Theorem elmpocl 6249

Description: If a two-parameter class is inhabited, constrain the implicit pair. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
elmpocl.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
elmpocl	|- ( X e. ( S F T ) -> ( S e. A /\ T e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   S( x, y)   T( x, y)   F( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem elmpocl

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmpocl.f	. . . . . 6 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2		df-mpo 6055	. . . . . 6 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
3	1, 2	eqtri 2253	. . . . 5 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
4	3	dmeqi 4957	. . . 4 |- dom F = dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
5		dmoprabss 6135	. . . 4 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } C_ ( A X. B )
6	4, 5	eqsstri 3270	. . 3 |- dom F C_ ( A X. B )
7	1	mpofun 6155	. . . . . 6 |- Fun F
8		funrel 5369	. . . . . 6 |- ( Fun F -> Rel F )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel F
10		relelfvdm 5702	. . . . 5 |- ( ( Rel F /\ X e. ( F ` <. S , T >. ) ) -> <. S , T >. e. dom F )
11	9, 10	mpan 424	. . . 4 |- ( X e. ( F ` <. S , T >. ) -> <. S , T >. e. dom F )
12		df-ov 6053	. . . 4 |- ( S F T ) = ( F ` <. S , T >. )
13	11, 12	eleq2s 2327	. . 3 |- ( X e. ( S F T ) -> <. S , T >. e. dom F )
14	6, 13	sselid 3236	. 2 |- ( X e. ( S F T ) -> <. S , T >. e. ( A X. B ) )
15		opelxp 4779	. 2 |- ( <. S , T >. e. ( A X. B ) <-> ( S e. A /\ T e. B ) )
16	14, 15	sylib 122	1 |- ( X e. ( S F T ) -> ( S e. A /\ T e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   <.cop 3692   X. cxp 4747   dom cdm 4749   Rel wrel 4754   Fun wfun 5346   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   {coprab 6051   e. cmpo 6052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055

This theorem is referenced by:  elmpocl1  6250  elmpocl2  6251  elovmpo  6253  elovmporab  6254  elovmporab1w  6255  fczsupp0  6459  suppssdc  6460  elpmi  6901  elmapex  6903  pmsspw  6917  ixxssxr  10233  elixx3g  10234  ixxssixx  10235  eliooxr  10260  elfz2  10349  restsspw  13462  ismhm  13674  isghm  13960  isrhm  14303  rimrcl  14305  restrcl  15032  ssrest  15047  iscn2  15065  ishmeo  15169  limcrcl  15523  clwwlknon  16424