Theorem res0 5067

Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by NM, 12-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
res0	⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Proof of Theorem res0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4786	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = (𝐴 ∩ (∅ × V))
2		0xp 4855	. . 3 ⊢ (∅ × V) = ∅
3	2	ineq2i 3429	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (∅ × V)) = (𝐴 ∩ ∅)
4		in0 3557	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2263	1 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  Vcvv 2821   ∩ cin 3219  ∅c0 3520   × cxp 4772   ↾ cres 4776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-opab 4193  df-xp 4780  df-res 4786

This theorem is used by:  ima0  5146  resdisj  5216  smo0  6569  tfr0dm  6593  tfr0  6594  fnfi  7250  setsslid  13405  gzsumsplit0  14150  gsumclfi  14161  gsummptfidmadd  14163  gsumsubmclfi  14165  egrsubgr  16516  0grsubgr  16517  eupth2lembfi  16730