Theorem res0 4895

Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by NM, 12-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
res0	⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Proof of Theorem res0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4623	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = (𝐴 ∩ (∅ × V))
2		0xp 4691	. . 3 ⊢ (∅ × V) = ∅
3	2	ineq2i 3325	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (∅ × V)) = (𝐴 ∩ ∅)
4		in0 3449	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2195	1 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1348  Vcvv 2730   ∩ cin 3120  ∅c0 3414   × cxp 4609   ↾ cres 4613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-opab 4051  df-xp 4617  df-res 4623

This theorem is referenced by:  ima0  4970  resdisj  5039  smo0  6277  tfr0dm  6301  tfr0  6302  fnfi  6914  setsslid  12466