Theorem res0 4705

Description: A restriction to the empty set is empty. (Contributed by NM, 12-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
res0	⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Proof of Theorem res0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 4440	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = (𝐴 ∩ (∅ × V))
2		0xp 4506	. . 3 ⊢ (∅ × V) = ∅
3	2	ineq2i 3196	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ (∅ × V)) = (𝐴 ∩ ∅)
4		in0 3315	. 2 ⊢ (𝐴 ∩ ∅) = ∅
5	1, 3, 4	3eqtri 2112	1 ⊢ (𝐴 ↾ ∅) = ∅

Syntax hints:   = wceq 1289  Vcvv 2619   ∩ cin 2996  ∅c0 3284   × cxp 4426   ↾ cres 4430

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-opab 3892  df-xp 4434  df-res 4440

This theorem is referenced by:  ima0  4778  resdisj  4846  smo0  6045  tfr0dm  6069  tfr0  6070  fnfi  6625