Theorem dmcoss 4880

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmcoss	|- dom ( A o. B ) C_ dom B

Proof of Theorem dmcoss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1489	. . . 4 |- F/ y E. y x B y
2		exsimpl 1610	. . . . 5 |- ( E. z ( x B z /\ z A y ) -> E. z x B z )
3		vex 2733	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2733	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	opelco 4783	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) <-> E. z ( x B z /\ z A y ) )
6		breq2 3993	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x B y <-> x B z ) )
7	6	cbvexv 1911	. . . . 5 |- ( E. y x B y <-> E. z x B z )
8	2, 5, 7	3imtr4i 200	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
9	1, 8	exlimi 1587	. . 3 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
10	3	eldm2 4809	. . 3 |- ( x e. dom ( A o. B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) )
11	3	eldm 4808	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y x B y )
12	9, 10, 11	3imtr4i 200	. 2 |- ( x e. dom ( A o. B ) -> x e. dom B )
13	12	ssriv 3151	1 |- dom ( A o. B ) C_ dom B

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1485   e. wcel 2141   C_ wss 3121   <.cop 3586   class class class wbr 3989   dom cdm 4611   o. ccom 4615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-co 4620  df-dm 4621

This theorem is referenced by:  rncoss  4881  dmcosseq  4882  cossxp  5133  funco  5238  cofunexg  6088  casefun  7062  djufun  7081  ctssdccl  7088