Theorem riotass2 5749

Description: Restriction of a unique element to a smaller class. (Contributed by NM, 21-Aug-2011.) (Revised by NM, 22-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
riotass2	⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem riotass2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuss2 3351	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
2		simplr 519	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓))
3		riotasbc 5738	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → [(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥]𝜑)
4		riotacl 5737	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)
5		rspsbc 2986	. . . . . . 7 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓) → [(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥](𝜑 → 𝜓)))
6		sbcimg 2945	. . . . . . 7 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴 → ([(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥](𝜑 → 𝜓) ↔ ([(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥]𝜑 → [(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥]𝜓)))
7	5, 6	sylibd 148	. . . . . 6 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓) → ([(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥]𝜑 → [(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥]𝜓)))
8	4, 7	syl 14	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓) → ([(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥]𝜑 → [(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥]𝜓)))
9	3, 8	mpid 42	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓) → [(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥]𝜓))
10	1, 2, 9	sylc 62	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → [(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥]𝜓)
11	1, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴)
12		ssel 3086	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐵))
13	12	ad2antrr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐴 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐵))
14	11, 13	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐵)
15		simprr 521	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)
16		nfriota1 5730	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)
17	16	nfsbc1 2921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥[(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥]𝜓
18		sbceq1a 2913	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) → (𝜓 ↔ [(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥]𝜓))
19	16, 17, 18	riota2f 5744	. . . 4 ⊢ (((℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ∈ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) → ([(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥]𝜓 ↔ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
20	14, 15, 19	syl2anc 408	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → ([(℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) / 𝑥]𝜓 ↔ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
21	10, 20	mpbid 146	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) = (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
22	21	eqcomd 2143	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝜑 → 𝜓)) ∧ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → (℩𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2414  ∃wrex 2415  ∃!wreu 2416  [wsbc 2904   ⊆ wss 3066  ℩crio 5722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732  df-iota 5083  df-riota 5723

This theorem is referenced by: (None)