Theorem dmcoss 4932

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmcoss	|- dom ( A o. B ) C_ dom B

Proof of Theorem dmcoss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1507	. . . 4 |- F/ y E. y x B y
2		exsimpl 1628	. . . . 5 |- ( E. z ( x B z /\ z A y ) -> E. z x B z )
3		vex 2763	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2763	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	opelco 4835	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) <-> E. z ( x B z /\ z A y ) )
6		breq2 4034	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x B y <-> x B z ) )
7	6	cbvexv 1930	. . . . 5 |- ( E. y x B y <-> E. z x B z )
8	2, 5, 7	3imtr4i 201	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
9	1, 8	exlimi 1605	. . 3 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
10	3	eldm2 4861	. . 3 |- ( x e. dom ( A o. B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) )
11	3	eldm 4860	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y x B y )
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	. 2 |- ( x e. dom ( A o. B ) -> x e. dom B )
13	12	ssriv 3184	1 |- dom ( A o. B ) C_ dom B

Syntax hints:   /\ wa 104   E.wex 1503   e. wcel 2164   C_ wss 3154   <.cop 3622   class class class wbr 4030   dom cdm 4660   o. ccom 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-co 4669  df-dm 4670

This theorem is referenced by:  rncoss  4933  dmcosseq  4934  cossxp  5189  funco  5295  cofunexg  6163  casefun  7146  djufun  7165  ctssdccl  7172  znleval  14152