Theorem dmcoss 4897

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmcoss	|- dom ( A o. B ) C_ dom B

Proof of Theorem dmcoss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1496	. . . 4 |- F/ y E. y x B y
2		exsimpl 1617	. . . . 5 |- ( E. z ( x B z /\ z A y ) -> E. z x B z )
3		vex 2741	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2741	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	opelco 4800	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) <-> E. z ( x B z /\ z A y ) )
6		breq2 4008	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x B y <-> x B z ) )
7	6	cbvexv 1918	. . . . 5 |- ( E. y x B y <-> E. z x B z )
8	2, 5, 7	3imtr4i 201	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
9	1, 8	exlimi 1594	. . 3 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
10	3	eldm2 4826	. . 3 |- ( x e. dom ( A o. B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) )
11	3	eldm 4825	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y x B y )
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	. 2 |- ( x e. dom ( A o. B ) -> x e. dom B )
13	12	ssriv 3160	1 |- dom ( A o. B ) C_ dom B

Syntax hints:   /\ wa 104   E.wex 1492   e. wcel 2148   C_ wss 3130   <.cop 3596   class class class wbr 4004   dom cdm 4627   o. ccom 4631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-opab 4066  df-co 4636  df-dm 4637

This theorem is referenced by:  rncoss  4898  dmcosseq  4899  cossxp  5152  funco  5257  cofunexg  6110  casefun  7084  djufun  7103  ctssdccl  7110