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Theorem fnfi 6881
Description: A version of fnex 5689 for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnfi  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )

Proof of Theorem fnfi
Dummy variables  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnresdm 5279 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
21adantr 274 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( F  |`  A )  =  F )
3 reseq2 4861 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( F  |`  w )  =  ( F  |`  (/) ) )
43eleq1d 2226 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( F  |`  w )  e.  Fin  <->  ( F  |`  (/) )  e.  Fin )
)
5 reseq2 4861 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( F  |`  w )  =  ( F  |`  y
) )
65eleq1d 2226 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( F  |`  w
)  e.  Fin  <->  ( F  |`  y )  e.  Fin ) )
7 reseq2 4861 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( F  |`  w )  =  ( F  |`  ( y  u.  { z } ) ) )
87eleq1d 2226 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( F  |`  w )  e.  Fin  <->  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  Fin )
)
9 reseq2 4861 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( F  |`  w )  =  ( F  |`  A ) )
109eleq1d 2226 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( F  |`  w
)  e.  Fin  <->  ( F  |`  A )  e.  Fin ) )
11 res0 4870 . . . . 5  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
12 0fin 6829 . . . . 5  |-  (/)  e.  Fin
1311, 12eqeltri 2230 . . . 4  |-  ( F  |`  (/) )  e.  Fin
1413a1i 9 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( F  |`  (/) )  e. 
Fin )
15 resundi 4879 . . . . 5  |-  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( F  |`  y )  u.  ( F  |`  { z } ) )
16 simp-4l 531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  F  Fn  A
)
17 simplrr 526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
1817eldifad 3113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  A
)
19 fnressn 5653 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  z  e.  A )  ->  ( F  |`  { z } )  =  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } )
2016, 18, 19syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( F  |`  { z } )  =  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )
2120uneq2d 3261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( ( F  |`  y )  u.  ( F  |`  { z } ) )  =  ( ( F  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( F `  z ) >. } ) )
22 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( F  |`  y )  e.  Fin )
2317elexd 2725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  _V )
24 funfvex 5485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( F `  z
)  e.  _V )
2524funfni 5270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  A  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  _V )
2616, 18, 25syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( F `  z )  e.  _V )
27 opexg 4188 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( F `  z )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( F `
 z ) >.  e.  _V )
2823, 26, 27syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  <. z ,  ( F `  z )
>.  e.  _V )
2917eldifbd 3114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  y )
30 opeldmg 4791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  _V )  -> 
( <. z ,  ( F `  z )
>.  e.  ( F  |`  y )  ->  z  e.  dom  ( F  |`  y ) ) )
3118, 26, 30syl2anc 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( <. z ,  ( F `  z ) >.  e.  ( F  |`  y )  ->  z  e.  dom  ( F  |`  y ) ) )
32 dmres 4887 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( F  |`  y )  =  ( y  i^i  dom  F )
3332eleq2i 2224 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  dom  ( F  |`  y )  <->  z  e.  ( y  i^i  dom  F ) )
3431, 33syl6ib 160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( <. z ,  ( F `  z ) >.  e.  ( F  |`  y )  ->  z  e.  ( y  i^i  dom  F )
) )
35 elin 3290 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
dom  F )  <->  ( z  e.  y  /\  z  e.  dom  F ) )
3635simplbi 272 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
dom  F )  -> 
z  e.  y )
3734, 36syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( <. z ,  ( F `  z ) >.  e.  ( F  |`  y )  ->  z  e.  y ) )
3829, 37mtod 653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  -.  <. z ,  ( F `  z
) >.  e.  ( F  |`  y ) )
39 unsnfi 6863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  y
)  e.  Fin  /\  <.
z ,  ( F `
 z ) >.  e.  _V  /\  -.  <. z ,  ( F `  z ) >.  e.  ( F  |`  y )
)  ->  ( ( F  |`  y )  u. 
{ <. z ,  ( F `  z )
>. } )  e.  Fin )
4022, 28, 38, 39syl3anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( ( F  |`  y )  u.  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } )  e.  Fin )
4121, 40eqeltrd 2234 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( ( F  |`  y )  u.  ( F  |`  { z } ) )  e.  Fin )
4215, 41eqeltrid 2244 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) )  e.  Fin )
4342ex 114 . . 3  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  (
( F  |`  y
)  e.  Fin  ->  ( F  |`  ( y  u.  { z } ) )  e.  Fin )
)
44 simpr 109 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
454, 6, 8, 10, 14, 43, 44findcard2sd 6837 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( F  |`  A )  e.  Fin )
462, 45eqeltrrd 2235 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1335    e. wcel 2128   _Vcvv 2712    \ cdif 3099    u. cun 3100    i^i cin 3101    C_ wss 3102   (/)c0 3394   {csn 3560   <.cop 3563   dom cdm 4586    |` cres 4588    Fn wfn 5165   ` cfv 5170   Fincfn 6685
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-1o 6363  df-er 6480  df-en 6686  df-fin 6688
This theorem is referenced by:  fundmfibi  6883  resfnfinfinss  6884  fihashf1rn  10663  fihashfn  10674
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