Theorem dmcoss 4766

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmcoss	|- dom ( A o. B ) C_ dom B

Proof of Theorem dmcoss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1455	. . . 4 |- F/ y E. y x B y
2		exsimpl 1579	. . . . 5 |- ( E. z ( x B z /\ z A y ) -> E. z x B z )
3		vex 2660	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2660	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	opelco 4671	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) <-> E. z ( x B z /\ z A y ) )
6		breq2 3899	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x B y <-> x B z ) )
7	6	cbvexv 1870	. . . . 5 |- ( E. y x B y <-> E. z x B z )
8	2, 5, 7	3imtr4i 200	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
9	1, 8	exlimi 1556	. . 3 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
10	3	eldm2 4697	. . 3 |- ( x e. dom ( A o. B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) )
11	3	eldm 4696	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y x B y )
12	9, 10, 11	3imtr4i 200	. 2 |- ( x e. dom ( A o. B ) -> x e. dom B )
13	12	ssriv 3067	1 |- dom ( A o. B ) C_ dom B

Syntax hints:   /\ wa 103   E.wex 1451   e. wcel 1463   C_ wss 3037   <.cop 3496   class class class wbr 3895   dom cdm 4499   o. ccom 4503

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-v 2659  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-br 3896  df-opab 3950  df-co 4508  df-dm 4509

This theorem is referenced by:  rncoss  4767  dmcosseq  4768  cossxp  5019  funco  5121  cofunexg  5963  casefun  6922  djufun  6941  ctssdccl  6948