Theorem riotacl 5752

Description: Closure of restricted iota. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
riotacl	|- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem riotacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3187	. 2 |- { x e. A | ph } C_ A
2		riotacl2 5751	. 2 |- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. { x e. A | ph } )
3	1, 2	sseldi 3100	1 |- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   E!wreu 2419   {crab 2421   iota_crio 5737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-iota 5096  df-riota 5738

This theorem is referenced by:  riotaprop  5761  riotass2  5764  riotass  5765  acexmidlemcase  5777  supclti  6893  caucvgsrlemcl  7621  caucvgsrlemgt1  7627  axcaucvglemcl  7727  subval  7978  subcl  7985  divvalap  8458  divclap  8462  lbcl  8728  divfnzn  9440  flqcl  10077  flapcl  10079  cjval  10649  cjth  10650  cjf  10651  oddpwdclemodd  11886  oddpwdclemdc  11887  oddpwdc  11888  qnumdencl  11901  qnumdenbi  11906