Theorem fnfi 6833

Description: A version of fnex 5650 for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfi	|- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> F e. Fin )

Proof of Theorem fnfi

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresdm 5240	. . 3 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
2	1	adantr 274	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` A ) = F )
3		reseq2 4822	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( F |` w ) = ( F |` (/) ) )
4	3	eleq1d 2209	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` (/) ) e. Fin ) )
5		reseq2 4822	. . . 4 |- ( w = y -> ( F |` w ) = ( F |` y ) )
6	5	eleq1d 2209	. . 3 |- ( w = y -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` y ) e. Fin ) )
7		reseq2 4822	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( F |` w ) = ( F |` ( y u. { z } ) ) )
8	7	eleq1d 2209	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
9		reseq2 4822	. . . 4 |- ( w = A -> ( F |` w ) = ( F |` A ) )
10	9	eleq1d 2209	. . 3 |- ( w = A -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` A ) e. Fin ) )
11		res0 4831	. . . . 5 |- ( F |` (/) ) = (/)
12		0fin 6786	. . . . 5 |- (/) e. Fin
13	11, 12	eqeltri 2213	. . . 4 |- ( F |` (/) ) e. Fin
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` (/) ) e. Fin )
15		resundi 4840	. . . . 5 |- ( F |` ( y u. { z } ) ) = ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) )
16		simp-4l 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> F Fn A )
17		simplrr 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
18	17	eldifad 3087	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. A )
19		fnressn 5614	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ z e. A ) -> ( F |` { z } ) = { <. z , ( F ` z ) >. } )
20	16, 18, 19	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` { z } ) = { <. z , ( F ` z ) >. } )
21	20	uneq2d 3235	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) ) = ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) )
22		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` y ) e. Fin )
23	17	elexd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. _V )
24		funfvex 5446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. _V )
25	24	funfni 5231	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. _V )
26	16, 18, 25	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F ` z ) e. _V )
27		opexg 4158	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. _V /\ ( F ` z ) e. _V ) -> <. z , ( F ` z ) >. e. _V )
28	23, 26, 27	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> <. z , ( F ` z ) >. e. _V )
29	17	eldifbd 3088	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> -. z e. y )
30		opeldmg 4752	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A /\ ( F ` z ) e. _V ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. dom ( F |` y ) ) )
31	18, 26, 30	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. dom ( F |` y ) ) )
32		dmres 4848	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( F |` y ) = ( y i^i dom F )
33	32	eleq2i 2207	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. dom ( F |` y ) <-> z e. ( y i^i dom F ) )
34	31, 33	syl6ib 160	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. ( y i^i dom F ) ) )
35		elin 3264	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( y i^i dom F ) <-> ( z e. y /\ z e. dom F ) )
36	35	simplbi 272	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( y i^i dom F ) -> z e. y )
37	34, 36	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. y ) )
38	29, 37	mtod 653	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> -. <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) )
39		unsnfi 6815	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` y ) e. Fin /\ <. z , ( F ` z ) >. e. _V /\ -. <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) ) -> ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) e. Fin )
40	22, 28, 38, 39	syl3anc 1217	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) e. Fin )
41	21, 40	eqeltrd 2217	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) ) e. Fin )
42	15, 41	eqeltrid 2227	. . . 4 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin )
43	42	ex 114	. . 3 |- ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( F |` y ) e. Fin -> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
44		simpr 109	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
45	4, 6, 8, 10, 14, 43, 44	findcard2sd 6794	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` A ) e. Fin )
46	2, 45	eqeltrrd 2218	1 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> F e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   \ cdif 3073   u. cun 3074   i^i cin 3075   C_ wss 3076   (/)c0 3368   {csn 3532   <.cop 3535   dom cdm 4547   |` cres 4549   Fn wfn 5126   ` cfv 5131   Fincfn 6642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1o 6321  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645

This theorem is referenced by:  fundmfibi  6835  resfnfinfinss  6836  fihashf1rn  10567  fihashfn  10578