Theorem tfr0 6260

Description: Transfinite recursion at the empty set. (Contributed by Jim Kingdon, 8-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
tfr.1	|- F = recs ( G )

Assertion

Ref	Expression
tfr0	|- ( ( G ` (/) ) e. V -> ( F ` (/) ) = ( G ` (/) ) )

Proof of Theorem tfr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfr.1	. . . 4 |- F = recs ( G )
2	1	tfr0dm 6259	. . 3 |- ( ( G ` (/) ) e. V -> (/) e. dom F )
3	1	tfr2a 6258	. . 3 |- ( (/) e. dom F -> ( F ` (/) ) = ( G ` ( F |` (/) ) ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( G ` (/) ) e. V -> ( F ` (/) ) = ( G ` ( F |` (/) ) ) )
5		res0 4863	. . 3 |- ( F |` (/) ) = (/)
6	5	fveq2i 5464	. 2 |- ( G ` ( F |` (/) ) ) = ( G ` (/) )
7	4, 6	eqtrdi 2203	1 |- ( ( G ` (/) ) e. V -> ( F ` (/) ) = ( G ` (/) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1332   e. wcel 2125   (/)c0 3390   dom cdm 4579   |` cres 4581   ` cfv 5163  recscrecs 6241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-suc 4326  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-res 4591  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-fv 5171  df-recs 6242

This theorem is referenced by:  rdg0  6324  frec0g  6334