Theorem dmcoss 4854

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmcoss	|- dom ( A o. B ) C_ dom B

Proof of Theorem dmcoss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1476	. . . 4 |- F/ y E. y x B y
2		exsimpl 1597	. . . . 5 |- ( E. z ( x B z /\ z A y ) -> E. z x B z )
3		vex 2715	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2715	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	opelco 4757	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) <-> E. z ( x B z /\ z A y ) )
6		breq2 3969	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x B y <-> x B z ) )
7	6	cbvexv 1898	. . . . 5 |- ( E. y x B y <-> E. z x B z )
8	2, 5, 7	3imtr4i 200	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
9	1, 8	exlimi 1574	. . 3 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
10	3	eldm2 4783	. . 3 |- ( x e. dom ( A o. B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) )
11	3	eldm 4782	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y x B y )
12	9, 10, 11	3imtr4i 200	. 2 |- ( x e. dom ( A o. B ) -> x e. dom B )
13	12	ssriv 3132	1 |- dom ( A o. B ) C_ dom B

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1472   e. wcel 2128   C_ wss 3102   <.cop 3563   class class class wbr 3965   dom cdm 4585   o. ccom 4589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-co 4594  df-dm 4595

This theorem is referenced by:  rncoss  4855  dmcosseq  4856  cossxp  5107  funco  5209  cofunexg  6056  casefun  7023  djufun  7042  ctssdccl  7049