Theorem riotacl 5927

Description: Closure of restricted iota. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
riotacl	|- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. A )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem riotacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3282	. 2 |- { x e. A | ph } C_ A
2		riotacl2 5926	. 2 |- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. { x e. A | ph } )
3	1, 2	sselid 3195	1 |- ( E! x e. A ph -> ( iota_ x e. A ph ) e. A )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2177   E!wreu 2487   {crab 2489   iota_crio 5911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-sn 3644  df-pr 3645  df-uni 3857  df-iota 5241  df-riota 5912

This theorem is referenced by:  riotaprop  5936  riotass2  5939  riotass  5940  acexmidlemcase  5952  supclti  7115  caucvgsrlemcl  7922  caucvgsrlemgt1  7928  axcaucvglemcl  8028  subval  8284  subcl  8291  divvalap  8767  divclap  8771  lbcl  9039  divfnzn  9762  flqcl  10438  flapcl  10440  cjval  11231  cjth  11232  cjf  11233  oddpwdclemodd  12569  oddpwdclemdc  12570  oddpwdc  12571  qnumdencl  12584  qnumdenbi  12589  ismgmid  13284  grpinvf  13454