Theorem dmcoss 4957

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmcoss	|- dom ( A o. B ) C_ dom B

Proof of Theorem dmcoss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1520	. . . 4 |- F/ y E. y x B y
2		exsimpl 1641	. . . . 5 |- ( E. z ( x B z /\ z A y ) -> E. z x B z )
3		vex 2776	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2776	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	opelco 4858	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) <-> E. z ( x B z /\ z A y ) )
6		breq2 4055	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x B y <-> x B z ) )
7	6	cbvexv 1943	. . . . 5 |- ( E. y x B y <-> E. z x B z )
8	2, 5, 7	3imtr4i 201	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
9	1, 8	exlimi 1618	. . 3 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
10	3	eldm2 4885	. . 3 |- ( x e. dom ( A o. B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) )
11	3	eldm 4884	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y x B y )
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	. 2 |- ( x e. dom ( A o. B ) -> x e. dom B )
13	12	ssriv 3201	1 |- dom ( A o. B ) C_ dom B

Syntax hints:   /\ wa 104   E.wex 1516   e. wcel 2177   C_ wss 3170   <.cop 3641   class class class wbr 4051   dom cdm 4683   o. ccom 4687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-br 4052  df-opab 4114  df-co 4692  df-dm 4693

This theorem is referenced by:  rncoss  4958  dmcosseq  4959  cossxp  5214  funco  5320  cofunexg  6207  casefun  7202  djufun  7221  ctssdccl  7228  znleval  14490