Theorem riotacl 6019

Description: Closure of restricted iota. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
riotacl	|- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem riotacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3323	. 2 |- { x e. A | ph } C_ A
2		riotacl2 6018	. 2 |- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. { x e. A | ph } )
3	1, 2	sselid 3236	1 |- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   E!wreu 2522   {crab 2524   iota_crio 6002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-iota 5312  df-riota 6003

This theorem is referenced by:  riotaeqimp  6028  riotaprop  6029  riotass2  6032  riotass  6033  acexmidlemcase  6045  supclti  7289  caucvgsrlemcl  8104  caucvgsrlemgt1  8110  axcaucvglemcl  8210  subval  8465  subcl  8472  divvalap  8948  divclap  8952  lbcl  9220  divfnzn  9953  flqcl  10633  flapcl  10635  cjval  11530  cjth  11531  cjf  11532  oddpwdclemodd  12869  oddpwdclemdc  12870  oddpwdc  12871  qnumdencl  12884  qnumdenbi  12889  ismgmid  13590  grpinvf  13760  uspgredg2vlem  16215  usgredg2vlem1  16217