Theorem dmcoss 5008

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 19-Mar-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmcoss	|- dom ( A o. B ) C_ dom B

Proof of Theorem dmcoss

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfe1 1545	. . . 4 |- F/ y E. y x B y
2		exsimpl 1666	. . . . 5 |- ( E. z ( x B z /\ z A y ) -> E. z x B z )
3		vex 2806	. . . . . 6 |- x e. _V
4		vex 2806	. . . . . 6 |- y e. _V
5	3, 4	opelco 4908	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) <-> E. z ( x B z /\ z A y ) )
6		breq2 4097	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x B y <-> x B z ) )
7	6	cbvexv 1967	. . . . 5 |- ( E. y x B y <-> E. z x B z )
8	2, 5, 7	3imtr4i 201	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
9	1, 8	exlimi 1643	. . 3 |- ( E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) -> E. y x B y )
10	3	eldm2 4935	. . 3 |- ( x e. dom ( A o. B ) <-> E. y <. x , y >. e. ( A o. B ) )
11	3	eldm 4934	. . 3 |- ( x e. dom B <-> E. y x B y )
12	9, 10, 11	3imtr4i 201	. 2 |- ( x e. dom ( A o. B ) -> x e. dom B )
13	12	ssriv 3232	1 |- dom ( A o. B ) C_ dom B

Syntax hints:   /\ wa 104   E.wex 1541   e. wcel 2202   C_ wss 3201   <.cop 3676   class class class wbr 4093   dom cdm 4731   o. ccom 4735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-co 4740  df-dm 4741

This theorem is referenced by:  rncoss  5009  dmcosseq  5010  cossxp  5266  funco  5373  cofunexg  6280  casefun  7327  djufun  7346  ctssdccl  7353  znleval  14732