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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fnfi | Unicode version |
Description: A version of fnex 5737 for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.) |
Ref | Expression |
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fnfi |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fnresdm 5324 |
. . 3
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2 | 1 | adantr 276 |
. 2
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3 | reseq2 4901 |
. . . 4
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4 | 3 | eleq1d 2246 |
. . 3
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5 | reseq2 4901 |
. . . 4
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6 | 5 | eleq1d 2246 |
. . 3
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7 | reseq2 4901 |
. . . 4
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8 | 7 | eleq1d 2246 |
. . 3
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9 | reseq2 4901 |
. . . 4
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10 | 9 | eleq1d 2246 |
. . 3
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11 | res0 4910 |
. . . . 5
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12 | 0fin 6881 |
. . . . 5
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13 | 11, 12 | eqeltri 2250 |
. . . 4
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14 | 13 | a1i 9 |
. . 3
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15 | resundi 4919 |
. . . . 5
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16 | simp-4l 541 |
. . . . . . . 8
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17 | simplrr 536 |
. . . . . . . . 9
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18 | 17 | eldifad 3140 |
. . . . . . . 8
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19 | fnressn 5701 |
. . . . . . . 8
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20 | 16, 18, 19 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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21 | 20 | uneq2d 3289 |
. . . . . 6
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22 | simpr 110 |
. . . . . . 7
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23 | 17 | elexd 2750 |
. . . . . . . 8
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24 | funfvex 5531 |
. . . . . . . . . 10
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25 | 24 | funfni 5315 |
. . . . . . . . 9
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26 | 16, 18, 25 | syl2anc 411 |
. . . . . . . 8
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27 | opexg 4227 |
. . . . . . . 8
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28 | 23, 26, 27 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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29 | 17 | eldifbd 3141 |
. . . . . . . 8
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30 | opeldmg 4831 |
. . . . . . . . . . 11
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31 | 18, 26, 30 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . 10
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32 | dmres 4927 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 32 | eleq2i 2244 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 31, 33 | syl6ib 161 |
. . . . . . . . 9
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35 | elin 3318 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 35 | simplbi 274 |
. . . . . . . . 9
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37 | 34, 36 | syl6 33 |
. . . . . . . 8
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38 | 29, 37 | mtod 663 |
. . . . . . 7
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39 | unsnfi 6915 |
. . . . . . 7
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40 | 22, 28, 38, 39 | syl3anc 1238 |
. . . . . 6
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41 | 21, 40 | eqeltrd 2254 |
. . . . 5
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42 | 15, 41 | eqeltrid 2264 |
. . . 4
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43 | 42 | ex 115 |
. . 3
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44 | simpr 110 |
. . 3
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45 | 4, 6, 8, 10, 14, 43, 44 | findcard2sd 6889 |
. 2
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46 | 2, 45 | eqeltrrd 2255 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4117 ax-sep 4120 ax-nul 4128 ax-pow 4173 ax-pr 4208 ax-un 4432 ax-setind 4535 ax-iinf 4586 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4003 df-opab 4064 df-mpt 4065 df-tr 4101 df-id 4292 df-iord 4365 df-on 4367 df-suc 4370 df-iom 4589 df-xp 4631 df-rel 4632 df-cnv 4633 df-co 4634 df-dm 4635 df-rn 4636 df-res 4637 df-ima 4638 df-iota 5177 df-fun 5217 df-fn 5218 df-f 5219 df-f1 5220 df-fo 5221 df-f1o 5222 df-fv 5223 df-1o 6414 df-er 6532 df-en 6738 df-fin 6740 |
This theorem is referenced by: fundmfibi 6935 resfnfinfinss 6936 fihashf1rn 10761 fihashfn 10773 |
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