ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnfi Unicode version

Theorem fnfi 6644
Description: A version of fnex 5519 for finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnfi  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )

Proof of Theorem fnfi
Dummy variables  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnresdm 5123 . . 3  |-  ( F  Fn  A  ->  ( F  |`  A )  =  F )
21adantr 270 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( F  |`  A )  =  F )
3 reseq2 4708 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( F  |`  w )  =  ( F  |`  (/) ) )
43eleq1d 2156 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( F  |`  w )  e.  Fin  <->  ( F  |`  (/) )  e.  Fin )
)
5 reseq2 4708 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( F  |`  w )  =  ( F  |`  y
) )
65eleq1d 2156 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( F  |`  w
)  e.  Fin  <->  ( F  |`  y )  e.  Fin ) )
7 reseq2 4708 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( F  |`  w )  =  ( F  |`  ( y  u.  { z } ) ) )
87eleq1d 2156 . . 3  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( F  |`  w )  e.  Fin  <->  ( F  |`  ( y  u. 
{ z } ) )  e.  Fin )
)
9 reseq2 4708 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( F  |`  w )  =  ( F  |`  A ) )
109eleq1d 2156 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( F  |`  w
)  e.  Fin  <->  ( F  |`  A )  e.  Fin ) )
11 res0 4717 . . . . 5  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
12 0fin 6598 . . . . 5  |-  (/)  e.  Fin
1311, 12eqeltri 2160 . . . 4  |-  ( F  |`  (/) )  e.  Fin
1413a1i 9 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( F  |`  (/) )  e. 
Fin )
15 resundi 4726 . . . . 5  |-  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) )  =  ( ( F  |`  y )  u.  ( F  |`  { z } ) )
16 simp-4l 508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  F  Fn  A
)
17 simplrr 503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  ( A  \  y ) )
1817eldifad 3010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  A
)
19 fnressn 5483 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  A  /\  z  e.  A )  ->  ( F  |`  { z } )  =  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } )
2016, 18, 19syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( F  |`  { z } )  =  { <. z ,  ( F `  z ) >. } )
2120uneq2d 3154 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( ( F  |`  y )  u.  ( F  |`  { z } ) )  =  ( ( F  |`  y
)  u.  { <. z ,  ( F `  z ) >. } ) )
22 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( F  |`  y )  e.  Fin )
2317elexd 2632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  z  e.  _V )
24 funfvex 5322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( F `  z
)  e.  _V )
2524funfni 5114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Fn  A  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  _V )
2616, 18, 25syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( F `  z )  e.  _V )
27 opexg 4055 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  _V  /\  ( F `  z )  e.  _V )  ->  <. z ,  ( F `
 z ) >.  e.  _V )
2823, 26, 27syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  <. z ,  ( F `  z )
>.  e.  _V )
2917eldifbd 3011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  -.  z  e.  y )
30 opeldmg 4641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  A  /\  ( F `  z )  e.  _V )  -> 
( <. z ,  ( F `  z )
>.  e.  ( F  |`  y )  ->  z  e.  dom  ( F  |`  y ) ) )
3118, 26, 30syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( <. z ,  ( F `  z ) >.  e.  ( F  |`  y )  ->  z  e.  dom  ( F  |`  y ) ) )
32 dmres 4734 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( F  |`  y )  =  ( y  i^i  dom  F )
3332eleq2i 2154 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  dom  ( F  |`  y )  <->  z  e.  ( y  i^i  dom  F ) )
3431, 33syl6ib 159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( <. z ,  ( F `  z ) >.  e.  ( F  |`  y )  ->  z  e.  ( y  i^i  dom  F )
) )
35 elin 3183 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
dom  F )  <->  ( z  e.  y  /\  z  e.  dom  F ) )
3635simplbi 268 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( y  i^i 
dom  F )  -> 
z  e.  y )
3734, 36syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( <. z ,  ( F `  z ) >.  e.  ( F  |`  y )  ->  z  e.  y ) )
3829, 37mtod 624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  -.  <. z ,  ( F `  z
) >.  e.  ( F  |`  y ) )
39 unsnfi 6627 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  y
)  e.  Fin  /\  <.
z ,  ( F `
 z ) >.  e.  _V  /\  -.  <. z ,  ( F `  z ) >.  e.  ( F  |`  y )
)  ->  ( ( F  |`  y )  u. 
{ <. z ,  ( F `  z )
>. } )  e.  Fin )
4022, 28, 38, 39syl3anc 1174 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( ( F  |`  y )  u.  { <. z ,  ( F `
 z ) >. } )  e.  Fin )
4121, 40eqeltrd 2164 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( ( F  |`  y )  u.  ( F  |`  { z } ) )  e.  Fin )
4215, 41syl5eqel 2174 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  /\  ( F  |`  y )  e.  Fin )  ->  ( F  |`  ( y  u.  {
z } ) )  e.  Fin )
4342ex 113 . . 3  |-  ( ( ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  /\  y  e.  Fin )  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  (
( F  |`  y
)  e.  Fin  ->  ( F  |`  ( y  u.  { z } ) )  e.  Fin )
)
44 simpr 108 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  A  e.  Fin )
454, 6, 8, 10, 14, 43, 44findcard2sd 6606 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  ( F  |`  A )  e.  Fin )
462, 45eqeltrrd 2165 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A  e.  Fin )  ->  F  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619    \ cdif 2996    u. cun 2997    i^i cin 2998    C_ wss 2999   (/)c0 3286   {csn 3446   <.cop 3449   dom cdm 4438    |` cres 4440    Fn wfn 5010   ` cfv 5015   Fincfn 6455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1o 6181  df-er 6290  df-en 6456  df-fin 6458
This theorem is referenced by:  fundmfibi  6646  resfnfinfinss  6647  fihashf1rn  10193  fihashfn  10204
  Copyright terms: Public domain W3C validator