Theorem elmpocl 6284

Description: If a two-parameter class is inhabited, constrain the implicit pair. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
elmpocl.f	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
elmpocl	|- ( X e. ( S F T ) -> ( S e. A /\ T e. B ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Allowed substitution hints:   C( x, y)   S( x, y)   T( x, y)   F( x, y)   X( x, y)

Proof of Theorem elmpocl

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmpocl.f	. . . . . 6 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2		df-mpo 6090	. . . . . 6 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
3	1, 2	eqtri 2259	. . . . 5 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
4	3	dmeqi 4982	. . . 4 |- dom F = dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
5		dmoprabss 6170	. . . 4 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } C_ ( A X. B )
6	4, 5	eqsstri 3280	. . 3 |- dom F C_ ( A X. B )
7	1	mpofun 6190	. . . . . 6 |- Fun F
8		funrel 5394	. . . . . 6 |- ( Fun F -> Rel F )
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . 5 |- Rel F
10		relelfvdm 5727	. . . . 5 |- ( ( Rel F /\ X e. ( F ` <. S , T >. ) ) -> <. S , T >. e. dom F )
11	9, 10	mpan 428	. . . 4 |- ( X e. ( F ` <. S , T >. ) -> <. S , T >. e. dom F )
12		df-ov 6088	. . . 4 |- ( S F T ) = ( F ` <. S , T >. )
13	11, 12	eleq2s 2333	. . 3 |- ( X e. ( S F T ) -> <. S , T >. e. dom F )
14	6, 13	sselid 3246	. 2 |- ( X e. ( S F T ) -> <. S , T >. e. ( A X. B ) )
15		opelxp 4804	. 2 |- ( <. S , T >. e. ( A X. B ) <-> ( S e. A /\ T e. B ) )
16	14, 15	sylib 122	1 |- ( X e. ( S F T ) -> ( S e. A /\ T e. B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   X. cxp 4772   dom cdm 4774   Rel wrel 4779   Fun wfun 5371   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   {coprab 6086   e. cmpo 6087

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090

This theorem is used by:  elmpocl1  6285  elmpocl2  6286  elovmpo  6288  elovmporab  6289  elovmporab1w  6290  fczsupp0  6499  suppssdc  6500  elpmi  6941  elmapex  6943  pmsspw  6964  ixxssxr  10302  elixx3g  10303  ixxssixx  10304  eliooxr  10329  elfz2  10418  restsspw  13603  ismhm  13768  isghm  14046  isrhm  14465  rimrcl  14467  restrcl  15268  ssrest  15283  iscn2  15301  ishmeo  15405  limcrcl  15759  clwwlknon  16670