Theorem rimrcl 13659

Description: Reverse closure for an isomorphism of rings. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rimrcl	|- ( F e. ( R RingIso S ) -> ( R e. _V /\ S e. _V ) )

Proof of Theorem rimrcl

Dummy variables f r s are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rim 13652	. 2 |- RingIso = ( r e. _V , s e. _V |-> { f e. ( r RingHom s ) | `' f e. ( s RingHom r ) } )
2	1	elmpocl 6115	1 |- ( F e. ( R RingIso S ) -> ( R e. _V /\ S e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   {crab 2476   _Vcvv 2760   `'ccnv 4659  (class class class)co 5919   RingHom crh 13649   RingIso crs 13650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-rim 13652

This theorem is referenced by:  isrim0  13660