ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfr0 Unicode version

Theorem tfr0 6317
Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
tfr.1  |-  F  = recs ( G )
Assertion
Ref Expression
tfr0  |-  ( ( G `  (/) )  e.  V  ->  ( F `  (/) )  =  ( G `  (/) ) )

Proof of Theorem tfr0
StepHypRef Expression
1 tfr.1 . . . 4  |-  F  = recs ( G )
21tfr0dm 6316 . . 3  |-  ( ( G `  (/) )  e.  V  ->  (/)  e.  dom  F )
31tfr2a 6315 . . 3  |-  ( (/)  e.  dom  F  ->  ( F `  (/) )  =  ( G `  ( F  |`  (/) ) ) )
42, 3syl 14 . 2  |-  ( ( G `  (/) )  e.  V  ->  ( F `  (/) )  =  ( G `  ( F  |`  (/) ) ) )
5 res0 4906 . . 3  |-  ( F  |`  (/) )  =  (/)
65fveq2i 5513 . 2  |-  ( G `
 ( F  |`  (/) ) )  =  ( G `  (/) )
74, 6eqtrdi 2226 1  |-  ( ( G `  (/) )  e.  V  ->  ( F `  (/) )  =  ( G `  (/) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148   (/)c0 3422   dom cdm 4622    |` cres 4624   ` cfv 5211  recscrecs 6298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-res 4634  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-fv 5219  df-recs 6299
This theorem is referenced by:  rdg0  6381  frec0g  6391
  Copyright terms: Public domain W3C validator