Theorem fnfi 6930

Description: A version of fnex 5734 for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfi	|- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> F e. Fin )

Proof of Theorem fnfi

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnresdm 5321	. . 3 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )
2	1	adantr 276	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` A ) = F )
3		reseq2 4898	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( F |` w ) = ( F |` (/) ) )
4	3	eleq1d 2246	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` (/) ) e. Fin ) )
5		reseq2 4898	. . . 4 |- ( w = y -> ( F |` w ) = ( F |` y ) )
6	5	eleq1d 2246	. . 3 |- ( w = y -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` y ) e. Fin ) )
7		reseq2 4898	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( F |` w ) = ( F |` ( y u. { z } ) ) )
8	7	eleq1d 2246	. . 3 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
9		reseq2 4898	. . . 4 |- ( w = A -> ( F |` w ) = ( F |` A ) )
10	9	eleq1d 2246	. . 3 |- ( w = A -> ( ( F |` w ) e. Fin <-> ( F |` A ) e. Fin ) )
11		res0 4907	. . . . 5 |- ( F |` (/) ) = (/)
12		0fin 6878	. . . . 5 |- (/) e. Fin
13	11, 12	eqeltri 2250	. . . 4 |- ( F |` (/) ) e. Fin
14	13	a1i 9	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` (/) ) e. Fin )
15		resundi 4916	. . . . 5 |- ( F |` ( y u. { z } ) ) = ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) )
16		simp-4l 541	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> F Fn A )
17		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. ( A \ y ) )
18	17	eldifad 3140	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. A )
19		fnressn 5698	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn A /\ z e. A ) -> ( F |` { z } ) = { <. z , ( F ` z ) >. } )
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` { z } ) = { <. z , ( F ` z ) >. } )
21	20	uneq2d 3289	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) ) = ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) )
22		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` y ) e. Fin )
23	17	elexd 2750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> z e. _V )
24		funfvex 5528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. _V )
25	24	funfni 5312	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. _V )
26	16, 18, 25	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F ` z ) e. _V )
27		opexg 4225	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. _V /\ ( F ` z ) e. _V ) -> <. z , ( F ` z ) >. e. _V )
28	23, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> <. z , ( F ` z ) >. e. _V )
29	17	eldifbd 3141	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> -. z e. y )
30		opeldmg 4828	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A /\ ( F ` z ) e. _V ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. dom ( F |` y ) ) )
31	18, 26, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. dom ( F |` y ) ) )
32		dmres 4924	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( F |` y ) = ( y i^i dom F )
33	32	eleq2i 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. dom ( F |` y ) <-> z e. ( y i^i dom F ) )
34	31, 33	syl6ib 161	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. ( y i^i dom F ) ) )
35		elin 3318	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( y i^i dom F ) <-> ( z e. y /\ z e. dom F ) )
36	35	simplbi 274	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ( y i^i dom F ) -> z e. y )
37	34, 36	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) -> z e. y ) )
38	29, 37	mtod 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> -. <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) )
39		unsnfi 6912	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` y ) e. Fin /\ <. z , ( F ` z ) >. e. _V /\ -. <. z , ( F ` z ) >. e. ( F |` y ) ) -> ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) e. Fin )
40	22, 28, 38, 39	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. { <. z , ( F ` z ) >. } ) e. Fin )
41	21, 40	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( ( F |` y ) u. ( F |` { z } ) ) e. Fin )
42	15, 41	eqeltrid 2264	. . . 4 |- ( ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ ( F |` y ) e. Fin ) -> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin )
43	42	ex 115	. . 3 |- ( ( ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( F |` y ) e. Fin -> ( F |` ( y u. { z } ) ) e. Fin ) )
44		simpr 110	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> A e. Fin )
45	4, 6, 8, 10, 14, 43, 44	findcard2sd 6886	. 2 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> ( F |` A ) e. Fin )
46	2, 45	eqeltrrd 2255	1 |- ( ( F Fn A /\ A e. Fin ) -> F e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   \ cdif 3126   u. cun 3127   i^i cin 3128   C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3591   <.cop 3594   dom cdm 4623   |` cres 4625   Fn wfn 5207   ` cfv 5212   Fincfn 6734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-1o 6411  df-er 6529  df-en 6735  df-fin 6737

This theorem is referenced by:  fundmfibi  6932  resfnfinfinss  6933  fihashf1rn  10752  fihashfn  10764