Theorem dmcoss 4873

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmcoss	|- dom ( A o. B ) C_ dom B

Proof of Theorem dmcoss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1484	. . . 4 |- F/ y E. y x B y
2		exsimpl 1605	. . . . 5 |- ( E. z ( x B z /\ z A y ) -> E. z x B z )
3		vex 2729	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2729	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	opelco 4776	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) <-> E. z ( x B z /\ z A y ) )
6		breq2 3986	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x B y <-> x B z ) )
7	6	cbvexv 1906	. . . . 5 |- ( E. y x B y <-> E. z x B z )
8	2, 5, 7	3imtr4i 200	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
9	1, 8	exlimi 1582	. . 3 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
10	3	eldm2 4802	. . 3 |- ( x e. dom ( A o. B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) )
11	3	eldm 4801	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y x B y )
12	9, 10, 11	3imtr4i 200	. 2 |- ( x e. dom ( A o. B ) -> x e. dom B )
13	12	ssriv 3146	1 |- dom ( A o. B ) C_ dom B

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1480   e. wcel 2136   C_ wss 3116   <.cop 3579   class class class wbr 3982   dom cdm 4604   o. ccom 4608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-co 4613  df-dm 4614

This theorem is referenced by:  rncoss  4874  dmcosseq  4875  cossxp  5126  funco  5228  cofunexg  6077  casefun  7050  djufun  7069  ctssdccl  7076