` z ) >. } )
21	20	uneq2d 3317	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) ) = ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) )
22		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` y ) e. Fin )
23	17	elexd 2776	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. _V )
24		funfvex 5575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. _V )
25	24	funfni 5358	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. _V )
26	16, 18, 25	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F ` z ) e. _V )
27		opexg 4261	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. _V /\ ( F ` z ) e. _V ) -> <. z , ( F ` z ) >. e. _V )
28	23, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> <. z , ( F ` z ) >. e. _V )
29	17	eldifbd 3169	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> -. z e. y )
30		opeldmg 4871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A /\ ( F ` z ) e. _V ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. dom ( F |` y ) ) )
31	18, 26, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. dom ( F |` y ) ) )
32		dmres 4967	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( F |` y ) = ( y i^i dom F )
33	32	eleq2i 2263	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. dom ( F |` y ) <-> z e. ( y i^i dom F ) )
34	31, 33	imbitrdi 161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. ( y i^i dom F ) ) )
35		elin 3346	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( y i^i dom F ) <-> ( z e. y /\ z e. dom F ) )
36	35	simplbi 274	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( y i^i dom F ) -> z e. y )
37	34, 36	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. y ) )
38	29, 37	mtod 664	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> -. <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) )
39		unsnfi 6980	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` y ) e. Fin /\ <. z , ( F ` z ) >. e. _V /\ -. <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) ) -> ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) e. Fin )
40	22, 28, 38, 39	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) e. Fin )
41	21, 40	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) ) e. Fin )
42	15, 41	eqeltrid 2283	. . . 4 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin )
43	42	ex 115	. . 3 |- ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( F |` y ) e. Fin -> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
44		simpr 110	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
45	4, 6, 8, 10, 14, 43, 44	findcard2sd 6953	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` A ) e. Fin )
46	2, 45	eqeltrrd 2274	1 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> F e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   \ cdif 3154   u. cun 3155   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3450   {csn 3622   <.cop 3625   dom cdm 4663   |` cres 4665   Fn wfn 5253   ` cfv 5258   Fincfn 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1o 6474  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802

This theorem is referenced by:  fundmfibi  7004  resfnfinfinss  7005  seqf1oglem2  10612  seqf1og  10613  fihashf1rn  10880  fihashfn  10892  wrdfin  10954  xpsfrnel  12987