Theorem fnfi 7178

Description: A version of fnex 5884 for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfi	|- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> F e. Fin )

Proof of Theorem fnfi

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresdm 5448	. . 3 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` A ) = F )
3		reseq2 5014	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( F |` w ) = ( F |` (/) ) )
4	3	eleq1d 2300	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` (/) ) e. Fin ) )
5		reseq2 5014	. . . 4 |- ( w = y -> ( F |` w ) = ( F |` y ) )
6	5	eleq1d 2300	. . 3 |- ( w = y -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` y ) e. Fin ) )
7		reseq2 5014	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( F |` w ) = ( F |` ( y u. { z } ) ) )
8	7	eleq1d 2300	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
9		reseq2 5014	. . . 4 |- ( w = A -> ( F |` w ) = ( F |` A ) )
10	9	eleq1d 2300	. . 3 |- ( w = A -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` A ) e. Fin ) )
11		res0 5023	. . . . 5 |- ( F |` (/) ) = (/)
12		0fi 7116	. . . . 5 |- (/) e. Fin
13	11, 12	eqeltri 2304	. . . 4 |- ( F |` (/) ) e. Fin
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` (/) ) e. Fin )
15		resundi 5032	. . . . 5 |- ( F |` ( y u. { z } ) ) = ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) )
16		simp-4l 543	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> F Fn A )
17		simplrr 538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
18	17	eldifad 3212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. A )
19		fnressn 5848	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ z e. A ) -> ( F |` { z } ) = { <. z , ( F ` z ) >. } )
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` { z } ) = { <. z , ( F ` z ) >. } )
21	20	uneq2d 3363	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) ) = ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) )
22		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` y ) e. Fin )
23	17	elexd 2817	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. _V )
24		funfvex 5665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. _V )
25	24	funfni 5439	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. _V )
26	16, 18, 25	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F ` z ) e. _V )
27		opexg 4326	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. _V /\ ( F ` z ) e. _V ) -> <. z , ( F ` z ) >. e. _V )
28	23, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> <. z , ( F ` z ) >. e. _V )
29	17	eldifbd 3213	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> -. z e. y )
30		opeldmg 4942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A /\ ( F ` z ) e. _V ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. dom ( F |` y ) ) )
31	18, 26, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. dom ( F |` y ) ) )
32		dmres 5040	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( F |` y ) = ( y i^i dom F )
33	32	eleq2i 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. dom ( F |` y ) <-> z e. ( y i^i dom F ) )
34	31, 33	imbitrdi 161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. ( y i^i dom F ) ) )
35		elin 3392	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( y i^i dom F ) <-> ( z e. y /\ z e. dom F ) )
36	35	simplbi 274	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( y i^i dom F ) -> z e. y )
37	34, 36	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. y ) )
38	29, 37	mtod 669	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> -. <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) )
39		unsnfi 7154	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` y ) e. Fin /\ <. z , ( F ` z ) >. e. _V /\ -. <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) ) -> ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) e. Fin )
40	22, 28, 38, 39	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) e. Fin )
41	21, 40	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) ) e. Fin )
42	15, 41	eqeltrid 2318	. . . 4 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin )
43	42	ex 115	. . 3 |- ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( F |` y ) e. Fin -> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
44		simpr 110	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
45	4, 6, 8, 10, 14, 43, 44	findcard2sd 7124	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` A ) e. Fin )
46	2, 45	eqeltrrd 2309	1 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> F e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   \ cdif 3198   u. cun 3199   i^i cin 3200   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673   <.cop 3676   dom cdm 4731   |` cres 4733   Fn wfn 5328   ` cfv 5333   Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955

This theorem is referenced by:  fundmfibi  7180  resfnfinfinss  7181  seqf1oglem2  10845  seqf1og  10846  fihashf1rn  11113  fihashfn  11126  wrdfin  11198  xpsfrnel  13507