Theorem fnfi 7038

Description: A version of fnex 5806 for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfi	|- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> F e. Fin )

Proof of Theorem fnfi

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresdm 5385	. . 3 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` A ) = F )
3		reseq2 4954	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( F |` w ) = ( F |` (/) ) )
4	3	eleq1d 2274	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` (/) ) e. Fin ) )
5		reseq2 4954	. . . 4 |- ( w = y -> ( F |` w ) = ( F |` y ) )
6	5	eleq1d 2274	. . 3 |- ( w = y -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` y ) e. Fin ) )
7		reseq2 4954	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( F |` w ) = ( F |` ( y u. { z } ) ) )
8	7	eleq1d 2274	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
9		reseq2 4954	. . . 4 |- ( w = A -> ( F |` w ) = ( F |` A ) )
10	9	eleq1d 2274	. . 3 |- ( w = A -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` A ) e. Fin ) )
11		res0 4963	. . . . 5 |- ( F |` (/) ) = (/)
12		0fin 6981	. . . . 5 |- (/) e. Fin
13	11, 12	eqeltri 2278	. . . 4 |- ( F |` (/) ) e. Fin
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` (/) ) e. Fin )
15		resundi 4972	. . . . 5 |- ( F |` ( y u. { z } ) ) = ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) )
16		simp-4l 541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> F Fn A )
17		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
18	17	eldifad 3177	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. A )
19		fnressn 5770	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ z e. A ) -> ( F |` { z } ) = { <. z , ( F ` z ) >. } )
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` { z } ) = { <. z , ( F ` z ) >. } )
21	20	uneq2d 3327	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) ) = ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) )
22		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` y ) e. Fin )
23	17	elexd 2785	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. _V )
24		funfvex 5593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. _V )
25	24	funfni 5376	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. _V )
26	16, 18, 25	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F ` z ) e. _V )
27		opexg 4272	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. _V /\ ( F ` z ) e. _V ) -> <. z , ( F ` z ) >. e. _V )
28	23, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> <. z , ( F ` z ) >. e. _V )
29	17	eldifbd 3178	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> -. z e. y )
30		opeldmg 4883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A /\ ( F ` z ) e. _V ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. dom ( F |` y ) ) )
31	18, 26, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. dom ( F |` y ) ) )
32		dmres 4980	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( F |` y ) = ( y i^i dom F )
33	32	eleq2i 2272	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. dom ( F |` y ) <-> z e. ( y i^i dom F ) )
34	31, 33	imbitrdi 161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. ( y i^i dom F ) ) )
35		elin 3356	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( y i^i dom F ) <-> ( z e. y /\ z e. dom F ) )
36	35	simplbi 274	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( y i^i dom F ) -> z e. y )
37	34, 36	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. y ) )
38	29, 37	mtod 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> -. <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) )
39		unsnfi 7016	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` y ) e. Fin /\ <. z , ( F ` z ) >. e. _V /\ -. <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) ) -> ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) e. Fin )
40	22, 28, 38, 39	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) e. Fin )
41	21, 40	eqeltrd 2282	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) ) e. Fin )
42	15, 41	eqeltrid 2292	. . . 4 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin )
43	42	ex 115	. . 3 |- ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( F |` y ) e. Fin -> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
44		simpr 110	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
45	4, 6, 8, 10, 14, 43, 44	findcard2sd 6989	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` A ) e. Fin )
46	2, 45	eqeltrrd 2283	1 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> F e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   \ cdif 3163   u. cun 3164   i^i cin 3165   C_ wss 3166   (/)c0 3460   {csn 3633   <.cop 3636   dom cdm 4675   |` cres 4677   Fn wfn 5266   ` cfv 5271   Fincfn 6827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6502  df-er 6620  df-en 6828  df-fin 6830

This theorem is referenced by:  fundmfibi  7040  resfnfinfinss  7041  seqf1oglem2  10665  seqf1og  10666  fihashf1rn  10933  fihashfn  10945  wrdfin  11013  xpsfrnel  13176