Theorem elmpocl 6287

Description: If a two-parameter class is inhabited, constrain the implicit pair. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
elmpocl.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
elmpocl	|- ( X e. ( S F T ) -> ( S e. A /\ T e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   S( x, y)   T( x, y)   F( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem elmpocl

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmpocl.f	. . . . . 6 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2		df-mpo 6093	. . . . . 6 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
3	1, 2	eqtri 2259	. . . . 5 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
4	3	dmeqi 4984	. . . 4 |- dom F = dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
5		dmoprabss 6173	. . . 4 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } C_ ( A X. B )
6	4, 5	eqsstri 3280	. . 3 |- dom F C_ ( A X. B )
7	1	mpofun 6193	. . . . . 6 |- Fun F
8		funrel 5397	. . . . . 6 |- ( Fun F -> Rel F )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel F
10		relelfvdm 5730	. . . . 5 |- ( ( Rel F /\ X e. ( F ` <. S , T >. ) ) -> <. S , T >. e. dom F )
11	9, 10	mpan 428	. . . 4 |- ( X e. ( F ` <. S , T >. ) -> <. S , T >. e. dom F )
12		df-ov 6091	. . . 4 |- ( S F T ) = ( F ` <. S , T >. )
13	11, 12	eleq2s 2333	. . 3 |- ( X e. ( S F T ) -> <. S , T >. e. dom F )
14	6, 13	sselid 3246	. 2 |- ( X e. ( S F T ) -> <. S , T >. e. ( A X. B ) )
15		opelxp 4806	. 2 |- ( <. S , T >. e. ( A X. B ) <-> ( S e. A /\ T e. B ) )
16	14, 15	sylib 122	1 |- ( X e. ( S F T ) -> ( S e. A /\ T e. B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   X. cxp 4774   dom cdm 4776   Rel wrel 4781   Fun wfun 5374   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   {coprab 6089   e. cmpo 6090

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093

This theorem is used by:  elmpocl1  6288  elmpocl2  6289  elovmpo  6291  elovmporab  6292  elovmporab1w  6293  fczsupp0  6503  suppssdc  6504  elpmi  6946  elmapex  6948  pmsspw  6969  ixxssxr  10318  elixx3g  10319  ixxssixx  10320  eliooxr  10345  elfz2  10434  ressmex  13477  restsspw  13661  ismhm  13826  isghm  14104  isrhm  14573  rimrcl  14575  restrcl  15410  ssrest  15425  iscn2  15443  ishmeo  15547  limcrcl  15901  clwwlknon  16892