Theorem dmcoss 4936

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmcoss	|- dom ( A o. B ) C_ dom B

Proof of Theorem dmcoss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1510	. . . 4 |- F/ y E. y x B y
2		exsimpl 1631	. . . . 5 |- ( E. z ( x B z /\ z A y ) -> E. z x B z )
3		vex 2766	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2766	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	opelco 4839	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) <-> E. z ( x B z /\ z A y ) )
6		breq2 4038	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x B y <-> x B z ) )
7	6	cbvexv 1933	. . . . 5 |- ( E. y x B y <-> E. z x B z )
8	2, 5, 7	3imtr4i 201	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
9	1, 8	exlimi 1608	. . 3 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
10	3	eldm2 4865	. . 3 |- ( x e. dom ( A o. B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) )
11	3	eldm 4864	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y x B y )
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	. 2 |- ( x e. dom ( A o. B ) -> x e. dom B )
13	12	ssriv 3188	1 |- dom ( A o. B ) C_ dom B

Syntax hints:   /\ wa 104   E.wex 1506   e. wcel 2167   C_ wss 3157   <.cop 3626   class class class wbr 4034   dom cdm 4664   o. ccom 4668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-co 4673  df-dm 4674

This theorem is referenced by:  rncoss  4937  dmcosseq  4938  cossxp  5193  funco  5299  cofunexg  6175  casefun  7160  djufun  7179  ctssdccl  7186  znleval  14285