Theorem riotacl 6054

Description: Closure of restricted iota. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
riotacl	|- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem riotacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3333	. 2 |- { x e. A | ph } C_ A
2		riotacl2 6053	. 2 |- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. { x e. A | ph } )
3	1, 2	sselid 3246	1 |- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. A )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   E!wreu 2530   {crab 2532   iota_crio 6037

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936  df-iota 5337  df-riota 6038

This theorem is used by:  riotaeqimp  6063  riotaprop  6064  riotass2  6067  riotass  6068  acexmidlemcase  6080  supclti  7338  caucvgsrlemcl  8156  caucvgsrlemgt1  8162  axcaucvglemcl  8262  subval  8518  subcl  8525  divvalap  9004  divclap  9008  lbcl  9276  divfnzn  10021  flqcl  10708  flapcl  10710  cjval  11610  cjth  11611  cjf  11612  oddpwdclemodd  12950  oddpwdclemdc  12951  oddpwdc  12952  qnumdencl  12965  qnumdenbi  12970  ismgmid  13697  grpinvf  13852  uspgredg2vlem  16461  usgredg2vlem1  16463