Theorem rncoss 4817

Description: Range of a composition. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
rncoss	|- ran ( A o. B ) C_ ran A

Proof of Theorem rncoss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmcoss 4816	. 2 |- dom ( `' B o. `' A ) C_ dom `' A
2		df-rn 4558	. . 3 |- ran ( A o. B ) = dom `' ( A o. B )
3		cnvco 4732	. . . 4 |- `' ( A o. B ) = ( `' B o. `' A )
4	3	dmeqi 4748	. . 3 |- dom `' ( A o. B ) = dom ( `' B o. `' A )
5	2, 4	eqtri 2161	. 2 |- ran ( A o. B ) = dom ( `' B o. `' A )
6		df-rn 4558	. 2 |- ran A = dom `' A
7	1, 5, 6	3sstr4i 3143	1 |- ran ( A o. B ) C_ ran A

Syntax hints:   C_ wss 3076   `'ccnv 4546   dom cdm 4547   ran crn 4548   o. ccom 4551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558

This theorem is referenced by:  cossxp  5069  fco  5296  caseinj  6982  djuinj  6999