Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnfi Unicode version

Theorem fnfi 6818
 Description: A version of fnex 5635 for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnfi

Proof of Theorem fnfi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnresdm 5227 . . 3
3 reseq2 4809 . . . 4
43eleq1d 2206 . . 3
5 reseq2 4809 . . . 4
65eleq1d 2206 . . 3
7 reseq2 4809 . . . 4
87eleq1d 2206 . . 3
9 reseq2 4809 . . . 4
109eleq1d 2206 . . 3
11 res0 4818 . . . . 5
12 0fin 6771 . . . . 5
1311, 12eqeltri 2210 . . . 4
1413a1i 9 . . 3
15 resundi 4827 . . . . 5
16 simp-4l 530 . . . . . . . 8
17 simplrr 525 . . . . . . . . 9
1817eldifad 3077 . . . . . . . 8
19 fnressn 5599 . . . . . . . 8
2016, 18, 19syl2anc 408 . . . . . . 7
2120uneq2d 3225 . . . . . 6
22 simpr 109 . . . . . . 7
2317elexd 2694 . . . . . . . 8
24 funfvex 5431 . . . . . . . . . 10
2524funfni 5218 . . . . . . . . 9
2616, 18, 25syl2anc 408 . . . . . . . 8
27 opexg 4145 . . . . . . . 8
2823, 26, 27syl2anc 408 . . . . . . 7
2917eldifbd 3078 . . . . . . . 8
30 opeldmg 4739 . . . . . . . . . . 11
3118, 26, 30syl2anc 408 . . . . . . . . . 10
32 dmres 4835 . . . . . . . . . . 11
3332eleq2i 2204 . . . . . . . . . 10
3431, 33syl6ib 160 . . . . . . . . 9
35 elin 3254 . . . . . . . . . 10
3635simplbi 272 . . . . . . . . 9
3734, 36syl6 33 . . . . . . . 8
3829, 37mtod 652 . . . . . . 7
39 unsnfi 6800 . . . . . . 7
4022, 28, 38, 39syl3anc 1216 . . . . . 6
4121, 40eqeltrd 2214 . . . . 5
4215, 41eqeltrid 2224 . . . 4
4342ex 114 . . 3
44 simpr 109 . . 3
454, 6, 8, 10, 14, 43, 44findcard2sd 6779 . 2
462, 45eqeltrrd 2215 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wceq 1331   wcel 1480  cvv 2681   cdif 3063   cun 3064   cin 3065   wss 3066  c0 3358  csn 3522  cop 3525   cdm 4534   cres 4536   wfn 5113  cfv 5118  cfn 6627 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-1o 6306  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630 This theorem is referenced by:  fundmfibi  6820  resfnfinfinss  6821  fihashf1rn  10528  fihashfn  10539
 Copyright terms: Public domain W3C validator