Theorem tfr0 6228

Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfr.1	|- F = recs ( G )

Assertion

Ref	Expression
tfr0	|- ( ( G ` (/) ) e. V -> ( F ` (/) ) = ( G ` (/) ) )

Proof of Theorem tfr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfr.1	. . . 4 |- F = recs ( G )
2	1	tfr0dm 6227	. . 3 |- ( ( G ` (/) ) e. V -> (/) e. dom F )
3	1	tfr2a 6226	. . 3 |- ( (/) e. dom F -> ( F ` (/) ) = ( G ` ( F |` (/) ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( G ` (/) ) e. V -> ( F ` (/) ) = ( G ` ( F |` (/) ) ) )
5		res0 4831	. . 3 |- ( F |` (/) ) = (/)
6	5	fveq2i 5432	. 2 |- ( G ` ( F |` (/) ) ) = ( G ` (/) )
7	4, 6	eqtrdi 2189	1 |- ( ( G ` (/) ) e. V -> ( F ` (/) ) = ( G ` (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 1481   (/)c0 3368   dom cdm 4547   |` cres 4549   ` cfv 5131  recscrecs 6209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-fv 5139  df-recs 6210

This theorem is referenced by:  rdg0  6292  frec0g  6302