Theorem dmcoss 4808

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmcoss	|- dom ( A o. B ) C_ dom B

Proof of Theorem dmcoss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1472	. . . 4 |- F/ y E. y x B y
2		exsimpl 1596	. . . . 5 |- ( E. z ( x B z /\ z A y ) -> E. z x B z )
3		vex 2689	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2689	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	opelco 4711	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) <-> E. z ( x B z /\ z A y ) )
6		breq2 3933	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x B y <-> x B z ) )
7	6	cbvexv 1890	. . . . 5 |- ( E. y x B y <-> E. z x B z )
8	2, 5, 7	3imtr4i 200	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
9	1, 8	exlimi 1573	. . 3 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
10	3	eldm2 4737	. . 3 |- ( x e. dom ( A o. B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) )
11	3	eldm 4736	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y x B y )
12	9, 10, 11	3imtr4i 200	. 2 |- ( x e. dom ( A o. B ) -> x e. dom B )
13	12	ssriv 3101	1 |- dom ( A o. B ) C_ dom B

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1468   e. wcel 1480   C_ wss 3071   <.cop 3530   class class class wbr 3929   dom cdm 4539   o. ccom 4543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-co 4548  df-dm 4549

This theorem is referenced by:  rncoss  4809  dmcosseq  4810  cossxp  5061  funco  5163  cofunexg  6009  casefun  6970  djufun  6989  ctssdccl  6996