ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elmpocl Unicode version

Theorem elmpocl 6068
Description: If a two-parameter class is inhabited, constrain the implicit pair. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
elmpocl.f  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
Assertion
Ref Expression
elmpocl  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  B )
)
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, B, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)    S( x, y)    T( x, y)    F( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem elmpocl
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmpocl.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )
2 df-mpo 5879 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A ,  y  e.  B  |->  C )  =  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) }
31, 2eqtri 2198 . . . . 5  |-  F  =  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }
43dmeqi 4828 . . . 4  |-  dom  F  =  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C
) }
5 dmoprabss 5956 . . . 4  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  =  C ) }  C_  ( A  X.  B
)
64, 5eqsstri 3187 . . 3  |-  dom  F  C_  ( A  X.  B
)
71mpofun 5976 . . . . . 6  |-  Fun  F
8 funrel 5233 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  Rel  F )
97, 8ax-mp 5 . . . . 5  |-  Rel  F
10 relelfvdm 5547 . . . . 5  |-  ( ( Rel  F  /\  X  e.  ( F `  <. S ,  T >. )
)  ->  <. S ,  T >.  e.  dom  F
)
119, 10mpan 424 . . . 4  |-  ( X  e.  ( F `  <. S ,  T >. )  ->  <. S ,  T >.  e.  dom  F )
12 df-ov 5877 . . . 4  |-  ( S F T )  =  ( F `  <. S ,  T >. )
1311, 12eleq2s 2272 . . 3  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  <. S ,  T >.  e.  dom  F
)
146, 13sselid 3153 . 2  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  <. S ,  T >.  e.  ( A  X.  B ) )
15 opelxp 4656 . 2  |-  ( <. S ,  T >.  e.  ( A  X.  B
)  <->  ( S  e.  A  /\  T  e.  B ) )
1614, 15sylib 122 1  |-  ( X  e.  ( S F T )  ->  ( S  e.  A  /\  T  e.  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1353    e. wcel 2148   <.cop 3595    X. cxp 4624   dom cdm 4626   Rel wrel 4631   Fun wfun 5210   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   {coprab 5875    e. cmpo 5876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879
This theorem is referenced by:  elmpocl1  6069  elmpocl2  6070  elovmpo  6071  elpmi  6666  elmapex  6668  pmsspw  6682  ixxssxr  9899  elixx3g  9900  ixxssixx  9901  eliooxr  9926  elfz2  10014  restsspw  12697  ismhm  12852  restrcl  13637  ssrest  13652  iscn2  13670  ishmeo  13774  limcrcl  14097
  Copyright terms: Public domain W3C validator